北师大版选修22 　导数在实际问题中的应用 课时作业.docx

第2课时导数在实际问题中的应用1.某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入r与年产量x的关系是r(x)=-x3900+400x,0x390,90 090,x390,则当总利润最大时,每年生产产品的单位数是()a.150b.200c.250d.300解析:由题意得,总利润p(x)=-x3900+300x-20 000,0x390,70 090-100x,x390,令p(x)=0,得x=300,结合题意知x=300是极大值点,也是最大值点.故选d.答案:d2.将一段长为100 cm的铁丝截成两段,一段弯成正方形,一段弯成圆,当正方形与圆的面积之和最小时,圆的周长为()a.50 cmb.1004+ cmc.1002+ cmd.25 cm解析:设圆的周长为x cm,则正方形的周长为(100-x)cm,且0x100.故圆的半径为r=x2,正方形的边长为25-x4, 学 圆与正方形的面积之和为s(x)=14x2+25-x42(0x100),则s(x)=12x-1225-x4.由s(x)=0,得x=1004+,此时s(x)取得最小值. 学 z 答案:b3.某城市在发展过程中,交通状况越来越多地受到大家的关注,根据有关统计数据显示,从上午6时到9时,车辆通过该市某一路段的用时y(单位:分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示:y=-18t3-34t2+36t-6294,则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是() a.6时b.7时c.8时d.9时解析:y=-38t2-32t+36,令y=0解得t=8或t=-12(舍去),当0t0;当t8时,y0,所以t=8为函数的极大值点,也是最大值点.故当t=8时,通过该路段用时最多.答案:c4.如果底面为等边三角形的直棱柱的体积为v,那么其表面积最小时,底面边长为()a.3vb.32vc.34vd.23v解析:设棱柱的底面边长为x,高为h,34x2h=v,h=4v3x2=43v3x2.s表=234x2+3xh=32x2+43vx,s(x)=3x-43vx2.令s(x)=0,可得3x=43vx2,x3=4v,x=34v.当0x34v时,s(x)34v时,s(x)0,当x=34v时,s(x)最小.答案:c5.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k0),贷款的利率为0.048,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x(0,0.048),为使银行获得最大收益,则存款利率应定为()a.0.032b.0.024c.0.04d.0.036解析:设存款利率为x,依题意知存款量是kx2,银行应支付的利息是kx3,贷款的收益是0.048kx2,x(0,0.048).所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3(0x0.048).由于y=0.096kx-3kx2,令y=0得,x=0.032或x=0(舍去).又当0x0;当0.032x0.048时,y0).令l=-512y2+2=0,解得y=16(另一负根舍去).当0y16时,l16时,l0.所以当y=16时,函数l=512y+2y(y0)取得极小值,也就是最小值,此时x=51216=32.答案:a7.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2(单位:万元)与到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库,y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 km处.解析:依题意可设每月土地占用费y1=k1x(k10),每月库存货物的运费y2=k2x(k20),其中x是仓库到车站的距离,k1,k2是比例系数.于是由2=k110,得k1=20;由8=10k2,得k2=45.因此,两项费用之和为y=20x+4x5(x0),y=-20x2+45.令y=0,得x=5或x=-5(舍去).当0x5时,y5时,y0.因此,当x=5时,y取得极小值,也是最小值.故当仓库建在离车站5 km处时,两项费用之和最小.答案:58.如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时,其容积最大?解设四边形较短的边长为x,则较长的边长为3x,正六棱柱底面边长为1-2x,高为3x0x12,所以v=612sin 60(1-2x)23x=92x(1-2x)2.v=92(2x-1)(6x-1),令v=0,得x=16或x=12(舍去).当0x0;当16x12时,v0.故当x=16时,v有最大值,此时底面边长为1-216=23.9.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=ax-3+10(x-6)2,其中3x6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解(1)当x=5时,y=11,a2+10=11,a=2.(2)由(1)知该商品每日的销售量y=2x-3+10(x-6)2,商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x-3)2x-3+10(x-6)