北师大版选修45 放缩法几何法与反证法 课件（34张）.pptx

第3课时放缩法 几何法与反证法 第一章 4不等式的证明 学习目标1 理解用放缩法证明不等式的原理 会用放缩法证明一些不等式 2 了解几何法证明不等式的特征 会构造一些特征明显的图形证明一些特定的不等式 3 理解反证法的理论依据 掌握反证法的基本步骤 会用反证法证明不等式 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一放缩法 思考放缩法是证明不等式的一种特有的方法 那么放缩法的原理是什么 答案 不等式的传递性 等量加 减 不等量为不等量 梳理放缩法 1 放缩法证明的定义在证明不等式时 有时可以通过缩小 或放大 分式的分母 或分子 或通过放大 或缩小 被减式 或减式 来证明不等式 这种证明不等式的方法称为放缩法 2 放缩法的理论依据 不等式的传递性 等量加 减 不等量为不等量 同分子 分母 异分母 分子 的两个分式大小的比较 知识点二几何法 通过构造几何图形 利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法 知识点三反证法 思考什么是反证法 用反证法证明时 导出矛盾有哪几种可能 答案 1 反证法就是在否定结论的前提下推出矛盾 从而说明结论是正确的 2 矛盾可以是与已知条件矛盾 也可以是与已知的定义 定理矛盾 梳理反证法 1 反证法证明的定义 反证法是常用的证明方法 它是通过证明命题结论的否定不能成立 来肯定命题结论一定成立 2 反证法证明不等式的一般步骤 作出否定结论的假设 进行推理 导出矛盾 否定假设 肯定结论 题型探究 类型一放缩法证明不等式 证明 由于x y z不全为零 故上述三式中至少有一式取不到等号 反思与感悟 1 利用放缩法证明不等式 要根据不等式两端的特点及已知条件 条件不等式 谨慎地采取措施 进行恰当地放缩 任何不适宜的放缩都会导致推证的失败 2 一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法 利用放缩法证明不等式 就是采取舍掉式中一些正项或负项 或者在分式中放大或缩小分子 分母 或者把和式中各项或某项换成较大或较小的数 从而达到证明不等式的目的 证明 证明 k k 1 k2 k k 1 k n 且k 2 分别令k 2 3 n 得 类型二反证法证明不等式 命题角度1证明 否定性 结论 证明 1 a b 2 即a b 2 当且仅当a b 1时等号成立 2 a2 a 2与b2 b 2不可能同时成立 证明 证明假设a2 a 2与b2 b 2同时成立 则由a2 a 2及a 0 得0 a 1 同理 0 b 1 从而ab 1 这与ab 1矛盾 故a2 a 2与b2 b 2不可能同时成立 反思与感悟当待证不等式的结论为否定性命题时 常用反证法来证明 对结论的否定要全面不能遗漏 最后的结论可以与已知的定义 定理 已知条件 假设矛盾 跟踪训练2设0 a 2 0 b 2 0 c 2 求证 2 a c 2 b a 2 c b不可能同时大于1 证明 证明假设 2 a c 2 b a 2 c b同时都大于1 即 2 a c 1 2 b a 1 2 c b 1 则 2 a c 2 b a 2 c b 1 2 a 2 b 2 c abc 1 0 a 2 0 b 2 0 c 2 同理 2 b b 1 2 c c 1 2 a a 2 b b 2 c c 1 2 a 2 b 2 c abc 1 这与 式矛盾 2 a c 2 b a 2 c b不可能同时大于1 命题角度2证明 至少 至多 型问题例3已知f x x2 px q 求证 1 f 1 f 3 2f 2 2 证明 证明f 1 f 3 2f 2 1 p q 9 3p q 2 4 2p q 2 则 f 1 2 f 2 f 3 2 而 f 1 2 f 2 f 3 f 1 f 3 2f 2 2 矛盾 证明 反思与感悟 1 在证明中含有 至多 至少 最多 等字眼时 若正面难以找到解题的突破口 可转换视角 用反证法证明 2 在用反证法证明的过程中 由于作出了与结论相反的假设 相当于增加了题设条件 因此在证明过程中必须使用这个增加的条件 否则将无法推出矛盾 证明假设a b c都不大于0 即a 0 b 0 c 0 证明 3 0 且 x 1 2 y 1 2 z 1 2 0 a b c 0 这与a b c 0矛盾 因此假设不成立 a b c中至少有一个大于0 达标检测 1 2 4 3 解析对于a x的正 负不定 对于b m的正 负不定 对于c x的正 负不定 对于d 由绝对值三角不等式知 d正确 1 用放缩法证明不等式时 下列各式正确的是 答案 解析 1 2 4 3 2 用反证法证明命题 a b c全为0 时 其假设为a a b c全不为0b a b c至少有一个为0c a b c至少有一个不为0d a b c至多有一个不为0 答案 1 2 4 3 答案 解析 1 2 4 3 4 已知0 a 3 0 b 3 0 c 3 求证 a 3 b b 3 c c 3 a 不可能都大于 证明 显然 与 相矛盾 假设不成立 故命题得证 因为a b