北师大版选修22 1.2　类比推理 课时作业.docx

1.2类比推理1.在等差数列an中,若an0,公差d0,则有a4a6a3a7,类比上述性质,在等比数列bn中,若bn0,公比q1,则关于b4,b5,b7,b8的不等关系正确的是()a.b4+b8b5+b7b.b4+b8b5+b8d.b4+b7a3a7,在等比数列bn中,由于4+8=5+7,易知b4+b8b5+b7正确,选a.答案:a2.在平面直角坐标系中,方程xa+yb=1表示在x轴、y轴上的截距分别为a,b的直线,拓展到空间,在x轴、y轴、z轴上的截距分别为a,b,c(abc0)的方程为()a.xa+yb+zc=1b.xab+ybc+zac=1c.xyab+yzbc+zxca=1d.ax+by+cz=1解析:由类比推理可知,方程应为xa+yb+zc=1.答案:a3.已知三角形的面积为s=12(a+b+c)r,其中a,b,c为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,则利用类比推理可以得出四面体的体积为()a.v=13abc 学 b.v=13shc.v=13(s1+s2+s3+s4)r(s1,s2,s3,s4为四个面的面积,r为内切球的半径)d.v=13(ab+bc+ac)h(h为四面体的高)解析:设abc的内心为o,连接oa,ob,oc,将abc分割为三个小三角形,这三个小三角形的高都是r,底边长分别为a,b,c;类比:设四面体a-bcd的内切球的球心为o,连接oa,ob,oc,od,将四面体分割为四个以o为顶点,以原来面为底面的四面体,高都为内切球的半径r,所以有v=13(s1+s2+s3+s4)r.答案:c4.下列类比错误的是()a.三角形的两边中点连线得到的中位线平行且等于第三边的一半,类似地,三棱锥的中截面的面积等于底面面积的一半b.三角形的两边中点连线得到的中位线平行且等于第三边的一半,类似地,三棱锥的中截面的面积等于底面面积的14c.三角形被平行于一边的直线所截得的三角形与原三角形相似,面积比等于相似比的平方,类似地,棱锥被平行于底面的平面所截得的截面与底面相似,体积比等于顶点到截面的距离与原棱锥高的比的立方d.梯形的中位线等于两底边长和的一半,类似地,圆台的中截面半径等于上、下两底面半径和的一半 z解析:选项a错误,三棱锥的中截面的面积等于底面面积的14.答案:a5.在平面直角坐标系xoy中,满足x2+y21,x0,y0的点p(x,y)的集合对应的平面图形的面积为4;通过类比可知,在空间直角坐标系o-xyz中,满足x2+y2+z21,x0,y0,z0的点p(x,y,z)的集合对应的空间几何体的体积为()a.8b.6c.4d.3解析:通过类比可知,在空间直角坐标系o-xyz中,满足x2+y2+z21,x0,y0,z0的点p(x,y)的集合对应的空间几何体的体积为半径为1的球的体积的18,即184313=6,故选b.答案:b6.在平面几何里,可以得出正确结论:“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的13”.拓展到空间,类比平面几何的上述结论,则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的.解析:三角形有三条边13;而正四面体有四个面14,可采用分割法证明.答案:147.在abc中,角c的平分线ce交ab于点e,且分abc的面积所成的比为saecsbec=acbc,将这个结论类比到空间:在三棱锥a-bcd中,平面dec平分二面角a-cd-b,且与ab交于点e,则va-cdevb-cde=.解析:平面中的面积类比到空间为体积,故saecsbec类比成va-cdevb-cde.平面中的线段长类比到空间为面积,故acbc类比成sacdsbcd.故有va-cdevb-cde=sacdsbcd.答案:sacdsbcd8.设等边三角形abc的边长为a,p是abc内的任意一点,且点p到三边ab,bc,ca的距离分别为d1,d2,d3,则有d1+d2+d3为定值32a;由以上平面图形的特性类比空间图形:设正四面体abcd的棱长为a,p是正四面体abcd内的任意一点,且点p到四个平面abc,abd,acd,bcd的距离分别为d1,d2,d3,d4,讨论d1+d2+d3+d4是否为定值,若是,求出这个定值.解是定值.因为每个面的面积为34a2,所以正四面体被分成以p为顶点,各侧面为底面的四个三棱锥,故34a2(d1+d2+d3+d4)=34a2h(h为正四面体的高),即d1+d2+d3+d4=h(定值).由立体几何知识求得h=63a, 学 故d1+d2+d3+d4=h=63a(定值).9.(1)椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)与x轴交于a,b两点,点p是椭圆c上异于a,b的任意一点,直线pa,pb分别与y轴交于点m,n,求证:anbm为定值b2-a2.(2)类比(1)可得如下真命题:双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与x轴交于a,b两点,点p是双曲线c上异于a,b的任意一点,直线pa,pb分别与y轴交于点m,n,则anbm为定值,请写出这个定值(不要求写出解题过程).解(1)证明如下:设点p(x0,y0)(x0a),a(-a,0),b(a,0),所以直线pa的方程为y=y0x0+a(x+a).令x=0,得ym=ay0x0+a.同理可得yn=-ay0x0-a,所以ymyn=a2y02a2-x02.又点p(x0,y0)在椭圆上,所以x02a2+y02b2=1,因此y02=b2a2(a2-x02),所以ymyn=a2y02a2-x02=b2.因为an=(a,yn),bm=(-a,ym),所以anbm=-a2+ymyn=b2-a2.(2)-(a2+b2).10.如图,已知o是abc内的任意一点,连接ao,bo,co,并延长分别交对边于点a,b,c,则oaaa+obbb+occc=1.这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”.oaaa+obbb+occc=sobcsabc+socasabc+soabsabc=sabcsabc=1.请运用类比思想,对于空间中的四面体v-bcd,存在什么类似的结论?并用体积法证明.解在四面体v-bcd中,任取一点o,连接vo,do,bo,co,并延长分别交四个面于点e,f,g,h,则oeve+ofdf+ogbg+ohch=1.证明:在四面体o-bcd与v-bcd中,设点o,v到平面bcd的距离分别为h1,h,则oeve=h1h=13sbcdh113sbcdh=vo -bcdvv -bcd,同