重积分与线面积分练习题及答案.doc

重积分与线面积分练习题1. 设， D表示全平面，则【详解】由题设知，只有当时，被积函数才不为0，即2. 设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为 .【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。【详解】 正向圆周在第一象限中的部分，可表示为于是 =【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.3.二重积分，其中D是由所围成的区域。【详解】由函数的奇偶性可知,而，其中是由确定的闭域。故.4.设连续，则积分，其中.【详解】5.【分析】显然我们首先遇到的便是函数的积分，而这个函数的原函数是不能表示为初等函数的，因此必须先交换积分顺序再计算累次积分。【详解】由题知积分区域D为由直线和抛物线所围成的，若先对积分，则.于是.6.设是圆的外侧，则曲线积分【详解】由于圆关于，轴都是对称的，因此，.其中是在的部分，则7.已知，其中是锥面 和围成的整个立体的表面内侧，则.8. 9.10. 设函数连续，则二次积分等于 ( B ) A. B. C. D. 【分析】画出积分区域的草图即可.11.若是星形线上半部（取顺时针方向）,的值为( ).(A) ； (B) ； (C) ； (D) 12. 设，其中，则 ( A ) A. B. . C. . D. .【分析】都是区域D上的二重积分，只需比较被积函数在D上的大小。【详解】由于在区域D上有， 所以， （仅在点处取等号）. 于是有 .13. 设f(x)为连续函数，则等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. B 【分析】 先求导，再代入t=2求即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.【详解】 交换积分次序，得 =于是，从而有 ，故应选(B). 【评注】 在应用变限的积分对变量x求导时，应注意被积函数中不能含有变量x: 否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上。14. 设函数连续, 区域, 则等于（D）（A）. （B）.（C）. （D） 【分析】将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分.【详解】积分区域见图. 在直角坐标系下, 故应排除（A）、（B）.在极坐标系下, , ,故应选（D）.【评注】此题是将二重积分化为累次积分的常规题,关键在于确定累次积分的积分限.15.由曲线，所围成图形的面积. A. B. C. D. 【详解】利用极坐标变换有 故应选（ C ）16.设L是星形线，则曲线积分 A. B. C. D. 【详解】由星形线的直角坐标方程，可推得参数方程则 ，故17.设函数在上有连续的导数，L是由点到的直线段，则曲线积分 A. 28 B. 26 C. 32 D. 30【详解】令，则有 ，所以，在第一象限内所给曲线积分与路径无关，取为积分路径，有18.设L是上半圆上从点到点的弧段，则曲线积分 A. B. C. D. 【详解】添加轴上从点到的直线段，则有构成封闭曲线，它所围成的平面区域记为D，并令，由格林公式有而 于是可得 .19. 若区域D由所围成，则=20若区域D由所围成，则= ； 21.设可微, , 则 22.设 是球域，则三重积分=.23( 0 ), 其中.24.设是平面被圆柱面截出的有限部分，则曲面积分.25. 计算二重积分，其中是由所围成的平面区域。【分析】采用“先后”方法计算。【详解】注：本题如果采用“先后”的方法，则计算比较复杂。26. 计算二重积分，其中。【分析】由于被积函数不是初等函数，所以需将积分区域D分块后再积分。【详解】将积分区域D分成和两部分，则由于，所以，。注：本题将计算转化为计算，而 是单位正方形上的二重积分，容易计算，而是已经算出的的相反数。27. 计算二重积分， 其中，积分区域。【详解】在极坐标下有.由对称性得.令，则. 记，则由此可得 .所以 .28.计算二重积分，其中，表示不超过的最大整数.【详解】令，则计算二重积分，其中，表示不超过的最大整数.【详解】令，则29.计算，其中为。【详解】在平面内投影为圆域，利用球坐标变换则， 30.计算三重积分，其中是由平面与三个坐标面围成的区域。【分析】这个积分区域对三个变量是对称的，关于被积函数也是对称的，利用对称性来计算。【详解】因为故31.计算，其中为.【详解】利用广义球坐标变换，令 其中32.计算空间曲线积分，其中L为球面与平面之交线。【分析】以换，以换，以换，曲线L的方程不变，即L具有轮换对称性，利用这一性质进行计算。【详解】由于轮换对称性，可知而L是经过球心的圆，其周长为，故.33.计算，其中L为与之交线。【详解】先从消去得 其参数方程为，因此 .34.计算，其中是半球面的上侧。【详解】虽然不是封闭的，但我们可以用平面将其补上，使成为封闭的外侧面，它围成的域是。于是就有由于 由高斯公式而的值又可以直接化成二重积分来计算故 .35.计算，其中为柱体的边界外表面。【详解】依题可设柱体， ，由高斯公式，并利用柱面坐标计算可得36.已知平面区域，L为D的正向边界，试证：（1）（2）【详解】（1）左边， 右边，所以 .（2）由于，故由（1）得.40.,其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分的前侧.=.42.，其中为曲面的外侧。解：由高斯公式43.计算，其中，为球面表面外侧。44.计算，其中是球体x2+y2+z22z的表面的外侧。.45. 设闭区域，为D上的连续函数，且，求。【分析】记，对所给等式的两边进行二重积分得到关于A的方程，求出A即得的表达式。【详解】记，则.对上式两边在区域D上作二重积分得即 所以因此，.46. 设有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为一常数。（1）证明：对右半平面内任意分段光滑简单闭曲线，有；（2）求.【详解】（1）证明很简单，设点在右半平面上，曲线即为曲线（不包含原点），取点在左半平面上，则曲线包含坐标原点，显然， 因此.（2）由（1）可知，是全微分。利用“凑全微分法”求。因为只要使 是形式的全微分，即使即可。此时.47. 计算曲面积分 其中是曲面的上侧.【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.【详解】 取为xoy平面上被圆所围部分的下侧，记为由与围成的空间闭区域，则 由高斯公式知 = =而 ，故 【评注】 本题选择时应注意其侧与围成封闭曲面后同为外侧（或内侧），再就是在上直接投影积分时，应注意符号(取下侧，与z轴正向相反，所以取负号).48. 求，其中D是由圆和所围成的平面区域。【详解】由积分区域的对称性和被积函数的奇偶性得.故 注意：积分区域对称性的应用。51.计算曲面积分, 其中。解 根据轮换对称性 - 52.计算重积分: , 其中是由所围之立体。解：关于对称，是关于的奇函数 投影区域为，选择柱坐标， 53.计算曲面积分, 其中