中考第一轮复习——三角形.doc

年 级初三学 科数学版 本北师大版内容标题中考第一轮复习三角形编稿老师巩建兵【本讲教育信息】一、教学内容：复习七：三角形1. 三角形的有关概念，三角形的角平分线、中线、高线、中位线的性质2. 等腰三角形、等边三角形、直角三角形的有关性质和判定方法3. 全等三角形的性质和判定方法二、知识要点：1. 三角形的有关概念（1）三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形，三角形具有稳定性（2）三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高如下图所示（3）三角形三条边的关系：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边（4）三角形内、外角的关系：三角形的内角和等于180，外角和等于360三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角（5）三角形的中位线：经过三角形两边中点的线段平行于第三边并且等于第三边的一半（6）三角形的分类：按角分类：三角形2. 全等三角形（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边（角）相等；全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等，周长相等，面积相等（3）两个三角形全等的条件：一般三角形有：SAS、ASA、AAS、SSS直角三角形有：SAS、ASA、AAS、HL3. 等腰三角形（1）等腰三角形的性质：两底角相等；顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；等边三角形的各角都相等，并且都等于60（2）判定等腰三角形的条件：等角对等边；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形4. 直角三角形（1）直角三角形的性质：直角三角形两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（2）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2b2c2逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有以下关系：a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形三、重、难点：本讲重点是三角形的有关概念、特殊三角形的有关性质和判定方法难点是等腰三角形的判定和性质，以及三角形和四边形的综合问题四、考点分析：纵观近几年全国各地的中考试题，三角形常出现的知识点有三角形的性质和概念，三角形内角和与外角和，三角形的三边关系，以及三角形全等的性质与判定今后的命题趋势仍以考查以上知识点为主，以填空题和选择题为主要考查形式，并将三角形的全等融入平行四边形的证明和计算之中【典型例题】例1. 选择题（1）现有两根木棒，它们的长分别是20cm和30cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）A10cm的木棒B20cm的木棒C50cm的木棒D60cm的木棒解析：这类试题只需根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”就可解决，即设第三根木棒长为xcm依题意有3020x3020，即10x50，满足10x50的只有B选项（2）如图所示，在RtABC中，C90，D、E分别为AC、AB的中点，连DE、CE，则下列结论中不一定正确的是（ ）AEDBCBEDACCACEBCEDAECE解析：易知DE为ABC的中位线，DEBC，EDAC，又ADCD，AECE，故选C例2. 填空题（1）如图所示，已知1100，2140，那么3_解析：本题可先由两个外角求出两个内角的度数，再根据三角形的内角和来求得3的度数360（2）已知直角三角形两边x、y的长度满足x240，则第三边的长为_解析：因为x240，由非负数的性质知，解得，当直角三角形的两边为2与2时，第三边的长2；当直角三角形的两边为2与3且最长边（斜边）为3时，则第三边的长，当最长边（斜边）为第三边时，其长为所以第三边长为2或或例3. 如图所示，一根长2a的木棍（AB）斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由；（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值解：（1）不变化理由：AOB90，P为AB的中点，OPAB（2）设OAx，OBy，x2y2（2a）24a2，又SAOBxy，且x2y22xy，即xy，xya2，xya时AOB的面积最大为a2评析：本题考查直角三角形斜边上的中线与面积两个知识点，能够熟练掌握直角三角形的性质并构建直角三角形模型是解题的关键；问题（1）考虑不到斜边上的中线为斜边的一半，易认为变化问题（2）容易想到当OAOB时面积最大，但说理时易错，不知道运用当（xy）20时，可以看作x2y22xy，即xy来说明理由例4. 已知：如图所示，延长ABC的各边，使BFAC，AECDAB，顺次连接D、E、F，得到DEF为等边三角形求证：（1）AEFCDE；（2）ABC为等边三角形证明：（1）BFAC，ABAE，FAECDEF是等边三角形，EFDE又AECD，AEFCDE（2）由（1）知AEFCDE，FEAEDCBCAEDCDECFEADECDEF，DEF是等边三角形，DEF60，BCA60同理可证BAC60ABC是等边三角形评析：解答此类题目一定要结合图形认真分析题意，选择适当的方法进行证明例5. 已知：在ABC中，A90，ABAC，D为BC的中点，（1）如图所示，E、F分别是AB、AC上的点，且BEAF，求证：DEF为等腰直角三角形（2）若E、F分别为AB、AC延长线上的点，仍有BEAF，其他条件不变，那么，DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论分析：要证明DEF为等腰直角三角形，需要证DEDF，连接AD，利用全等可得这一结论至于在延长线上，可利用同样的方法证明：（1）如图所示，连接ADABAC，BAC90，D为BC的中点，ADBC，BDADBDAC45又BEAF，BDEADF（SAS）EDFD，BDEADF，EDFEDAADFEDABDEBDA90DEF为等腰直角三角形（2）若E、F分别是AB、CA延长线上的点，如图所示，连接ADABAC，BAC90，D为BC的中点，ADBD，ADBCDACABD45DAFDBE135又AFBE，DAFDBE（SAS）FDED，FDAEDB，EDFEDBFDBFDAFDBADB90DEF仍为等腰直角三角形评析：构造全等三角形证明线段相等，是本题的突破口，而AD则是本题的生命线大家可以观察图形具有的特点和辅助线，理解之所以这样做的原因才能提高解题能力例6. 某小区现有一块等腰直角三角形形状的绿地，腰长为100米，直角顶点为A小区物业管委会准备把它分割成面积相等的两块，有如下的分割方法：方法一：在底边BC上找一点D，连接AD作为分割线；方法二：在腰AC上找一点D，连接BD作为分割线；方法三：在腰AB上找一点D，作DEBC，交AC于点E，DE作为分割线；方法四：以顶点A为圆心，AD为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E，弧DE作为分割线这些分割方法中分割线最短的是哪一个？解：方法一中的分割线AD50（米）；方法二中，要想将原三角形分成面积相等的两部分，D应为AC的中点，则分割线BD50（米）；方法三中，如果所分得的三角形与等腰梯形的面积相等，则所分割的小等腰直角三角形与原等腰直角三角形的面积之比为12，两三角形的相似比是1，故DE100（米）；方法四中，当扇形的面积等于原直角三角形的面积的一半时，AD2AB2，求得半径AD100，故弧DE的长为2AD50（米）分割线最短的是方法一评析：在求图中分割线的长度时，主要的已知条件就是分割成的两部分的面积相等，也就是得到的一个规则图形的面积是原等腰直角三角形的面积的一半，求解分割线的长度时，应结合图形用较简便的方法求值【方法总结】1. 在利用三角形三边关系判断线段能否构成三角形时，只需验证两条最短边之和是否大于最长的边即可2. 有角平分线或中点时，常用到的辅助线（1）在角的两边截相等的线段，构成全等三角形；（2）过角平分线上一点向角的两边作垂线；（3）若有和角平分线垂直的线段时，常把它延长与角的两边相交构造等腰三角形；（4）有中线或有以线段的中点为端点的线段时，常给它们乘以整数倍，构造全等三角形【预习导学案】（复习八：四边形）一、预习前知1. 多边形的内角和、外角和2. 什么是平行四边形？什么是矩形、菱形、正方形、梯形？二、预习导学1. 用同一种正多边形可以镶嵌的正多边形是正三角形、_和_，不同的多边形只有满足在同一顶点各个内角和是_才能镶嵌2. 两组对边分别_的四边形叫平行四边形；两组对边分别_的四边形是平行四边形；一组对边_且_的四边形是平行四边形；对角线_的四边形是平行四边形3. 平行四边形的对角_，对边_，邻角_，对角线_，是_对称图形4. 矩形的四个角都是_；矩形的对角线_；矩形既是_图形，也是中心对称图形5. 有一个角是直角的_叫做矩形对角线_的平行四边形是矩形；有三个角是直角的_是矩形6. 菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线_，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，菱形也是_图形7. 一组邻边相等的_是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形；_的四边形是菱形8. 四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形_的菱形是正方形；_的矩形是正方形；对角线_的四边形是正方形9. 等腰梯形的两条对角线_，在同一底上的两个角_反思：（1）各四边形概念之间有什么联系？（2）各类平行四边形有什么共性和特性？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A. 三条中线的交点B. 三条高的交点C. 三条边的垂直平分线的交点D. 三条角平分线的交点2. 下列判断错误的是（ ）A. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等C. 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D. 有一边对应相等的两个等边三角形全等3. 某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ）A. 9cmB. 12cmC. 15cmD. 12cm或15cm4. 一个三角形三个内角的度数之比为237，这个三角形一定是（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形5. 如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可以是（ ）A. 15B. 16C. 8D. 76. 如图所示，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（ ）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对7. 如图所示，在锐角ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若A50，则BPC的度数是（ ）A. 150B. 130C. 120D. 100*8. 如图所示，在ABC中，ABAC5，BC6，点M为BC的中点，MNAC于点N，则MN等于（ ）A. B. C. D. *9. 如图所示，在等边ABC中，AC9，点O在AC上，且AO3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60得到线段OD要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 8*10. 如图所示，DAC和EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：ACEDCB；CMCN；ACDN其中，结论正确的有（ ）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个二、填空题1. 如图所示，OAOB，OCOD，O60，C25，则BED等于_度2. 由三角形三条中位线所围成的三角形的面积是原三角形面积的_3. 如图所示，ABCD，AD、BC相交于点O，要使ABODCO应添加的条件为_（添加一个条件即可）4. 如图所示，ABC中，BD平分ABC，CD平分ACE，请你写出A与D的关系_5. 如图所示，在ABC中，ABAC，CD平分ACB交AB于D点，AEDC交BC的延长线于点E，已知E36，则B_度*6. 已知BD、CE是ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为50，则A等于_度*7. 已知等腰三角形ABC中，ABAC，D为BC边上一点，连接AD，若ACD和ABD都是等腰三角形，则C的度数是_*8. 在ABC中，AB2，AC，B30，则BAC的度数是_三、解答题1. 如图所示，BACABD，ACBD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点试判断OE和AB的位置关系，并给出证明*2. 已知线段AC与BD相交于点O，连结AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连结EF（如图所示）（1）添加条件AD，OEFOFE，求证：ABDC（2）分别将“AD”记为，“OEFOFE”记为，“ABDC”记为，添加条件、，以为结论构成命题1，添加条件、，以为结论构成命题2命题1是_命题，命题2是_命题（选择“真”或“假”填入空格）3. 如图所示，在ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：EBODCO；BEOCDO；BECD（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情况）；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明ABC是等腰三角形*4. 已知：如图所示，在ABC中，ABC45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点FH是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G（1）求证：BFAC；（2）求证：CEBF；（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论【试题答案】一、选择题1. D2. B3. C【分两种情况：当腰为3cm，底为6cm时，由于336，不能构成三角形；当腰为6cm，底为3cm，由于366，可以组成三角形，它的周长为36615cm，故选C】4. D【这个三角形的最大角为18090】5. A【设三角形的第三边长为x，则53x53，即2x8，所以，53253x538，即10三角形周长16故选A】6. C【因为由正方形的对称性可知：ABDCBD，AFDCFD，ABFCBF，故全等三角形有3对】7. B【由于CD、BE分别是AB、AC边上的高，所以BEACDA90，由ABPA90，ABPBPD90知BPDA50，因此BPC18050130，故选B】8. C【连接AM，由等腰三角形三线合一知AMBCMCBC3在RtAMC中，AC5，AM4，SAMCAMMCACMN，MN】9. C【此题属探索性问题，难度较大当点D恰好落在BC上时，OPODAC60，因为POD60，所以AOPCDO，故AOPCDO，所以APCO6，选C】10. B【DCAC，ACEDCB，ECBC，ACEDCB，则AECDBC，又ECBC，ECBDCE，MCENCB，则MCNC，而由已知不能得出ACND，故选B】二、填空题1. 70【由条件易得OBCOAD，所以D25，OBC180OC，则BEDOBCD70】2. 【根据三角形中位线的意义及平行四边形的性质可以求得】3. ABCD（或BC，AD）4. DA【DCEDDBC，ACEAABC，