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软件学院高等数学（下）综合练习参考答案 高等数学(下)综合练习(一)一、计算下列各题：1.设求 解：；由轮换对称性知： 2.设由方程 可以确定函数, 求解一：（公式法）（这里互相独立） 令则， ； 所以 解二：（一）方程两边同时关于求导（视为，并视常数），有：， ；（二）方程两边同时关于求导（视为，并视常数），有：， 所以 解三：方程两边取全微分，得： ，利用微分形式的不变性： 所以， 3. 设,其中可微, 求 解： ； ；4. 求曲面在点 处的切平面与法线方程.解：设 ，.则，所以，切平面的方程为：切平面的法线方程为： .5. 判定级数 的敛散性. 解： 记因为（等价替换） ，所以发散.6. 求函数的极值点解：（一）解方程组 或者 得两个驻点： （二）（1）.在处，因为 ，所以非极值点.（2）.在处，因为 故 为极小值.二、计算下列积分：1.,其中D是由直线及所围成的闭区域.解：2.,其中为曲面与平面所围成的闭区域.解：本题宜采用“切片法”计算 如采用柱面坐标系：3.，其中为圆周. 解：（上述倒数第二步用到了曲线积分的对称性）4. ,其中为圆周上由点到的一段弧.解一：可化为其的参数方程为： 解二：记，记D为所围成的区域.由格林公式，得： 又，故： 解三：由于，故与路径无关， 5.其中为锥面被平面截出的顶部. 解：由 可算得 6. ,其中为半球面的上侧.解：若取（下侧）.则与一起构成一个封闭曲面.记它们所围成的半球型闭区域为.在上利用高斯公式，便得： 8. 求函数在闭区域上的最大值与最小值. 解：（一）内部令所以，得唯一驻点，无偏导不存在的点.（二）边界 在边界 （1）上，问题转化为求 （2）在条件下的极值. 由（*）式，可设代入（2）得： 所以 在边界上的最大值是；最小值是（三）比较与及知在闭区域上的最大值与最小值分别和.9求的和函数,并求级数的和. 解：（一）所以，又在端点发散； 在端点也发散. 总之，的收敛区间为（二）设， 对积分， 所以 10. 把函数展成的幂级数. 解： 另由 收敛域为.高等数学(下)综合练习(二)一.计算下列各题 1. 设, 求; 解：； 所以 2. 设,其中可微,求解：法一）用复合函数链式求导法 所以dz法二）用微分形式不变形3. 设可以确定函数,求解：令F（x,y,z）= 用公式 ；4. 求曲面在点处的切平面与法线方程.解：设 则 切平面的方程： ；切平面法线方程： .5. 求的极值.解：（一）解方程组 或者 得两个驻点： （二）（1）.在处，因为 ，所以非极值点.（2）.在处，因为 故 为极小值.6.求函数在椭球面上的最大值.解：所求最值问题即为求在条件下的极值.令 求解方程组，四个可能的条件极值点： ，故在椭球面上的最大值为二.计算下列积分1. 计算; （交换积分次序）2.，其中.解： 3.其中D由x轴，围成的平面区域. 解： 4. ,其中为圆周.解：5.,其中是由曲面围成区域.解：本题宜采用“先二后一”计算 如采用柱面坐标系：6. ,其中为圆周上由点(0,0)到(2,0)的一段.解一：可化为参数方程为： 解二：记，记D为所围成的区域.由格林公式，得： - 又，故 7. ,其中为球面被平面截出的部分的顶部.解：由，则 ， .因此 8. 求其中为旋转抛物面介于之间部分的下侧.解法一：（直接计算）（一）.将分成.其中的方程为，取前侧；的方程为，取后侧.在平面上的投影区域均为，所以； .所以 （令） （二）（下侧）在平面上的投影区域为故 解法二：利用高斯公式计算 设的上侧；则构成封闭曲面的外侧.因此 解法三 ：化为第一型曲面积分计算.的向上的法向量，所以 .故 三.计算下列各题1. 判别级数的敛散性.解：，而 所以，收敛，从而原级数也收敛.2. 求幂级数的收敛域及和函数.解：（一）记 因为所以，又在端点条件收敛； 在端点发散. 故，的收敛域为（二）设，其中 对关于求导，有： 故