北师大版选修22 简单复合函数的求导法则 课件（20张）.pptx

5简单复合函数的求导法则 1 理解复合函数的概念 记住复合函数的求导法则 2 会运用复合函数的求导法则求一些复合函数的导数 3 能把一个函数看成两个或几个简单函数的和差积商或复合函数 运用导数运算法则或复合函数求导法则求函数的导数 1 复合函数的概念一般地 对于两个函数y f u 和u x ax b 给定x的一个值 就得到了u的值 进而确定了y的值 这样y可以表示成x的函数 我们称这个函数为函数y f u 和u x 的复合函数 记作y f x 其中u为中间变量 2 复合函数的求导法则复合函数y f x 的导数为yx f x f u x u x 3 复合函数求导的基本步骤求复合函数的导数 一般按以下三个步骤进行 1 分解 分解复合函数为初等函数 注意适当选择中间变量 2 层层求导 求每一层初等函数的导数 弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导 3 作积还原 将各层初等函数的导数相乘 并将中间变量还原为原来的函数 以上步骤可称之为复合函数求导三步曲 做一做2 求下列函数的导数 1 y 3x 2 2 2 y 2x 1 5 解 1 方法一 y 3x 2 2 9x2 12x 4 18x 12 方法二 将函数y 3x 2 2看作是函数y u2和函数u 3x 2复合所成的函数 并分别求对应变量的导数如下 y u u2 2u u x 3x 2 3 两个导数相乘 得y x y u u x 2u 3 2 3x 2 3 18x 12 2 设y u5 u 2x 1 则y x y u u x u5 2x 1 5u4 2 5 2x 1 4 2 10 2x 1 4 题型一 题型二 题型三 题型四 反思解决复合关系问题的关键是正确分析函数的复合层次 一般是从最外层开始 由外及里 一层一层地分析 把复合函数分解成若干个常见的初等函数 逐步确定复合过程 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 分析 选择中间变量是复合函数求导的关键 要善于把一部分式子暂时当作一个整体 这个暂时的整体就是中间变量 求导时需要记住中间变量 注意逐层求导 不遗漏 而其中特别要注意中间变量的系数 求导数后 要把中间变量转换成自变量的函数 题型一 题型二 题型三 题型四 反思求复合函数的导数 关键要分清此函数是由哪几个初等函数复合而成的 然后根据求复合函数导数的法则进行求导即可 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 易错点 忽视复合函数求导而致错 例4 已知函数f x x2 bx c e x 其中b c r且为常数 若b2 4 c 1 求证 方程f x 0有两个不相等的实数根 错解 f x x2 bx c e x x2 bx c e x 2x b e x x2 bx c e x e x x2 b 2 x b c 由f x e x x2 b 2 x b c 0 得x2 b 2 x b c 0 b 2 2 4 b c b2 4c 4 因为b2 4 c 1 所以 0 故方程f x 0有两个不相等的实数根 题型一 题型二 题型三 题型四 错因分析 错解 歪打正着 虽然未注意到复合函数的求导 但结论居然也被 证 出来了 这也说明了这种错误的隐蔽性很好 本题要注意对e x的求导 正解 f x x2 bx c e x x2 bx c e x 2x b e x x2 bx c e x e x x2 b 2 x b c 由f x e x x2 b 2 x b c 0 得x2 b 2 x b c 0 b 2 2 4 b c b2 4c 4 因为b2 4 c 1 所以 0 故方程f x 0有两个不相等的实数根 12345 12345 2 已知函数f x e5x