★新课标数学竞赛讲座(总).doc

目 录第一讲 走进美妙的数学世界2参考答案7第二讲：跨越从算术到代数9参考答案与试题解析13第三讲 创造的基石观察、归纳与猜想20第四讲 数轴数与形的第一次碰撞32参考答案：37第十一讲 列方程解应用题设元的技巧38参考答案42第一讲 走进美妙的数学世界从蛮荒时代的结绳计数到现代通讯和信息时代神奇的数学，人类任何时候都受到数学的恩惠和影响，数学科学是人类长期以来研究数、量的关系和空间形式而形成的庞大科学体系 走进美妙的数学世界，我们将一起走进崭新的“代数”世界，不断扩充的数系、奇妙的字母表示数、威力巨大的方程、不等式模型、运动变化的函数观念； 走进美妙的数学世界，我们将一起走进丰富的“图形”世界，拼剪、折叠、平移、旋转，在操作与实验活动中，发现这些图形的奇妙的性质，用它们设计精美的图案； 走进美妙的数学世界，我们将畅游在无边的“数据”世界，从图表中获取信息，并选择合适的图表来表达数据和信息； 走进美妙的数学世界，它将开阔我们的视野，它提醒我们有无形的灵魂，它改变我们的思维方式，它涤尽我们的蒙昧与无知诺贝尔奖获得者、著名物理学家杨振宁说：“我赞美数学的优美和力量，它有战术的机巧与灵活，又有战略上的雄才远虑，而且，奇迹的奇迹，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本结构”例题【例1】 (1)我们平常用的数是十进制数，如26392103+6102+3109，表示十进制的数要用10个数的数码(又叫数字)：0，1，2，3，9，在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如二进制中1011 22+0 21+1等于十进制的数5，那么二进制中的1101等于十进制的数 (浙江省金华市中考题)(2)探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方再相加。得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和重复运算下去，就能得到一个固定的数T ，我们称之为数字“黑洞” (青岛市中考题) 思路点拨 (1)从阅读中可知，无论何种进制的数都可表示与数位上的数字、进制值有关联的和的形式；(2)从一个具体的数操作，发豌规律 【例2】 A、B、C、D、E、F六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、l场球，则还没有与B队比赛的球队是( ) (第18后江苏茁竞赛题) AC队 BD队 CL，队 DF队 思路点拨 用算术或代数方法解，易陷入困境用6个点表示A、B、C、D、E、F这6个足球队，若两队已经赛过一场，就在相应的两个点之间连一条线。这样用图来辅助解题，形象而直观【例3】校教具制造车间有等腰直角三角形、正方形、平行四边形三种废塑料板若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块，恰好拼成了一个矩形(如图后来，又用它们分别拼出了X、Y、Z等字母模型(如图，图，图)，如果每块塑料板保持图的标号不变，请你参与： (1)将图中每块塑料板对应的标号填上去； (2)图中，只画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板，并填上标号，(3)在图中，请你适当画线，找出7块塑料板，并填上标号 思路点拨 动手实验、操作从对图形分割人手 链接 数与形，以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常有助于问题的解决 【例4】 根据图和图回答问题： (1)1997年与2000年相比，产值比重减少最多的是哪个产业?(2)假定2000年光机电一体化的产值是1997年的2倍，那么2000年高新技术产业工业总产值比1997年增长率是多少?(3)2000年与1997年相比高新技术产业生产值总额增加最多的是哪个产业?(2003年中央国家机关公务员录用考试行政职业能力倾向试卷试题) 思路点拨 从给定的扇形统计图表中获取信息，须注意的是扇形统计图表示的是某一部分占总体的百分比(或称某一部分的比重)，因此，需要引入字母表示某种产值的具体数额，【例5】 一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和是1999，求这个四位数，并说明理由 (重庆市竞赛题)思路点拨 设所求的四位数为，由题意可得关于、的一个等式，运用估算、讨论、枚举等方法，分别求出、的值 注：解与整数相关的问题，常常要用到“估算”这种重要方法运用估算是在解决问题的过程中，合理运用缩放、近似等方法简化计算的一种算法，运用估算往往能使我们更迅速地接近正确目标链接 阅读是人们吸取知识的主要手段和认识世界的重要途径现代及未来社会要求人们具有的阅读能力已不再只是语文阅读能力，而是一种以语文阅读能力为基础，包括外语阅读能力、数学阅读能力、科技阅读能力在内的综合阅读能力读数学书，要边读书边思考对于概念，要抓住关键词句推敲，从概念间的相互联系中去掌握概念；对于公式、法则、性质等，要思考结论的准确意思、公式成立的条件、适用的范围；对于例题，要自己先动手做一做，再与书上的解答对照，找出知识上的缺陷、错误，并从中总结适用知识的规律 学力训练 1观察下列顺序排列的等式：90十11，91+2=11， 92+321， 93+431， 9 4+5=4l，猜想：第年n个等式应为 (2003年北京市中考题)2如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆20(即n=20)时，需要的火柴棍总数为 根 (河北省中考题)3世界杯中，中国男足与巴西、土耳其、哥斯达黎加队同分在C组。赛前，50名球迷就C组哪支球队将以小组第二名进入十六强进仃猜测，统计结果则图，认为中国队将以小组第二名的身份进入十六强的人数占的百分比为 ( “希望杯”邀请赛试题) 4自然数、e都大于1，其乘积，则其和的最大值为 ，最小值为 5若一个正整数被2，3，9这八个自然数除，所得的余数都为l，则的最小值是 ，的一般表达式为为 63个质数、满足，且，那么等于( ) A2 B3 C 7 D13 (第18后江苏省竞赛题)7如果有2003名学生排成一列，按1，2，3，4，3，2，l，2，3，4，3，2，的规律报数，那么第2003名学生所报的数是( )A 1 B2 C3 D48如图，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片(同一个直 角三角形的两条直角边不相等)，把两个三角形相等的边靠在 一起(两张纸片不重叠)，可以拼出若干种图形，其中，形状不同 的四边形有( )A3种 B4种 C5种 D6种9下面四个图形每个均由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的是( )10设“”、“”、“曰”表示三种不同的物体，用天平比较 它们质量的大小，两次情况如图所示，那么、这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为( )A、 B、C、 D、(江西省中考题) 11用一个两位数去除2003，余数是8，这样的两位数有 个，其中最大的两位数是 12如果是任意2个不等于零的数，定义运算如下(其余符号意义如常)：=，那么1（23） 一（12）3的值是 13如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形分成两个面积为的矩形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去试利用图形揭示的规律计算： 14观察下图，三棱柱有5个面6个顶点9条棱，四棱柱有6个面8个顶点12条棱，五棱柱有7个面10个顶点15条棱由此可推测n棱柱有(n+2)个面 个顶点 条棱 15某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加10，三月份比二月份减少10，那么三月份比一月份( ) A增加10 B减少10 C不增不减 D减少1 (河南省中考题)16三进位制数201可用十进位制数表示为232+031+129+0+119； 二进位制数1011可用十进位制数表示为123+022+12+18+0+2+1=11现有三进位制数=221，二进位制数10111，则与的大小关系为( ) A B= Ca原售价：800元，台甲商场用如下办法促销：购买台数15台610台1115台1620台20台以上每台价格760元720元680元640元600元乙商场用如下办法促销：每次购买18台，每台打九折；每次购买916台，每台打八五折；每次购买1724台，每台打八折；每次购买24台以上，每台打七五折； (1)请仿照甲商场的促销列表，列出到乙商场购买VCD的购买台数与每台价格的对照表；(2)现在有A、B、C三个单位，A单位要买10台VCD，B单位要买16台VCD，C 单位要买20台VCD问他们到哪家商场购买花费较少? (第14届“希望杯”邀请赛试题) 22如图是一张“3 5”(表示边长分别为3和5)的长方形，现要把它分成若干张边长为整数的长方形(包括正方形)纸片，并要求分得的任何两张纸片都不完全相同 (1)能否分成5张满足上述条件的纸片? (2)能否分成6张满足上述条件的纸片?若能分，用“ab”的形式分别表示出各张纸片的边长，并画出分割的示意图；若不能分，请说明理由(江苏省竞赛题) 参考答案第二讲：跨越从算术到代数一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1观察下列等式91=8164=12259=163616=20这些等式反映自然数间的某种规律，请用含n（n为正整数）的等式表示这个规律_6给出下列算式：l2+1=12，22+2=23，32+3=34，观察上面一列算式，你能发现什么规律，用代数式子表示这个规律：_7已知：2+=22，3+=32，4+=42，5+=52，若10+=102符合前面式子的规律，则a+b=_8若（m+n）人完成一项工程需要m天，则n个人完成这项工程需要_天（假定每个人的工作效率相同）9某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共用90分钟，若往返都坐车，全部行程只需30分钟，如果往返都步行，共需_分钟16观察下列各正方形图案，每条边上有n（n2）个圆点，每个图案中圆点的总数是S按此规律推断出S与n的关系式为S=_17如图将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起（a0，b0）则三角形ABC的面积是_18 17个连续整数的和是306，那么紧接在这17个数后面的那17个连续整数的和等于_19用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律，拼成若干图案：（1）第4个图案有白色地面砖_块；（2）第n个图案有白色地面砖_块二、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）2某商品2002年比2001年涨价5%，2003年又比2002年涨价10%，2004年比2003年降价12%，则2004年比2001年（）A涨价3%B涨价1.64%C涨价1.2%D降价1.2%10一项工程，甲建筑队单独承包需要a天完成，乙建筑队单独承包需要b天完成现两队联合承包，那么完成这项工程需要（）A天B（）天C天D天11某商场在统计今年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加了10%，三月份比二月份减少了10%，则三月份的销售额比一月份的销售额（）A增加10%B减少10%C不增也不减D减少1%12如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一个阴影部分是平行四边形，依照图中的数据，图中阴影部分面积为（）Abc+ac+c2Bac+bc2c2Cab+bcacDc2bcac13为了绿化环境、美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S1、S2的大小关系是（）AS1S2BSlS2CS1=S2D无法比较20下列四个数中等于100个连续自然数之和的是（）A1627384950B234578910C3579111300D469258147021给出两列数：1，3，5，7，9，2001和6，11，16，2001，同时出现在这两列数中的数的个数为（）A199B200C201D20222一种商品每件进价为a元，按进价增加25%定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利（）A0.125a元B0.15a元C0.25a元D1.25a元23如果a个同学在b小时内共搬运c块砖，那么c个同学以同样速度搬运a块砖所需要的小时数是（）ABCD三、解答题（共8小题，满分87分）3计算：4将一张纸，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成4片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此进行下去，试问：（1）经过4次分割后，共得到多少张纸片？（2）经过n次分割后，共得到多少张纸片？（用含n的代数式表示）（3）能否经过若干次分割后共得到2009张纸片？若能，请直接写出相应的次数，若不能，请说明理由5如图，有9个方格，要求每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数的和相等，问图中的m是多少？14从1开始，连续的奇数相加，和的情况如下：1=12，1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，（1）请你推测出，从1开始，n个连续的奇数相加，它们的和s的公式是什么？（2）计算：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19；11+13+15+17+19+21+23+25（3）已知1+3+5+（2n1）=225，求整数n的值15从小明的家到学校，是一段长度为a的上坡路接着一段长度为b的下坡路（两段路的长度不等，但坡度相同）已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20%，走下坡路比走平路时的速度快20%，又知小明上学途中花10分钟，放学途中花12分钟（1）判断a与b的大小；（2）求a与b的比值24已知（n=l，2，3，2002）求当a1=1时，a1a2+a2a3+a3a4+a2002a2003的值25在一次数学竞赛中，组委会决定用NS公司赞助的款购买一批奖品，若以1台NS计算器和3本数学竞赛讲座书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS计算器和5本数学竞赛讲座书为一份奖品，则可买80份奖品，问这笔钱全部用来购买计算器或数学竞赛讲座书，可各买多少？26阅读下列材料：十六大提出全面建设小康社会国际上常用恩格尔系数（记作n）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：n=100%，各类家庭的恩格尔系数如下表所示：家庭类型 贫困 温饱 小康 富裕 最富裕n n60% 50%n60% 40%n50% 30%n40% n30%根据上述材料，解答下列问题：某校初三学生对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查从1997年至2002年间，该乡每户家庭消费支出总额每年平均增加500元，其中食品消费支出总额每年平均增加200元1997年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平，已知该年每户家庭消费支出总额平均为8000元（1）1997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元？（2）设从1997年起m年后该乡平均每户的恩格尔系数为nm（m为正整数），请用m的代数式表示该乡平均每户当年的恩格尔系数nm，并利用这个公式计算2003年该乡平均每户的恩格尔系数（百分号前保留整数）（3）按这样的发展，该乡将于哪年开始进入小康家庭生活？该乡农民能否实现十六大提出的2020年我国全面进入小康社会的目标？参考答案与试题解析一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1（4分）观察下列等式91=8164=12259=163616=20这些等式反映自然数间的某种规律，请用含n（n为正整数）的等式表示这个规律（n+2）2n2=4（n+1）解：上述各等式可整理为：3212=24；4222=34；5232=44；6242=54；从而可得到规律为：（n+2）2n2=4（n+1）6（4分）给出下列算式：l2+1=12，22+2=23，32+3=34，观察上面一列算式，你能发现什么规律，用代数式子表示这个规律：n2+n=n（n+1）解：观察算式可知：n2+n=n（n+1）故答案为：n2+n=n（n+1）7（4分）（2006临安市）已知：2+=22，3+=32，4+=42，5+=52，若10+=102符合前面式子的规律，则a+b=109解：根据题中材料可知=，10+=102b=10，a=99 a+b=1098（4分）若（m+n）人完成一项工程需要m天，则n个人完成这项工程需要天（假定每个人的工作效率相同）解：（m十n）人完成一项工程需要m天，1个人的工效为，n个人的工效为，n个人完成这项工程需要的天数为1=，故答案为9（4分）某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共用90分钟，若往返都坐车，全部行程只需30分钟，如果往返都步行，共需150分钟解：坐车去学校的时间为30=15分钟，上学时步行，回家时坐车，路上一共用90分钟，所以步行上学的时间为9015=75分钟，所以往返都步行的时间为275=150分钟故应填150分钟16（4分）（2009大同二模）观察下列各正方形图案，每条边上有n（n2）个圆点，每个图案中圆点的总数是S按此规律推断出S与n的关系式为S=4n4解：n=2时，S=4；n=3时，S=4+14=8；n=4时，S=4+24=12，S=4+（n2）4=4n4=4（n1）17（4分）如图将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起（a0，b0）则三角形ABC的面积是b2解：连接FA、HB交于E，则HE=a+b，=cf，EB=a，AE=ba，则ADBC，由三角形的面积公式得：SABC=S矩形EFCHSAEBSBHCSAFC=（a+b）b（ba）abb（a+b）a=b2 故答案为：b218（4分）17个连续整数的和是306，那么紧接在这17个数后面的那17个连续整数的和等于595解：由题意可知：17个连续整数的和是306，那么紧接着后面的那17个连续整数的和为306+1717=595故填59519（4分）（2003江西）用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律，拼成若干图案：（1）第4个图案有白色地面砖18块；（2）第n个图案有白色地面砖（4n+2）块解：第1个图有白色块4+2，第2图有42+2，第3个图有43+2，所以第4个图应该有44+2=18块，第n个图应该有（4n+2）块二、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）2（3分）某商品2002年比2001年涨价5%，2003年又比2002年涨价10%，2004年比2003年降价12%，则2004年比2001年（）A涨价3%B涨价1.64%C涨价1.2%D降价1.2%解：设此商品2001年的价格为a元，2002年比2001年涨价5%，2002年的价格为a（1+5%）=1.05a元，2003年又比2002年涨价10%，2003年的价格为1.05a（1+10%）=1.155a元，2004年比2003年降价12%，2004年的价格为1.155a（112%）=1.0164a元，（1.0164aa）a100%=1.64%，故选B10（3分）一项工程，甲建筑队单独承包需要a天完成，乙建筑队单独承包需要b天完成现两队联合承包，那么完成这项工程需要（）A天B（）天C天D天解：甲建筑队单独承包需要a天完成，乙建筑队单独承包需要b天完成两队联合承包每天完成工程的，完成这项工程需要的时间为1（）=天故选C11（3分）（2003河南）某商场在统计今年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加了10%，三月份比二月份减少了10%，则三月份的销售额比一月份的销售额（）A增加10%B减少10%C不增也不减D减少1%解：设一月份销售额为x，则二月份销售额=x（1+10%）=1.1x，三月份就是x（1+10%）（110%）=0.99x，因此三月份的销售额比一月份的销售额减少1%；答：三月份的销售额比一月份的销售额减少1%故选D12（3分）如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一个阴影部分是平行四边形，依照图中的数据，图中阴影部分面积为（）Abc+ac+c2Bac+bc2c2Cab+bcacDc2bcac解：横向阴影部分矩形的面积=ac，平行四边形的面积=底乘以高=cb，重叠部分的面积为cc=c2，图中阴影部分面积为ac+bc2c213（3分）为了绿化环境、美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S1、S2的大小关系是（）AS1S2BSlS2CS1=S2D无法比较解：设两块草坪的周长为a，则正方形的边长为，所以正方形的面积：S1=；根据2r=a，解得圆的半径为：r=，所以圆的面积：S2=因为，所以S1S2故选B20（3分）下列四个数中等于100个连续自然数之和的是（）A1627384950B234578910C3579111300D4692581470解：设100个连续自然数之和从a+1开始，则其和=100a+（1+2+3+100），=100a+=100a+5050，所以，后两位应该是50故选A21（3分）给出两列数：1，3，5，7，9，2001和6，11，16，2001，同时出现在这两列数中的数的个数为（）A199B200C201D202解：同时出现在两个数列中的数应是从11开始每相差为10的，即11，21，31，41，1991，2001，共2010=200个故选C22（3分）（2003泰安）一种商品每件进价为a元，按进价增加25%定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利（）A0.125a元B0.15a元C0.25a元D1.25a元解：依题意可得，a（1+25%）0.9a=0.125a元故选A23（3分）如果a个同学在b小时内共搬运c块砖，那么c个同学以同样速度搬运a块砖所需要的小时数是（）ABCD解：a个同学在b小时内共搬运c块砖，1个同学1小时的工作效率为，c个同学1小时的工作效率为，c个同学以同样速度搬运a块砖所需要的小时数为a= 故选D三、解答题（共8小题，满分87分）3（10分）计算：解：假设：a=1+，b=+，即ab=1，原式=（b+）a（a+）b=ab+aabb=（ab）又ab=1 原式=4（11分）将一张纸，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成4片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此进行下去，试问：（1）经过4次分割后，共得到多少张纸片？（2）经过n次分割后，共得到多少张纸片？（用含n的代数式表示）（3）能否经过若干次分割后共得到2009张纸片？若能，请直接写出相应的次数，若不能，请说明理由解：（1）第一次140=4张，第二次241=7张，第三次342=10张，第四次443=13张；答：经过4次分割后，共得到13张纸片；（2）由（1）可知经过n次分割后，共得到4n（n1）=3n+1张纸片；（3）不能经过若干次分割后共得到2009张纸片；因为3n+1=2009，解得n=（不合实际），所以不能经过若干次分割后共得到2009张纸片5（11分）如图，有9个方格，要求每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数的和相等，问图中的m是多少？解：如图设相应的方格中数为x1，x2，x3，x4，由已知得：m+x1+x2=x1+x3+13（1），m+x3+x4=x2+x4+19（2）（1）+（2）得：2m+x1+x2+x3+x4=13+19+x1+x2+x3+x42m=13+19，即m=16答：图中的m是1614（11分）从1开始，连续的奇数相加，和的情况如下：1=12，1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，（1）请你推测出，从1开始，n个连续的奇数相加，它们的和s的公式是什么？（2）计算：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19；11+13+15+17+19+21+23+25（3）已知1+3+5+（2n1）=225，求整数n的值解：（1）S=n2；（2）1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102=100；11+13+15+17+19+21+23+25，=（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25）（1+3+5+7+9），=13252=16925=144；（3）1+3+5+（2n1）=225，2n1=29，n=1515（11分）从小明的家到学校，是一段长度为a的上坡路接着一段长度为b的下坡路（两段路的长度不等，但坡度相同）已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20%，走下坡路比走平路时的速度快20%，又知小明上学途中花10分钟，放学途中花12分钟（1）判断a与b的大小；（2）求a与b的比值解：（1）设小明在平路上的速度为1，则：上坡的速度是：1（120%）=180%=；下坡的速度是：1（1+20%）=1120%=；上学用的时间是：a+b=10，a+b=10，即：15a+10b=120；放学用的时间是：b+a=12，b+a=12，即：15b+10a=144；用可得：（15b+10a）（15a+10b）=144120，15b+10a15a10b=105b5a=24，5（ba）=24，ba=；则ab（2）由：可知：（15a+10b）：（15b+10a）=120：144，（15a+10b）：（15b+10a）=5：6，5（15b+10a）=6（15a+10b），75b+50a=90a+60b，40a=15b，8a=3b，a：b=3：8=答：a与b的比值是24（11分）已知（n=l，2，3，2002）求当a1=1时，a1a2+a2a3+a3a4+a2002a2003的值解：an+1=， 当a1=1，a2=，a3=，a2003=，a1a2+a2a3+a3a4+a2002a2003=+=（1）+（）+（）=1=故答案为：25（11分）在一次数学竞赛中，组委会决定用NS公司赞助的款购买一批奖品，若以1台NS计算器和3本数学竞赛讲座书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS计算器和5本数学竞赛讲座书为一份奖品，则可买80份奖品，问这笔钱全部用来购买计算器或数学竞赛讲座书，可各买多少？解：设每台计算器x元，每本数学竞赛讲座书y元，这笔钱为s元则有100（x+3y）=s=80（x+5y）化简得x=5y解得s=800y则这笔款可买数学竞赛讲座800本又y=，s=160x则这笔款可买计算器160台26（11分）（2003桂林）阅读下列材料：十六大提出全面建设小康社会国际上常用恩格尔系数（记作n）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：n=100%，各类家庭的恩格尔系数如下表所示：家庭类型 贫困 温饱 小康 富裕 最富裕n n60% 50%n60% 40%n50% 30%n40% n30%根据上述材料，解答下列问题：某校初三学生对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查从1997年至2002年间，该乡每户家庭消费支出总额每年平均增加500元，其中食品消费支出总额每年平均增加200元1997年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平，已知该年每户家庭消费支出总额平均为8000元（1）1997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元？（2）设从1997年起m年后该乡平均每户的恩格尔系数为nm（m为正整数），请用m的代数式表示该乡平均每户当年的恩格尔系数nm，并利用这个公式计算2003年该乡平均每户的恩格尔系数（百分号前保留整数）（3）按这样的发展，该乡将于哪年开始进入小康家庭生活？该乡农民能否实现十六大提出的2020年我国全面进入小康社会的目标？解：（1）800060%=4800元，（2），即，当m=20031997=6时，当n6=0.55=55%，（3）取nm=0.5，即，解得m=16即1997+16=20132020年所以，2013该村进入小康生活，并能实现十六大提出的目标第三讲 创造的基石观察、归纳与猜想 当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的预言，通过猜测，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的 从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史20世纪数学发展中巨大成果是，1995年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达350多年的“费尔马大猜想”，而著名的哥德巴赫猜想，已经历经了两个半世纪的探索，尚未被人证实猜想的正确性当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法，是创造发明的基石“要想成为一个好的数学家，你必须是一个好的猜想家，数学家的创造性工作的结果是论证推理，是一个证明，但证明是由合情推理、由猜想来发现的”_G波利亚链接：G波利亚，美籍匈牙利人，现代著名数学家，他的怎样解题等著作，被誉为第二次世界大战后的数学经典著作之一观察、实验、猜想是科学技术创造过程中一个重要方法，通过观察和实验提出问题，再提出猜想和假设，最后通过推理去证明假设和猜想举世瞩目的“数学皇冠上的明珠”哥德巴赫（德国数学家）猜想，就是从下面这些等式：6=3+3,8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11归纳得出：“任何不小于6的偶数均可以表示成两个奇质数的和”我国数学家陈景润于1973年证明了“1+2”，离解决哥德巴赫问题，即“1+1”仅一步之遥例题讲解【例1】 (1)用表示实圆，用表示空心圆，现有若干实圆与空心圆按一定规律排列如下： 问：前2001个圆中，有 个空心圆 (江苏省泰州市中考题) (2)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，2l，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 (舟山市中考题)思路点拨 (1)仔细观察，从第一个圆开始，若干个圆中的实圆数循环出现，而空心圆的个数不变；（2）每个三角形数可用若干个数表示【例2】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：像这样，10条直线相交，最多交点的个数是( )A40个 B45个 C50个 D55个 (湖北省荆门市中考题)思路点拨 随着直线数的增加，最多交点也随着增加，从给定的图形中，探讨每增加一条直线，最多交点的增加数与原有直线数的关系是解本例的关键【例3】化简 (第18届江苏省竞赛题)思路点拨 先考察1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更加明确【例4】古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；地支有12个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行； 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥 从左向右数，第l列是甲子，第3列是丙寅，问当第二次甲和子在同一列时，该列的序号是多少? ( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 把“甲”、“子”在第一行、第二行出现的位置分别用相应的代数式表示，将实际问题转化为数学问题求解 链接：观察是解决问题的先导，发现往往是从观察开始的，归纳与猜想是建立在细致而深刻的观察基础上的，解题中的观察活动主要有三条途径： (1)数与式的特征观察；(2)图形的结构观察；(3)通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况归纳总是与递推联系在一起的，所谓递推，就是在归纳的基础上，发现每一步与前一步或前几步之间的联系，更容易发现规律然后证明通过归纳所猜测的规律的正确性【例5】图、都称作平面图图顶点数边数区域数(a)463(b)(c)(d) (1)数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少区域，将结果填人表中(其中(a)已填好) (2)观察表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系? (3)现已知某一平面图有999个顶点和999个区域，试根据(2)中推断出的关系，确定这个图有多少条边? ( “华杯赛”决赛试题)思路点拨 从特殊情况人手，仔细观察、分析、试验和归纳，从而发现其中的共同规律，这是解本例的关键链接：历史上著名的数学家欧拉曾经研究过正多面体，惊奇地发现了正多面体的顶点数、面数、棱数存在一个奇妙的相等关系：史称“欧拉公式”，它不仅在数学方法上有所创新，而且推动了现代数学的重要分支拓扑学的发展 【例6】已知，且，均为正整数，如果将进行如下方式的“分解”，那么下列三个叙述：在的“分解”中最大的数是11；在的“分解”中最小的数是13；若的“分解”中最小的数是23，则等于5其中正确的是_ （太原市中考题）思路点拨 明确对进行“分解”的意义，是解本例的关键【例7】观察图形寻找规律，在“？”处填上的数字是（ ）A128 B136 C162 D188 （南宁市中考题）思路点拨 从探讨数字键的关系入手【例8】一楼梯共有级台阶，规定每一步可以迈1级或2级或3级，设从地面到台阶的第级，不同的迈法为种，当=8时，求 （河南省竞赛题）思路点拨 先求出当=1，2，3，4时，的值，解题的关键是，从某级开始，寻找与、的联系基础训练一、基础夯实1.(1)如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据图中的数构成的规律,a所表示的数是_.(2001年浙江省绍兴市中考题) （1） （2） (2)观察一列数:3,8,13,18,23,28,依此规律,在此数列中比2000大的最小整数是_. (2003年金华市中考题)2.如图2是2002年6