北师大版选修21 2.1 从平面向量到空间向量 作业.docx

02第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量1.ab=cd的一个必要不充分条件是()a.a与c重合b.a与c重合,b与d重合c.|ab|=|cd|d.a,b,c,d四点共线解析:向量相等只需方向相同,长度相等,而与表示向量的有向线段的起点、终点的位置无关.表示两个共线向量的两条有向线段所在的直线平行或重合,不能得到四点共线.答案:c2.有下列命题:两个有共同起点且相等的非零空间向量,其终点可能不同;若非零向量ab与cd是共线向量,则a,b,c,d四点共线;若非零的空间向量a与b共线,则a=b;若空间向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反.其中真命题的个数是()a.0b.1c.2d.3解析:显然为假命题;也是假命题,因为向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念;是假命题,两个非零向量共线,是说这两个向量方向相同或相反,而两个向量相等是说这两个向量大小相等且方向相同,因而共线向量不一定是相等向量,而相等向量却一定是共线向量;是假命题,因为若a为零向量,则a与任一向量平行,但零向量的方向可以是任意的.答案:a3.在平行六面体abcd-abcd中,与向量ab的模相等的向量有()a.7个b.3个c.5个d.6个解析:|dc|=|dc|=|cd|=|cd|=|ba|=|ab|=|ba|=|ab|.答案:a4.已知向量a,b是空间中的两个非零向量,a0,b0分别是与a,b同方向的单位向量,则下列各式中正确的是()a.a=bb.a0=1c.a0=b0或a0=-b0d.|a0|=|b0|解析:向量a,b不一定是共线向量,若a,b不共线,则a0,b0也不共线,故a,c错;向量与数量不相等,故b错.答案:d5.如图所示,已知单位正方体abcd-a1b1c1d1,e,f分别是c1d1,b1c1的中点,则=()a.4b.3c.23d.34解析:连接b1d1,ab1.e,f分别为c1d1,b1c1的中点,efd1b1.=.ad1=d1b1=ab1=2,=23.=23.答案:c6.在直三棱柱abc-a1b1c1中,连接各顶点所得的向量中与向量aa1平行且模相等的向量有个.解析:aa1的模等于线段aa1的长度,而线段aa1为棱柱的侧棱,故与aa1平行且模相等的向量应为与棱柱的侧棱相对应的向量.答案:57.已知正方体abcd-a1b1c1d1,给出下列说法:向量a1c与向量ac1所成的角是135;向量aa1是平面abcd的法向量,也是平面a1b1c1d1的法向量;向量a1b与向量d1c是相等向量;向量a1b1与向量b1a1是相反向量.其中正确的有.(填序号).解析:中向量a1c与向量ac1所成的角是arccos13;向量aa1所在的直线既垂直于平面abcd,也垂直于平面a1b1c1d1,故正确;易知正确.答案:8.若直线l的方向向量为a,平面的法向量为b,当l时,一定有.(填a与b的位置关系)解析:当l时,直线l与平面的垂线垂直.答案:ab9.如图所示,在四棱锥d1-abcd中,ad=dd1=cd,底面abcd是正方形,dd1平面abcd,e是ad1的中点,求.解取cd1的中点f,连接ef,df,则ef=12ac,=.dd1平面abcd,dd1ad,dd1cd,又ad=dd1=cd,de=df=ef=22dd1,efd为正三角形.fed=3.=23.10.如图所示,在四棱锥v-abcd中,底面abcd为正方形,va平面abcd,以这五个顶点为起点和终点的向量中:(1)求直线ab的方向向量;(2)求证:bd平面vac,并确定平面vac的法向量.(1)解由已知得在以这五个顶点为起点和终点的向量中,直线ab的方向向量有ab,ba,cd,dc.(2)证明四边形abcd为正方形,acbd.又va平面abcd,bd平面abcd,bdva.又acva=a,bd平面vac.平面vac的法向量有bd,db.11.如图所示,在长方体abcd-a1b1c1d1中,aa1=ab=2,ad=1,点e,f,g分别是dd1,ab,cc1的中点.(1)写出平面a1eg的一个法向量;(2)求向量ea1与gf的夹角.解(1)如图所示,连接ae,因为e为dd1的中点,aa1=ab=2,ad=1,所以ad=de=ed1.所以ae=a1e=2.因为aa1=2,所以aea1e.因为egcd,cd平面aa1d1d,所以eg平面aa1d1d,所以egae.又a1eeg=e,所以ae平面a1eg,则ea为平面a1eg的一个法向量.(2)连接fc,fb1,b1g,由f,g分