北师大版选修21 第3章 §4　曲线与方程 学案.doc

4曲线与方程41曲线与方程1能够结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想(重点)2掌握求曲线方程的一般方法，进一步体会曲线与方程的关系，感受解析几何的思想方法(难点)基础初探教材整理方程与曲线阅读教材p85“例1”以上的部分，完成下列问题1方程与曲线的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线c(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程只有同时具备了上述两个性质，才能称为“方程的曲线”和“曲线的方程”2方程与曲线的关系1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)化简方程“|x|y|”为“yx”是恒等变换()(2)点(1,2)是圆x2y25上的点()(3)到两坐标轴距离相等的点满足方程xy0.()【解析】(1)|x|y|化简为yx.(2)(1)2225，(1,2)是圆x2y25上的点(3)满足的方程为|y|x|.【答案】(1)(2)(3)2下列点中，在曲线x0上的是()a(4,3)b(3，4)c(4,3)d(5,0)【解析】经检验，只有，是方程x0的解【答案】c3在平面直角坐标系内，到原点距离为3的点m的轨迹方程为_【导学号：32550090】【解析】设m(x，y)则3，x2y29.【答案】x2y294在平面直角坐标系中，已知动点p(x，y)，pmy轴，垂足为m，点n与点p关于x轴对称，且4，求动点p的轨迹方程【解】由已知得m(0，y)，n(x，y)，(x，2y)，(x，y)(x，2y)x22y2，依题意知，x22y24，因此动点p的轨迹方程为x22y24.质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型曲线与方程的关系判断(1)判断点a(4,3)，b(3，4)，c(，2)是否在方程x2y225(x0)所表示的曲线上；(2)方程x2(x21)y2(y21)所表示的曲线是c，若点m(m，)与点n在曲线c上，求m，n的值【精彩点拨】由曲线与方程的关系知，只要点m的坐标适合曲线的方程，则点m就在方程所表示的曲线上；而若点m为曲线上的点，则点m的坐标(x0，y0)一定适合曲线的方程【自主解答】(1)把点a(4,3)的坐标代入方程x2y225中，满足方程，且点a的横坐标满足x0，则点a在方程x2y225(x0)所表示的曲线上；把点b(3，4)的坐标代入x2y225，因为(3)2(4)23425，所以点b不在方程x2y225(x0)所表示的曲线上把点c(，2)的坐标代入x2y225，得()2(2)225，满足方程，但因为横坐标不满足x0的条件，所以点c不在方程x2y225(x0)所表示的曲线上(2)因为点m(m，)，n在曲线c上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m2(m21)21，n2(n21)，解得m，n或.1判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数2判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上再练一题1下列图形的方程与图中曲线的方程对应正确的是()【解析】方程x2y21表示的曲线是图(1)；方程x2y20表示的曲线是图(2)；方程lgxlgy1表示的曲线是图(3)；故选d.【答案】d由方程确定曲线(1)方程(xy1)0表示什么曲线？(2)方程2x2y24x2y30表示什么曲线？【精彩点拨】由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图像，可由方程的特点入手分析【自主解答】(1)由方程(xy1)0可得：或x10，即xy10(x1)或x1，方程表示直线x1和射线xy10(x1)，(2)方程的左边配方得2(x1)2(y1)20，而2(x1)20，(y1)20，方程表示的图形为点a(1，1)曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性再练一题2方程x2xyx表示的曲线是()a一个点b一条直线c一个点和一条直线d两条直线【解析】由x2xyx得x0或xy10，故选d.【答案】d求曲线的方程动点m在曲线x2y21上移动，点m和定点b(3,0)连线的中点为p，求点p的轨迹方程，并指出点p的轨迹【导学号：32550091】【精彩点拨】要求未知点p(x，y)的轨迹方程，通过条件转化为已知的点m的坐标并得到x，y的等量关系【自主解答】设p(x，y)，则由m和定点b(3,0)连线的中点为p(x，y)知，m(2x3,2y)又动点m在曲线x2y21上移动，(2x3)2(2y)21.化简得2y2，此方程即为点p的轨迹方程点p的轨迹是以为圆心，为半径的圆求曲线方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点m的坐标；(2)写出适合条件p的点m的集合pm|p(m)；(3)用坐标表示条件p(m)，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上在实际处理问题时，可以省略第(5)步遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x，y的取值范围予以剔除再练一题3已知线段ab长为10，动点p到a、b距离的平方和为122，求点p的轨迹方程【解】以ab所在直线为x轴，ab中点为坐标原点，建立直角坐标系，则有a(5,0)，b(5,0)，设动点p(x，y)由|pa|2|pb|2122，得(x5)2y2(x5)2y2122，化简得所求轨迹方程为x2y236.探究共研型方程与曲线探究1在解决曲线与方程问题时，怎样建立“适当的”坐标系？【提示】建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等同一曲线，坐标系建立的不同，方程也不相同探究2“轨迹方程”与“轨迹”有什么异同？【提示】(1)动点的轨迹方程实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系，即动点坐标(x，y)所适合的方程f(x，y)0.有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围；(2)轨迹是点的集合，是曲线，是几何图形故求点的轨迹时，除了写出方程外，还必须指出这个方程所代表的曲线的形状、位置、范围、大小等探究3求曲线的方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程求解时需要注意什么？【提示】(1)求曲线方程的一般步骤是：建系、设点、列式、化简、检验(2)求曲线方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性即由曲线求方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致误(3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题直线l：yk(x5)(k0)与圆o：x2y216相交于a，b两点，o为圆心，当k变化时，求弦ab的中点m的轨迹方程【精彩点拨】设m(x，y)，点m是弦ab的中点，ommp，omp为直角三角形，利用勾股定理求解由于点m在圆内，应注意点m的轨迹是圆o内的部分【自主解答】设m(x，y)，易知直线恒过定点p(5,0)，再由ommp，得|op|2|om|2|mp|2，x2y2(x5)2y225，整理得2y2.点m应在圆内，故所求的轨迹为圆内的部分解方程组得两曲线交点的横坐标为x，故所求轨迹方程为2y2.构建体系1如果曲线c上的点的坐标满足方程f(x，y)0，则下列说法正确的是()a曲线c的方程是f(x，y)0b方程f(x，y)0的曲线是cc坐标不满足方程f(x，y)0的点都不在曲线c上d坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线c上【解析】原说法写成命题形式即“若点m(x，y)是曲线c上的点，则m点的坐标适合方程f(x，y)0”，其逆否命题是“若m点的坐标不适合方程f(x，y)0，则m点不在曲线c上”，此说法即c.【答案】c2方程x2y21(xy0)的曲线形状是()abc d【解析】xy0，x0，y0或x0，y0.【答案】c3方程|xy2|表示的曲线是()a椭圆b双曲线c线段d抛物线【解析】|xy2|，.即点p(x，y)到点(1,1)的距离与它到定直线xy20的距离相等，点p的轨迹是抛物线【答案】d4已知abc中，a，b，c所对的边分别为a，b，c，且a，c，b成等差数列，acb，|ab|2，则顶点c的轨迹方程为_【导学号：32550092】【解析】以直线ab为x轴，线段ab的中点为原点，建立直角坐标系，如图，则a(1,0)，b(1,0)，设c(x，y)，因为a，c，b成等差数列，所以ab2c，即|ac|bc|2|ab|，故4，化简整理得：3x24y212.由于ab，即，解不等式得x0，又c不能在x轴上，所以x2，所以3x24y212(x0且x2)是所求的轨