向量基本概念及运算.doc

第五讲 向量基本概念及运算一、向量的基本概念；1 向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量2 向量的表示：几何法:用有向线段表示（有向线段: 规定了起点、方向、长度的 线段）代数法: 用字母表示 或3 向量的长度(模): 向量 的大小 表示：4 两个基本向量：零向量: 长度为零的向量(方向任意).表示：单位向量: 长度为1个单位长度的向量.5 向量的关系： 平行向量: 方向相同或相反的非零向量. 表示：相等向量: 长度相等且方向相同的向量. 表示： 若 ,则与起点位置无关共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上. 即平行向量也叫做共线向量.二、向量的运算1.向量的加法：求两个向量和的运算叫向量的加法 向量的加法的作法：(1)三角形法则 (2).平行四边形法则 向量加法的性质： 2 向量的减法：求两个向量差的运算叫向量的减法从几何图形上看，向量减法同样有三角形法则和平行四边形法则。3 实数与向量的积一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1) |a|=| |a|(2) 当0时,a的方向与a方向相同； 当0时,a的方向与a方向相反；特别地，当=0或a=0时, a=0 （3）运算规律 (4)共线向量的充要条件: 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得b=a5 向量的坐标运算（1）向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示问题：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？取x轴、y轴上两个单位向量, 作基底，则平面内作一向量=x+y，OBCAxybc记作：=(x, y) 称作向量的坐标 如：=(2, 2) =(1, 0) =(2, -1) =(0, 1) =(1, -5) =(0, 0)注意：1每一平面向量的坐标表示是唯一的；2设A(x1, y1) B(x2, y2) 则=(x2-x1, y2-y1)3两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。（2）平面向量的坐标运算1已知(x1, y1) (x2, y2) 和实数，则+=(x1+ x2, y1+y2) -=(x1- x2, y1-y2) =(x1, y1) 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。（3）平行向量的充要条件已知(x1, y1) (x2, y2) 则（b0）x1y2-x2y1=0三，向量夹角与模1向量的夹角 已知两个非零向量a和b ,作，则 叫做向量a和b的夹角。当 时，a与b同向；当 时，a与b反向 向量垂直:如果a与b的夹角是 ，我们说a与b垂直，记作2 数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量叫做a与b的数量积（或内积），记作 ，即 规定 (1)零向量与任一向量的数量积为零。 (2)数量积是个数，不是向量（可以是负数）3性质 设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则（1） （2） （ 设，则） (3) (4)当a与b同向时，当a与b反向时，特别地， 或 （设a =（x，y），则或|a |=）(5) （设，则 ）4几 何 意 义 的几何意义数量积等于的长度| 与b在的方向上的投影 的乘积5运算律在此处键入公式。（1）（交换律）；（2）（3）想一想：向量的数量积满足结合律吗？例1 如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出 图中与向量 、相等的向量.问题:(1) 与 相等吗? (2) 与 相等吗? (3) 与 长度相等的向量有几个? (4) 与共线的向量有哪几个?【巩固】判断下列命题是否正确， 1 平行向量是否一定方向相同？2 不相等的向量是否一定不平行？3 与零向量相等的向量必定是什么向量？4 与任意向量都平行的向量是什么向量？5 若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？6 两个非零向量相等的充要条件是什么？7 共线向量一定在同一直线上吗？8 单位向量都相等 9 四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 10 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.11 向量与不共线，则与都是非零向量例2 例3 已知：向量、b如图所示，则-b=?BA= -b 注意方向例4 计算：(1) (-3)4(2) 3(+b) 2(-b)- (3) (2+3b-c) (32b+c)例5 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，试判断AC与AE是否共线。【巩固】 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M、N、C三点共线。提示：设AB= BC =b则MN= +b MC= =+b 例6 已知三个力 (3, 4), (2, -5), (x, y)的合力+=求的坐标。解：由题设+= 得：(3, 4)+ (2, -5)+(x, y)=(0, 0)即： (-5,1)例7 若向量=(-1,x)与=(-x, 2)共线且方向相同，求x解：=(-1,x)与=(-x, 2) 共线 (-1)2- x(-x)=0 x= 与方向相同 x=【巩固与练习】1 已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？ 解：=(1-(-1), 3-(-1)=(2, 4) =(2-1,7-5)=(1,2) 又：22-4-1=0 又：=(1-(-1), 5-(-1)=(2,6) =(2, 4) 24-260 与不平行 A，B，C不共线 AB与CD不重合 ABCD2 若a，b