北师大版选修22 1.1归纳与类比 学案1.doc

高手支招3综合探究试探究如何进行归纳推理 归纳推理是根据一类事物的几个特殊对象具有某种属性f,而作出该类事物都具有属性f的结论的推理.归纳推理的基本形式是:a1具有性质f,a2具有性质f,an具有性质f,(a1,a2,an都属于a)a类事物都具有性质f.归纳推理的基础是对个别或部分对象的实验和观察,而缺乏对全体对象的考察,因而所得的结论具有偶然性,只能称之为归纳猜想,其正确与否是需要严格论证的.例如，f(x)=(x-1)(x-2) (x-100)+2,f(1)=2,f(2)=2, ,f(100)=2.由此归纳猜想f(n)=2(nn+).但这一结果是错误的,事实上f(101)2,可见不完全归纳推理得出的结论是不可靠的,还需要进一步作出判断.高手支招4典例精析【例1】设f(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )思路分析：对于图a,当f(x)=ax2时,y=f(x)的图象恰好为直线,故有可能;对于图b,单调递增的函数为y=f(x),单调递减的函数为y=f(x),也是可能的;对于图c,下面的曲线为y=f(x)的图象,上面的曲线为y=f(x)的图象,f(x)0,f(x)单调增，这也是有可能的;而对于图d,由于两个曲线均含有递增区间和递减区间,无论哪一个为y=f(x)的图象,y=f(x)必然在x轴上方与下方均有图象.显然,图d中的两个曲线都不满足这一要求.答案：d【例2】中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”“平行关系”等等.如果集合a中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意aa，都有aa;(2)对称性：对于a,ba,若ab,则有ba;(3)传递性：对于a,b,ca，若ab,bc,则有ac.则称“”是集合a的一个等价关系.例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）.请你再列出三个等价关系：_.思路分析：答案不唯一，只要满足题目中的三个等价关系即可.答案：如“图形的全等”“图形的相似”“非零向量的共线”“命题的充要条件”等等【例3】应用归纳推理推测的值.思路分析：利用归纳推理来猜测,应先给出n的一些不同的数值,观察出现结果的相同性质,从而推导出有关的结论.解：对式子中的n分别取1,2,3,进行观察.n=1时,=3,n=2时,=33,n=3时,=333,n=4时,=3 333.【例4】找出圆与球的相似性质,并用圆的下列性质类比球的有关性质.(1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦；(2)与圆心距离相等的弦相等;(3)圆的周长c=d(d为直径);(4)圆的面积s=r2.思路分析：先充分认识圆与球的相同(相似)之处,再进行类比,类比时抓住本质,充分考虑其中的联系.解：圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合,球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合.且圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形,球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形.与圆的有关性质类比,可以推测球的有关性质:圆球(1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不经过球心的小截面圆)圆心的连线垂直于截面(2)与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距离相等的两个截面圆面积相等(3)圆的周长c=d(d为直径) 球的表面积s=d2(4)圆的面积s=r2球的体积v=r3【例5】已知数列an的前n项和为sn,a1=且sn+2=an(n2),计算s1,s2,s3,s4,并猜想sn的表达式.思路分析：运用归纳推理,先化简递推关系式,然后分别求出s1、s2、s3、s4,再归纳推理出sn的表达式.解：n2时,an=sn-sn-1,sn+2=sn-sn-1,+s n-1+2=0.当n=1时,s1=a1=；当n=2时,=-2-s1=,s2=；当n=3时,=-2-s2=,s3=；当n=4时,=-2-s3=,s4=.猜想:sn=,(nn+).【例6】在平面内观察:凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,凸六边形有9条对角线,由此猜想凸n边形有几条对角线.思路分析：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,是人们在日常生活和科学研究中经常使用的一种推理方法.在归纳推理的过程中,应注意所探索的事物或现象的本质属性和因果关系,本题中对多边形边数及对角线条数的变化情况作定量观察分析,才能发现其对角线的条数随边数变化的规律.解：凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,比凸四边形多3条;凸六边形有9条对角线,比凸五边形多4条; 于是猜想凸n边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2条对角线,由此凸n边形的对角线条数为2+3+4+5+(n-2)=n(n-3)(n4,nn*).高手支招5思考发现1.平面几何中的有关定义、定理、性质、公式可以类比到空间,在学习中要注意通过类比去发现探索新问题.2.由归纳推理得出的结论可能是错误的,结论需要进一步证明其正确性.虽然如此，但归纳推理是数学发现的一种重要方法.3.通过归纳推理得到的猜想,可以作