北师大版选修21 3.4.1 曲线与方程 作业.docx

4曲线与方程4.1曲线与方程1.方程x2+xy=x的曲线是()a.一个点b.一条直线c.两条直线d.一个点和一条直线解析:x2+xy-x=0变形为x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0.答案:c2.下列命题正确的是()a.方程xy-2=1表示斜率为1,在y轴上的截距是2的直线b.abc的顶点坐标分别为a(0,3),b(-2,0),c(2,0),则中线ao的方程是x=0c.到x轴距离为5的点的轨迹方程是y=5d.曲线2x2-3y2-2x+m=0通过原点的充要条件是m=0解析:选项a中直线不过(0,2)点;选项b中中线ao是线段;选项c中轨迹方程应是y=5.故选项a,b,c都错误,选d.答案:d3.已知a(1,0),b(-1,0),动点m(x,y)满足ambm=-1,则点m的轨迹是()a.一个点b.一条直线c.两条直线d.圆解析:ambm=(x-1,y)(x+1,y)=(x-1)(x+1)+y2=-1,整理得x2+y2=0,即x=0且y=0,故点m的轨迹为点(0,0),为一个点.答案:a4.已知o是平面上一定点,a,b,c是平面上不共线的三个点,动点p满足op=oa+ab|ab|+ac|ac|,0,+),则点p的轨迹一定通过abc的()a.外心b.内心c.重心d.垂心解析:令ab|ab|=e1,ac|ac|=e2,则由已知,得op-oa=(e1+e2),即ap=e1+e2.以e1,e2为邻边的平行四边形是菱形.由平行四边形法则,知ap是bac的平分线,故选b.答案:b5.已知01)的点的轨迹.给出下列三个结论:曲线c过坐标原点;曲线c关于坐标原点对称;若点p在曲线c上,则f1pf2的面积不大于12a2.其中,所有正确结论的序号是.解析:设曲线c上任一点p(x,y),由|pf1|pf2|=a2,可得(x+1)2+y2(x-1)2+y2=a2(a1),将原点(0,0)代入等式不成立,故不正确.点p(x,y)在曲线c上,点p关于原点的对称点p(-x,-y),将p代入曲线c的方程等式成立,故正确.设f1pf2=,则sf1pf2=12|pf1|pf2|sin =12a2sin 12a2,故正确.答案:9.已知点p(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,点p也在曲线g(x,y)=0上,求证:点p在曲线f(x,y)+g(x,y)=0上(r).分析本题考查曲线与方程的概念,判断点p的坐标是否满足方程f(x,y)+g(x,y)=0即可.证明因为点p(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,所以f(x0,y0)=0.又因为点p(x0,y0)也在曲线g(x,y)=0上,所以g(x0,y0)=0.所以对r,有f(x0,y0)+g(x0,y0)=0+0=0,即点p(x0,y0)适合方程f(x,y)+g(x,y)=0.所以点p在曲线f(x,y)+g(x,y)=0上(r).10.已知a,b分别是直线y=33x和y=-33x上的两个动点,线段ab的长为23,d是线段ab的中点.求动点d的轨迹c的方程.解设d(x,y),ax1,33x1,bx2,-33x2.因为d是线段ab的中点,所以x=x1+x22,y=33x1-x22.因为|ab|=23,所以(x1-x2)2+33x1+33x22=12,所以(23y)2+332x2=12.化简得动点d的轨迹c的方程为x29+y2=1.11.如图,椭圆c0:x2a2+y2b2=1(ab0,a,b为常数),动圆c1:x2+y2=t12,bt1a.点a1,a2分别为c0的左、右顶点,c1与c0相交于a,b,c,d四点.(1)求直线aa1与直线a2b交点m的轨迹方程;(2)设动圆c2:x2+y2=t22与c0相交于a,b,c,d四点,其中bt2a,t1t2.若矩形abcd与矩形abcd的面积相等,证明:t12+t22为定值.(1)解设a(x1,y1),b(x1,-y1),又知a1(-a,0),a2(a,0),则直线aa1的方程为y=y1x1+a(x+a),直线a2b的方程为y=-y1x1-a(x-a).由得y2=-y12x12-a2(x2-a2).由点a(x1,y1)在椭圆c0上,故x12a2+y12b2=1,从而y12=b21-x12a2,代入得x2a2-y2b2=1(x-a,y0).即直线aa1与直线a2b交点m的轨迹方程为x2a2-y2b2=1(x-a,y0).(2)证明设a(x2,y2),由矩形abcd与矩形abcd的面积相等,得4|x1|y1|=4|x2|y2|,故x12y12=x22y22.因为点a(x1,y1),a(x2,y2)均在椭圆上,所以b2x121