北师大版选修21 3.1.2.2 椭圆的简单性质习题课 作业.docx

第2课时椭圆的简单性质习题课1.焦距为6,离心率e=35,焦点在x轴上的椭圆标准方程是()a.x24+y25=1b.x216+y225=1c.x25+y24=1d.x225+y216=1解析:因为2c=6,e=35,所以c=3,a=5,所以b2=a2-c2=16,又因为焦点在x轴上,所以椭圆标准方程为x225+y216=1.答案:d2.设f1,f2是椭圆e:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,p为直线x=3a2上一点,f2pf1是底角为30的等腰三角形,则e的离心率为()a.12b.23c.34d.45解析:根据题意,知pf1f2=30,所以pf2x=60,故直线pf2的倾斜角是60,设直线x=32a与x轴的交点为m,则|pf2|=2|f2m|,又|pf2|=|f1f2|,所以|f1f2|=2|f2m|.所以2c=232a-c,即4c=3a,故e=ca=34.答案:c3.若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点(a,b)的直线与椭圆x29+y24=1的公共点个数为()a.0b.1c.2d.需根据a,b的取值来确定答案:c4.过椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点a且斜率为k的直线交椭圆c于另一点b,且点b在x轴上的射影恰好为右焦点f,若13k12,则椭圆离心率e的取值范围是()a.14,94b.23,1c.12,23d.0,12解析:由题意知bc,b2a,k=b2ac+a=a-ca=1-e.又13k12,131-e12,12eb0)上的点,f1,f2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为c,则|pf1|pf2|的最大值与最小值之差一定是()a.1b.a2c.b2d.c2解析:设|pf1|=x,则a-cxa+c,|pf1|pf2|=x(2a-x)=-x2+2ax,由二次函数的性质知|pf1|pf2|的最大值为a2,最小值为a2-c2.答案:d6.已知f1为椭圆c:x22+y2=1的左焦点,直线l:y=x-1与椭圆c交于a,b两点,则|f1a|+|f1b|的值为.解析:由题意知c=1,f1(-1,0),设a(x1,y1),b(x2,y2),由y=x-1,x22+y2=1得3x2-4x=0,解得x1=0,y1=-1,x2=43,y2=13,a(0,-1),b43,13,|f1a|+|f1b|=(0+1)2+(-1-0)2+43+12+13-02=2+523=823.答案:8237.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形面积的最大值为1时,椭圆长轴长的最小值是.解析:由题意知122cb=1,bc=1.a2=b2+c22bc=2,a2,故椭圆长轴长的最小值是22.答案:228.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为f1(-c,0),f2(c,0).若椭圆上存在点p使asinpf1f2=csinpf2f1,则该椭圆离心率的取值范围为.解析:在pf1f2中,由正弦定理得|pf2|sinpf1f2=|pf1|sinpf2f1.因为asinpf1f2=csinpf2f1,所以a|pf2|=c|pf1|,即|pf1|=ca|pf2|.由椭圆定义|pf1|+|pf2|=2a,得ca|pf2|+|pf2|=2a,即|pf2|=2a2c+a.根据椭圆的简单性质知|pf2|a+c,则2a2c+a0,所以e2+2e-10,解得e2-1.又e(0,1),故椭圆离心率的取值范围是(2-1,1).答案:(2-1,1)9.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与直线x+y=1交于a,b两点,|ab|=423,ab的中点m与椭圆中心连线的斜率为12,求椭圆的方程.解设a(x1,y1),b(x2,y2),m(x0,y0),由x2a2+y2b2=1,x+y=1,消去y,得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,x1+x2=2a2a2+b2.x0=x1+x22=a2a2+b2,y0=1-x0=b2a2+b2.kom=12,且kom=y0x0=b2a2,b2a2=12,即a2=2b2.代入化简整理,得3x2-4x+2-2b2=0,x1+x2=43,x1x2=2-2b23,且=(-4)2-43(2-2b2)=24b2-80.由|ab|=1+k2|x1-x2|=1+(-1)2(x1+x2)2-4x1x2=2432-42-2b23=423,解得b2=1,代入检验满足条件,所以a2=2.故所求椭圆的方程为x22+y2=1.10.已知椭圆c1:x24+y2=1,椭圆c2以c1的长轴为短轴,且与c1有相同的离心率.(1)求椭圆c2的方程;(2)设o为坐标原点,点a,b分别在椭圆c1和c2上,ob=2oa,求直线ab的方程.解(1)设椭圆c2的方程为y2a2+x24=1(a2),其离心率为32,故a2-4a=32,则a2=16,故椭圆c2的方程为y216+x24=1.(2)设a,b两点的坐标分别为(xa,ya),(xb,yb).由ob=2oa及(1),知o,a,b三点共线且点a,b不在y轴上,设直线ab的方程为y=kx.将y=kx代入x24+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以xa2=41+4k2.将y=kx代入y216+x24=1中,得(4+k2)x2=16,所以xb2=164+k2.又由ob=2oa,得xb2=4xa2,即164+k2=161+4k2,解得k=1.故直线ab的方程为y=x或y=-x.11.已知直线y=-x+1与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)相交于a,b两点.(1)若椭圆的离心率为22,焦距为2,求线段ab的长;(2)若向量oa与向量ob互相垂直(其中o为坐标原点),当椭圆的离心率e12,22时,求椭圆长轴长的最大值.解(1)e=22,2c=2,a=2,c=1,则b=a2-c2=1,椭圆的方程为x22+y2=1,联立x22+y2=1,y=-x+1,消去y得3x2-4x=0.计算得出则a43,-13,b(0,1),|ab|=432.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2).oaob,oaob=0,即x1x2+y1y2=0,由x2a2+y2b2=1,y=-x+1,消去y得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0,由=(-2a2)2-4a2(a2+b2)(1-b2)0,整理得a2+b21.x1+x2=2a2a2+b2,x1x2=a2(1-b2)a2+b2,y1y2=(-x1+1)(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+1.由x1x2+y1y2=0,得2x1x2-(x1+x2)+1=0.2a2(1-b2)a2+b2-2a2a2+b2+1=0,整理得a2+b2-