北师大版选修22 3.2 导数在实际问题中的应用 第2课时最大值、最小值问题 课件（73张）.ppt

导数应用 第三章 2导数在实际问题中的应用 第三章 第2课时最大值 最小值问题 第三章 1 掌握求函数最值的方法 2 了解导数在实际问题中的应用 对给出的实际问题 如使利润最大 效率最高 用料最省等问题 体会导数在解决实际问题中的作用 3 能利用导数求出某些特殊问题的最值 本节重点 求函数最值的方法 利用导数知识解决实际中的最优化问题 本节难点 将实际问题转化为数学问题 建立函数模型 1 最大值点与最小值点函数y f x 在区间 a b 上的最大值点x0指的是 函数在这个区间上所有点的函数值都 函数y f x 在区间 a b 上的最小值点x0指的是 函数在这个区间上所有点的函数值都 不超过f x0 不低于f x0 2 最大值与最小值最大 小 值或者在极大 小 值点取得 或者在区间的端点取得 因此 要想求函数的最大 小 值 应首先求出函数的极大 小 值点 然后将所有 与 的函数值进行比较 其中最大 小 的值即为函数的最大 小 值 函数的最大值和最小值统称为 极大 小 值点 区间端点 最值 3 导数在实际问题中的应用应用导数知识解决实际问题时 首先要明确题目的已知条件和所要求解的问题 然后根据题意建立适当的函数关系 将所求问题转化为求函数的限制条件下的最大 小 值问题 此过程用框图表示如下 说明 1 常将问题中能取得最大值或最小值的那个变量设为y 而将另一个与y有关的变量设为x 然后利用导数求出所列函数的极值点 再进一步分析可得出函数的最值 2 实际问题中 一般通过函数的单调性和问题的实际意义确定最值 2 正确区分极值和最值 1 函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的 函数的最大值和最小值可以在极值点 不可导点 区间的端点取得 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的 最值具有绝对性 极值具有相对性 2 函数的最值是一个整体性概念 最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大的值 最小值是所有函数值中的最小的值 极值只能在区间内取得 但最值可以在端点处取得 极值有可能成为最值 3 若连续函数在区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 4 解决最优化问题的关键是建立函数模型 因此需先审清题意 细致分析实际问题中各个量之间的关系 正确设定所求最大值或最小值的因变量y与自变量x 把实际问题化为数学问题 即列出函数关系式y f x 根据实际问题确定y f x 的定义域 1 在生活 生产和科研中会遇到许多实际问题 要善于用函数与方程的思想去分析问题 解决问题 2 在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么只要根据实际意义判定该极值是最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值比较 3 优化问题中要注意定义域的限制 当含有参数时 要注意运用分类讨论的思想 求函数的最值 点评 设函数f x 的图像在 a b 上连续 且f x 在 a b 内可导 则求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 1 求f x 在 a b 内的极值点 2 求出f x 在区间端点和极值点的值 3 将上述值比较 其中最大的一个就是最大值 最小的一个就是最小值 导数在实际问题中的应用 1 若广告商要求包装盒的侧面积s cm2 最大 试问x应取何值 2 某厂商要求包装盒容积v cm3 最大 试问x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 点评 在利用导数解决有关函数最大值与最小值的实际问题时 关键是分析问题中的各个变量之间的关系 列出符合题意的函数关系式 并确定函数的定义域 然后再借助导数求解 特别要注意检验求得的结果是否符合问题的实际意义 恒成立问题 2 由 1 知f x x3 3x2 9x c f x 3x2 6x 9 当x变化时 有下表 x 2 6 时 f x 的最大值为c 54 要使f x 54 当c 0时 c 54 2c c 18 c 18 54 点评 不等式恒成立时求参数的取值范围问题是一种常见的题型 这种题型的解法有多种 其中最常用的方法就是分离参数 然后转化为求函数的最值问题 在求函数最值时 可以借助导数求解 含参数的讨论问题 综合应用 解析 1 设x 0 1 则 x 1 0 所以f x x3 ax 因为f x 为偶函数 所以f x x3 ax 03 00 即f x 0 所以f x 在 0 1 上是增函数 设函数f x 1 1 a x x2 x3 其中a 0 1 讨论f x 在其定义域上的单调性 2 当x 0 1 时 求f x 取得最大值和最小值时的x的值 解析 本题考查了导数的应用及求导运算 x 0 y x2 81 9 x 9 x 令y 0 x 9 x 0 9 y 0 x 9 y 0 y先增后减 x 9时函数取最大值 选c 属导数法求最值问题 3 已知f x 2x3 6x2 m m为常数 在 2 2 上有最大值3 那么此函数在 2 2 上的最小值为 a 37b 29c 5d 11 答案 a 解析 f x 6x2 12x x 2 2 由f x 0 得x 0或x 2 可得f x 在 2 0 上为增函数 在 0 2 上为减函数 f x 在x 0时取得极大值即为最大值 f x max f 0 m 3 又f 2 37 f 2 5 f x 的最小值为 37 二 填空题4 函数f x x3 3x 1在闭区间 3 0 上的最大值 最小值分别是 答案 3 17 解析