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文档简介

球面距离初探立体几何中经常遇到球面距离的问题，许多学生对这个问题束手无策，为了帮助学生很好地解决这一问题，下面就此问题做一些探讨。问题：把地球看作半径为R的球，设球面上有A、B两地，它们的纬度分别为和 A、B两地的经度差为 求A、B两地的球面距离。分析：球面上A、B两点的球面距离是指经过A、B两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。根据弧长公式，只要求得AOB（O为球心）即可。解法：设A、B两地所在纬度线圈的半径分别为r1、r2，球心O到A、B两地的纬度线圈所在平面的距离分别为、。则易得：【1】当A、B两地同在北半球（或同在南半球）时，如图1，O为球心，ON为地轴，O1，O2分别为A、B两地所在纬线圈的圆心。连结O1A，O2B，AB显然O1AON，O2BON，在O2面内，过O2作O2CO1A且使O2C=O1A，连结CA，CB。O2CON，BO2C=四边形ACO2O1是平行四边形。AC O1O2ACO2面，因此ACBC在RtABC中，AB2=AC2+BC2=O1O22+O2C2+O2B22O2CO2Bcos=（d1d2）2+r12+r222r1r2cos将di=Rsini（i=1,2），ri=Rcosi（i=1,2）代入上式，得AB2=2R2（1sin1sin2cos1cos2cos）连结OA，OB在AOB中，设AOB=，则有故A、B两地的球面距离为： 【1】特别地，当A、B两地的经度相同时，即=0，代入【1】式，得A、B两地的球面距离为【2】当A在北半球，B在南半球（或A在南半球，B在北半球）时，如图2，用同样的方法很容易得出：AB2=(d1+d2)2+r12+r222r1r2cos将di=Rsini（i=1,2），ri=Rcosi（i=1,2）代入，得在AOB中，利用余弦定理，得cos=sin1sin2+cos1cos2cos (=AOB)故这时A、B两地的球面距离为： 【2】特别地，当A，B两地的经度相同时，即=0，代入【2】式，得A，B两地的球面距离为综上所述，利用公式【1】和【2】可以求出球面上任意两点的球面距离。下面几个题读者可尝试用上述方法求解。1、地球半径用R表示，在赤道上有东经140与西径130的A、B两点，则A、B间的球面距离是 。2、上题中的A、B两点若都在北纬60的纬线上，那么A、B间的球面距离是 。3、若A点位于北纬60，东经140；B点位于赤道上的西经130处，则A、B间的球面距离是 。4、若A点位于北纬60，东经140；B点位于南纬30，西经130，则A、B间的球面距离是 。求经度差的方法：同减异加。
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