北师大版选修21 第2章 从平面向量的空间向量 章末分层突破 学案.doc

章末分层突破自我校对平面间的夹角直线与平面的夹角点到直线的距离点到平面的距离空间向量及其运算空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础沿着正四面体oabc的三条棱、的方向有大小等于1、2和3的三个力f1、f2、f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦值【精彩点拨】用向量表示f1，f2，f3，再根据求模与夹角的向量运算公式求解【自主解答】如图所示，用a，b，c分别代表棱、上的三个单位向量，则f1a，f22b，f33c则ff1f2f3a2b3c，|f|2(a2b3c)(a2b3c)|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc144cos 606cos 6012cos 601423625.|f|5，即所求合力的大小为5.且cosf，a，同理可得：cosf，b，cosf，c.再练一题1如图21，在四棱锥sabcd中，底面abcd是边长为1的正方形，s到a、b、c、d的距离都等于2.给出以下结论：0；0；0；0，其中正确结论的序号是_图21【解析】容易推出：0，所以正确；又因为底面abcd是边长为1的正方形，sasbscsd2，所以22cosasb，22coscsd，而asbcsd，于是，因此正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是.【答案】利用空间向量证明垂直与平行向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合；给立体几何的研究带来了极大的便利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下(1)线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量(2)线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则abab0.(3)线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量线性表示直线的方向向量(4)线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题(5)面面平行证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题(6)面面垂直证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题如图22，正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直，ceac，efac，ab，ceef1.图22(1)求证：af平面bde；(2)求证：cf平面bde.【精彩点拨】(1)可以求出平面bde的一个法向量，只要证明直线af的方向向量与面bde的一个法向量垂直，即数量积为零也可以证明af平面bde.(2)可以通过证明直线cf的方向向量与面bde的法向量共线证明cf平面bde.【规范解答】因为正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直，且ceac，所以ce平面abcd.如图，以c为坐标原点，建立空间直角坐标系cxyz，则c(0,0,0)，a(，0)，b(0，0)，d(，0,0)，e(0，0,1)，f.(1)设ac与bd交于点g，则点g为ac的中点，连接eg，于是g，从而，又，所以.又af与eg不共线，所以afeg，又af平面bde，所以af平面bde.(2)由于，(0，1)，(，0,1)，所以0110，1010.所以cfbe，cfde.所以cf平面bde.再练一题2正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是bb1、cd的中点，求证：平面aed平面a1fd1.【导学号：32550056】【证明】如图，建立空间直角坐标系dxyz.设正方体棱长为1，则e，d1(0,0,1)，f，a(1,0,0)(1,0,0)，d1f.设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面aed和a1fd1的一个法向量，由令y11，得m(0,1，2)又由令z21，得n(0,2,1)mn(0,1，2)(0,2,1)0，mn，故平面aed平面a1fd1.利用空间向量求空间角(1)求异面直线的夹角设两异面直线的方向向量分别为n1、n2，那么这两条异面直线的夹角为n1，n2或n1，n2，cos |cosn1，n2|.(2)求面面的夹角如图24，设平面、的法向量分别为n1、n2.因为两平面的法向量的夹角(或其补角)就等于平面、的夹角，所以cos |cosn1，n2|.图24(3)求斜线与平面的夹角如图25，设平面的法向量为n1，斜线oa的方向向量为n2，斜线oa与平面的夹角为，则sin |cosn1，n2|.图25如图26所示四棱锥pabcd的底面是正方形，pa底面abcd，paad2，点m，n分别在棱pd，pc上，且pc平面amn.图26(1)求am与pd所成的角；(2)求二面角pamn的余弦值；(3)求直线cd与平面amn所成角的余弦值【精彩点拨】易观察知pa、ab、ad两两垂直，以a为原点建立直角坐标系，用向量法求解【规范解答】建立如图所示的空间直角坐标系a(0,0,0)，c(2,2,0)，p(0,0,2)，d(0,2,0)，b(2,0,0)，(2,2，2)，(0,2，2)设m(x1，y1，z1)，(x1，y1，z12)(0,2，2)，x10，y12，z122，m(0,2，22)pc平面amn，0，(2,2，2)(0,2，22)042(22)0，m(0,1,1)设n(x2，y2，z2)，t，(x2，y2，z22)t(2,2，2)，x22t，y22t，z22t2，n(2t,2t,22t)，0，(2t,2t,22t)(2,2，2)0，4t4t2(22t)0，t，n.(1)cos ，0，am与pd所成角为90.(2)ab平面pad，pc平面amn，分别是平面pad，平面amn的法向量，二面角pamn的余弦值cos .(3)直线cd的方向向量(2,0,0)，平面amn的法向量(2,2，2)，直线cd与平面amn所成角的正弦值sin .直线cd与平面amn所成角的余弦值为.再练一题3如图27，正方形acde所在的平面与平面abc垂直，m是ce与ad的交点，acbc，且acbc.(1)求证：am平面ebc；(2)求直线ab与平面ebc的夹角；(3)求平面eab与平面ebc的夹角图27【解】(1)证明：四边形acde是正方形，eaac，平面acde平面abc，ea平面abc.可以以点a为原点，以过a点平行于bc的直线为x轴，分别以ac和ae所在直线为y轴和z轴，建立空间直角坐标系axyz.设eaacbc2，则a(0,0,0)，b(2,2,0)，c(0,2,0)，e(0,0,2)m是正方形acde的对角线的交点，m(0,1,1)(0,1,1)，(0,2，2)，(2,0,0)，0，0.amec，amcb.又eccbc，am平面ebc，am平面ebc.(2)am平面ebc，为平面ebc的一个法向量(0,1,1)，(2,2,0)，cos，.，60.直线ab与平面ebc的夹角为30.(3)设平面eab的法向量为n(x，y，z)，则n，且n，n0且n0.即取y1，x1.n(1，1,0)又为平面ebc的一个法向量，且(0,1,1)，cosn，.设平面eab与平面ebc的夹角为，则cos |cosn，|，60.平面eab与平面ebc的夹角60.利用空间向量求空间距离向量法求空间距离的注意点(1)数形结合：利用向量法求空间距离时，一定要注意结合图形分析，再利用向量求解(2)向量式的共同点：空间两几何元素(点、直线、平面)之间的距离，除两点间距离及点线距外都具有相同的表达形式设平面的法向量为n(求异面直线间的距离时，取与两异面直线都垂直的向量为n)，求距离的两几何图形上各取一点a，b，则距离d.(3)坐标方法：利用数及其运算来解决问题坐标方法经常与向量运算结合图28如图28，四面体abcd中，o、e分别是bd、bc的中点，cabccdbd2，abad.(1)求证：ao平面bcd；(2)求异面直线ab与cd所成角的余弦值；(3)求点e到平面acd的距离【精彩点拨】证明ao平面bcd，可以利用题中的已知条件证明ao与平面bcd内的两条相交直线垂直(2)、(3)可以建立空间直角坐标系，利用向量法求解(2)也可以不建系，利用异面直线所成角的定义作出异面直线所成的角，(3)也可以利用等积变换法求解【自主解答】(1)如图，连接oc.bodo，abad，aobd.bodo，bccd，cobd.在aoc中，由已知可得ao1，co，而ac2，ao2co2ac2.aoc90，即aooc.bdoco，ao平面bcd.(2)以o为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则b(1,0,0)，d(1,0,0)，c(0，0)，a(0,0,1)，e，(1,0,1)，(1，0)cos ，.异面直线ab与cd所成角的余弦为.(3)设平面acd的法向量为n(x，y，z)，则.令y1，得n(，1，)是平面acd的一个法向量又，点e到平面acd的距离d.再练一题4如图29，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是a1b1，cd的中点，求点b到截面aec1f的距离图29【解】以d为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(1,0,0)，f，e，b(1,1,0)，.设平面aec1f的一个法向量为n(1，)，则n0，n0.，n(1,2，1)又(0,1,0)，点b到截面aec1f的距离d.转化与化归思想的应用转化化归的思想方法是本章最主要的思想方法，一方面把空间中的平行、垂直、夹角、距离等问题转化为有关的向量计算；另一方面，将异面直线间的距离、平行的直线与平面间的距离、平行平面间的距离转化成点到面的距离，这些都是这一思想方法的具体应用在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中(1)求证：平面a1bd平面cb1d1；(2)求平面a1bd与平面cb1d1间的距离【精彩点拨】(1)利用面面平行的判定定理证明；(2)先将面面距离等价转化为点面距离后利用向量方法求解【规范解答】(1)由于a1d1bc，且a1d1bc，所以四边形a1bcd1为平行四边形，则有cd1a1b，同理可以证明bdb1d1，由bdba1b，平面a1bd平面cb1d1.(2)如图所示建立空间直角坐标系，根据题意，平面a1bd与平面cb1d1间的距离为其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离，则我们不妨求点b1到平面a1bd的距离，则d(0,0,0)，b(a，a,0)，a1(a,0，a)，b1(a，a，a)因为(0,0，a)，(a，a,0)，(a,0，a)，设平面a1bd的一个法向量为n(x，y，z)，则有：，令x1，则y1，z1，所以可取n(1，1，1)，则点b1到平面a1bd的距离da，即平面a1bd与平面cb1d1间的距离为a.再练一题5如图210，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面abcd是菱形，ab2，bad60.(1)求证：bd平面pac；(2)若paab，求pb与ac所成角的余弦值；(3)当平面pbc与平面pdc垂直时，求pa的长图210【解】(1)证明：因为四边形abcd是菱形，所以acbd.又因为pa平面abcd，所以pabd.所以bd平面pac.(2)设acbdo，因为bad60，paab2，所以bo1，aoco.如图，以o为坐标原点，建立空间直角坐标系oxyz，则p(0，2)，a(0，0)，b(1,0,0)，c(0，0)所以(1，2)，(0，2，0)设pb与ac所成角为，则cos .(3)由(2)知(1，0)设p(0，t)(t0)，则(1，t)设平面pbc的法向量m(x，y，z)，则m0，m0.所以令y，则x3，z.所以m.同理，平面pdc的法向量n.平面pbc平面pdc，mn0，即60，解得t.所以pa.1如图211，在四棱柱abcda1b1c1d1中，侧棱a1a底面abcd，abac，ab1，acaa12，adcd，且点m和n分别为b1c和d1d的中点求证：mn平面abcd.【导学号：32550057】图211【证明】如图，以a为原点建立空间直角坐标系，依题意可得a(0,0,0)，c(2，0,0)，d(1，2,0)，b1(0,1,2)，d1(1，2,2)因为m，n分别为b1c，d1d的中点，所以m，n(1，2,1)依题意，可得n(0,0,1)为平面abcd的一个法向量，又，则n0，又直线mn平面abcd，所以mn平面abcd.2如图212所示，四边形abcd为菱形，abc120，e，f是平面abcd同一侧的两点，be平面abcd，df平面abcd，be2df，aeec.图212(1)证明：平面aec平面afc；(2)求直线ae与直线cf所成角的余弦值【解】(1)证明：如图，连结bd，设bdacg，连结eg，fg，ef.在菱形abcd中，不妨设gb1.由abc120，可得aggc.由be平面abcd，abbc，可知aeec.又aeec，所以eg，且egac.在rtebg中，可得be，故df.在rtfdg中，可得fg.在直角梯形bdfe中，由bd2，be，df，可得ef.从而eg2fg2ef2，所以egfg.又acfgg，可得eg平面afc.因为eg平面aec，所以平面aec平面afc.(2)如图，以g为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长度，建立空间直角坐标系gxyz.由(1)可得a(0，0)，e(1,0，)，f，c(0，0)，所以(1，)，.故cos，.所以直线ae与直线cf所成角的余弦值为.3如图213，在直角梯形abcd中，adbc，bad，abbc1，ad2，e是ad的中点，o是ac与be的交点将abe沿be折起到a1be的位置，如图213.图213(1)证明：cd平面a1oc；(2)若平面a1be平面bcde，求平面a1bc与平面a1cd夹角的余弦值【解】(1)证明：在题图中，因为abbc1，ad2，e是ad的中点，bad，所以beac.即在题图中，beoa1，beoc，从而be平面a1oc.又cdbe，所以cd平面a1oc.(2)由已知，平面a1be平面bcde，又由(1)知，beoa1，beoc，所以a1oc为二面角a1bec的平面角，所以a1oc.如图，以o为原点，建立空间直角坐标系，因为a1ba1ebced1，bced，所以b，e，a1，c，得，(，0,0)设平面a1bc的法向量n1(x1，y1，z1)，平面a1cd的法向量n2(x2，y2，z2)，平面a1bc与平面a1cd的夹角为，则得取n1(1,1,1)；得取n2(0,1,1)，从而cos |cosn1，n2|，即平面a1bc与平面a1cd夹角的余弦值为.4如图214，长方体abcda1b1c1d1中，ab16，bc10，aa18，点e，f分别在a1b1，d1c1上，a1ed1f4.过点e，f的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形【导学号：32550058】图214(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线af与平面所成角的正弦值【解析】(1)交线围成的正方形eh