北师大版选修22 3.1 函数的单调性与极值 第1课时导数与函数的单调性 课件（57张）.ppt

导数应用 第三章 1函数的单调性与极值 第三章 第1课时导数与函数的单调性 第三章 1 结合实例 借助几何直观发现函数的单调性与导数的关系 2 能利用导数研究函数的单调性 会求不超过三次的多项式函数的单调区间 本节重点 利用求导的方法判断函数的单调性 本节难点 函数的导数与单调性的关系 如果在某个区间内 函数y f x 的导数 则在这个区间上 函数y f x 是增加的 如果在某个区间内 函数y f x 的导数 则在这个区间上 函数y f x 是减少的 f x 0 f x 0 1 用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便 是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用 它充分体现了数形结合的基本思想 因此 必须重视对数学思想 方法进行归纳总结 提高应用数学思想 方法解决问题的熟练程度 达到优化解题思路 简化解题过程的目的 2 利用导数的符号判断函数单调性的解题过程中 只能在函数的定义域内 通过讨论导数的符号 判断函数的单调区间 3 对于函数y f x 如果在某个区间 a b 上f a 0 那么f x 在该区间上单调递增 如果在某个区间 a b 上f x 0与f x 为增函数的关系 f x 0能推出f x 为增函数 但反之不成立 如函数f x x3在 上单调递增 但f x 0 f x 0是f x 为增函数的充分不必要条件 2 f x 0时 f x 0与f x 为增函数的关系 若将f x 0的根作为分界点 因为规定f x 0 即抠去了分界点 此时f x 为增函数 就一定有f x 0 当f x 可导且f x 0时 f x 0是f x 为增函数的充分必要条件 3 f x 0与f x 为增函数的关系 f x 为增函数 一定可以推出f x 0 但反之不一定 因为f x 0 即为f x 0或f x 0 当函数在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常数 函数不具有单调性 f x 0是f x 为增函数的必要不充分条件 4 求可导函数单调区间的一般步骤 第一步 确定函数f x 的定义域 第二步 求f x 令f x 0 解此方程 求出它在定义域内的一切实根 第三步 把函数f x 在间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义区间分成若干个小区间 第四步 确定f x 在各个小区间的符号 根据f x 的符号判定函数f x 在每个相应小区间的增减性 5 y f x 在 a b 内可导 f x 0或f x 0且y f x 在 a b 内导数为0的点仅有有限个 则y f x 在 a b 内仍是单调函数 例如 y x3在r上f x 0 所以y x3在r上单调递增 6 利用导数判断单调性常与一些参数有关 此时要注意对参数的分类讨论 7 导数的绝对值的大小对函数图像的影响一般地 如果一个函数在某一区间上导数的绝对值越大 说明函数在这个区间内的变化越快 这时 函数的图像就比较 陡峭 反之 函数的图像就 平缓 一些 用导数求函数的单调区间 解析 1 y 3x2 18x 24 3 x 2 x 4 由y 0得x4 由y 0得2 x 4 函数的递增区间为 2 4 递减区间是 2 4 点评 研究函数的单调区间时 首先要求函数的定义域 然后在定义域范围内研究函数的单调性 否则可能产生增根 设f x a x 5 2 6lnx 其中a r 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与y轴相交于点 0 6 1 确定a的值 2 求函数f x 的单调区间 含参数的讨论问题 点评 讨论函数的单调性与求单调区间基本一致 一般用求导数法求解 2 y x2 a a2 x a3 x a x a2 令y 1时 不等式的解集为a x a2 此时函数的递减区间为 a a2 a 0 a 1时 y 0 此时 无减区间 综上所述 当a1时 函数f x 的单调递减区间为 a a2 当0 a 1时 函数f x 的单调递减区间为 a2 a 当a 0 a 1时 无减区间 恒成立问题 点评 这是利用导函数求函数增减性的一个简单应用 也就是说 根据函数导数可判断增减性 反之也可以根据导函数的增减性 求有关的参变量 利用导数证明不等式 点评 本题通过构造一个函数 再由此函数的单调性得函数的值域 从而证得结论 已知x r 求证 ex x 1 分析 首先应构造函数 对函数进行求导 并判断函数的单调性 解析 证明 令f x ex x 1 f x ex 1 x 0 时 ex 1 0恒成立 即f x 0 f x 在 0 上为增函数 当x 0 时 f x ex 1 0恒成立 f x 在 0 上是减函数 又 f 0 0 当x r时f x f 0 即ex x 1 0 ex x 1 点评 本例的实质是判断函数的单调性 关键是根据所证不等式构造函数f x 求导数f x 后 根据x的取值范围确定单调性 再由单调性及端点函数值获证 点评 在解与函数有关的问题时 一定要考虑函数的定义域 而这一点是最容易忽略的地方 一 选择题1 函数f x x 3 ex的单调递增区间是 a 2 b 0 3 c 1 4 d 2 答案 d 解析 f x x 3 ex f x ex x 3 ex x 2 ex 由f x 0得x 2 选d 2 已知对任意实数x 有f x f x g x g x 且x 0时 f x 0 g x 0 则x0 g x 0b f x 0 g x 0d f x 0 g x 0 答案 b 解析 由已知f x 为奇函数 图像关于原点对称 在对称区间上的单调性相同 g x 为偶函数 在对称区间的单调性相反 又由x 0时 f x 是增函数的 g x 是增函数的 x0 g x 0 3 若函数f x kx lnx在区间 1 单调递增 则k的取值范