北师大版选修22 第四章1　定积分的概念 学案.doc

1定积分的概念学习目标重点难点1.能用分割、近似代替、求和取极限的思想方法求曲边梯形的面积2会用分割、近似代替、求和取极限的方法求变速运动物体在某段时间内的路程3理解定积分的概念、简单性质和几何意义.重点：定积分的概念，用“四步法”求函数的定积分难点：定积分概念的理解及用“四步法”求函数的定积分.1定积分的背景面积和路程问题面积问题、路程问题以及做功问题是3个实际意义完全不同的问题，但是它们的解决过程是相似的，都是通过分割自变量的区间得到_和_，分割得越细，估计值就越接近_，当分割成的小区间的长度_时，_和_趋于要求的值2定积分的概念一般地，给定一个在区间a，b上的函数yf(x)，其图像如图所示将a，b区间分成n份，分点为：ax0x1x2xn1xnb.第i个小区间为xi1，xi，设其长度为xi，在这个小区间上取一点i，使f(i)在区间xi1，xi上的值最大，设_.在这个小区间上取一点i，使f(i)在区间xi1，xi上的值最小，设_.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，s与s的差也趋于0，此时，s与s同时趋于某一个固定的常数a，容易验证，在每个小区间xi1，xi上任取一点i，_的值也趋于该常数a，我们称a是函数yf(x)在区间a，b上的_，记作f(x)dx，即_其中叫作_，a叫作_，b叫作积分的上限，f(x)叫作被积函数预习交流1思考：定积分的定义中，关于区间a，b的分法是等分还是任意分割？3定积分的几何意义及性质当f(x)0时，f(x)dx表示的是_与_，_和 _所围曲边梯形的面积；当f(x)表示速度关于时间x的函数时，_表示的是运动物体从xa到xb时所走过的路程性质1：1dx_；性质2：kf(x)dx_；性质3：f(x)g(x)dx_；性质4：f(x)dx_.预习交流2议一议：定积分的值和曲边梯形面积的关系是怎样的？答案：预习导引1过剩估计值不足估计值精确值趋于0过剩估计值不足估计值2sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xnsf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xnsf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn定积分f(x)dxa积分号积分的下限预习交流1：提示：定积分的定义中，关于区间a，b的分法是任意的，不一定是等分，只要保证每一个小区间的长度趋向于0就可以，采用等分的方式是为了便于求和另外，关于i的取法也是任意的，实际为了方便计算定积分，常把i都取为每个小区间的左(或右)端点3yf(x)xaxbx轴f(x)dxbakf(x)dxf(x)dxg(x)dx预习交流2：提示：通过求定积分，我们可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0；(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、利用定积分的定义求定积分利用定积分的定义，计算xdx的值思路分析：按照分割近似代替、求和取极限的解题步骤进行求解在求由抛物线yx2与直线x2，y0所围成的平面图形的面积时，把区间0,2等分成n个小区间，则第i个区间为()a. bc. d.求曲边梯形的面积，先将梯形分割成若干个细长条，每个细长条可以近似地看成一个小矩形，那么这些小矩形的面积的和就是曲边梯形的一个近似值，分割越细，这个近似值就越接近于曲边梯形面积的真实值二、定积分的几何意义用定积分的几何意义求下列各式的值：(1) dx；(2) sin xdx；(3) (1sin x)dx.思路分析：(1)可根据几何意义求解；(2)可利用奇偶性求解；(3)可数形结合求解由定积分的几何意义可知xdx的值等于()a1 b c2 d.利用定积分的几何意义求定积分必须准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题另外，结合图形更直观形象地辅助解题三、定积分的性质及其应用已知f(x)dx2，g(x)dx3.求：(1)f(x)g(x)dx；(2)2f(x)3g(x)dx.思路分析：利用定积分的性质af(x)bg(x)dxaf(x)dxbg(x)dx进行解题若2f(x)dx5，则2f(x)dx_.定积分的性质主要涉及定积分的线性运算，是解决定积分计算问题的重要工具，利用定积分的性质可以把被积函数较复杂的定积分化为简单函数的定积分问题答案：活动与探究1：解：分割：在区间0,1上等间隔地插入n1个分点，把区间0,1等分成n个小区间(i1,2，n)，每个小区间的长度为xxixi1.近似代替、求和：取i(i1,2，n)，则snf x i.取极限：xdxsn .迁移与应用：b解析：把0,2分成相等的n个小区间，每个小区间的长度为，第i个区间为.活动与探究2：解：(1)由y可知x2y24(y0)，其几何图形是半圆， dx是以2为半径的半圆的面积，dx2.(2)函数ysin x在x上是奇函数，sin xdx0.(3)函数y1sin x的图像如图所示，(1sin x)dxs矩形abcd2.迁移与应用：b解析：由定积分的几何意义知xdx表示梯形abcd的面积s梯(12)1.活动与探究3：解：(1)f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx235；(2)2f(x)3g(x)dx2f(x)dx3g(x)dx2f(x)dx3g(x)dx22335.迁移与应用：ba解析：2f(x)dx2f(x)dx5，f(x)dx，2f(x)dxba.1将函数f(x)x2的定义域分成几个小区间，在区间上有()af(x)的值变化很小bf(x)的值变化很大cf(x)的值不变化d当n很大时，f(x)的值变化很小2积分2xdx的值等于()a0 b2 c1 d43当n的值很大时，函数f(x)x2在区间上的值，可以用_来近似代替()af bf cf df(0)4设f(x)是连续函数，若f(x)dx1，f(x)dx1，则f(x)dx_.5已知x3dx，x3dx，x2dx.求：(1)(3x22x3)dx；(2)3x3dx.答案：1d解析：由定积分的定义知，当n很大时，区间趋向于0，f(x)的值变化很小2b解析：xdx，2xdx2xdx21.3b解析：由定积分的定义知，当n很大时，区间的长度趋向于0，f(x)的变化不大，所以函数值可用区间上的任何一个值代替，显然可用f代替42解析：由定积分性质，f(x)dxf(x)dxf(