北师大版选修22 第三章2　导数在实际问题中的应用 学案.doc

2导数在实际问题中的应用学习目标重点难点1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2会用导数求闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.重点：利用导数求闭区间上的函数的最大值、最小值难点：把实际问题转化成抽象的函数问题，解决实际问题时注意函数的定义域.1生活中的变化率问题在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为_，它的单位是_在气象学中，通常把在单位时间(如1时、1天等)内的降雨量称作_，它是反映一次降雨大小的一个重要指标预习交流1议一议：如何理解边际成本？2最大值、最小值问题函数yf(x)在区间a，b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值_最大值或者在极大值点取得，或者在区间的端点取得因此，要想求函数的最大值，应首先求出函数的极大值点，然后将所有极大值点与区间端点的函数值进行比较，其中_即为函数的_函数的最小值点也有类似的意义和求法函数的最大值和最小值统称为_预习交流2思考：利用导数解决生活中的优化问题时应注意什么问题？答案：预习导引1功率瓦特降雨强度预习交流1：提示：在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数yf(x)的导函数称为边际成本边际成本f(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f(x0)个单位的成本2都不超过f(x0)最大的值最大值最值预习交流2：提示：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去(2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间(3)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f(x0)0的情形，如果函数的这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道该点的函数值就是最大(小)值在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、生活中的变化率问题某糕点加工厂生产a类糕点的总成本函数和总收入函数分别是(单位：元)：c(x)1002x0.02x2，r(x)7x0.01x2.求边际利润函数和当日产量分别是200 kg,250 kg和300 kg时的边际利润，并说明其经济意义思路分析：先建立目标函数，再对目标函数求导用总长14.8米的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面一边比另一边长0.5米，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合用导数求解问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点二、求函数的最值求函数f(x)x32x21在区间1,2上的最值思路分析：求出在1,2上的极值f，f(0)，再求出端点值f(1)，f(2)，最后进行比较已知函数f(x)x33x29xa：(1)求f(x)的单调减区间；(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值求函数在闭区间上的最值时，一般是先找出该区间上使导数为零的点，无需判断出是极大值还是极小值，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值答案：活动与探究1：解：总利润函数为l(x)r(x)c(x)1005x0.01x2，边际利润函数为l(x)50.02x.当日产量分别是200 kg,250 kg和300 kg时的边际利润分别是l(200)1(元)，l(250)0元，l(300)1元其经济意义：当日产量为200 kg时，再增加1 kg，则总利润可增加1元；当日产量为250 kg时，再增加1 kg，则总利润无增加；当日产量为300 kg时，再增加1 kg，则反而亏损1元迁移与应用：解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为(0.5x) m，高为(3.22x) m，由x0和3.22x0得0x1.6.设容器的容积为y m3，则有：yx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x.令y6x24.4x1.60，得x11，x2(舍去)根据实际问题可知：当x1时，ymax1.8，此时高为3.221.2 m.当容器的高为1.2 m时容积最大，最大容积为1.8 m3.活动与探究2：解：f(x)3x24x.令f(x)0，得3x24x0，解得x10，x2.f(1)2，f(0)1，f，f(2)1，f(x)的最大值为1，最小值为2.迁移与应用：解：(1)f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x1或x3.函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2)f(2)81218a2a，f(2)81218a22a，f(2)f(2)在(1,3)上f(x)0，f(x)在1,2上单调递增，f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值于是有22a20，解得a2，故f(x)x33x29x2，f(1)13927，即函数f(x)在区间2,2上的最小值为7.1以长为10的线段ab为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()a10 b15 c25 d502函数f(x)2x33x212x5在0,3上的最大值和最小值分别是()a5，15 b5，4c4，15 d5，163函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()a0a1 b0a1c1a1 d0a4设函数f(x)x32x5.若对任意x1,2都有f(x)m，则实数m的取值范围是_5设函数f(x)aexb(a0)(1)求f(x)在0，)内的最小值；(2)设曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为yx，求a，b的值答案：1b解析：设矩形的宽为x，则长为2，s2x2(0x5)令f(x)25x2x4，则f(x)50x4x30时，x10(舍)，x2，x3(舍)当x时，s2225.2a解析：f(x)6x26x12，令f(x)0，6x26x120，x11，x22，f(0)5，f(3)4，f(2)15，最大值为f(0)5，最小值为f(2)15.3d解析：f(x)3x23a，f(x)在(0,1)内有最小值，f(0)0，f(1)0，a0,13aa0，0a.4m解析：f(x)3x2x2.令3x2x20，x11，x2，f(1)125，f(1)125，f(2)82457，f5.对任意x1,2都有f(x)m，则m.5解：(1)f(x)aex，当f(x)0，即xln a时，f(x)在(ln a，)上递增；当f(x)0，即xln a时，f(x)在(，ln a)上递减当0a1时，ln a0，f(x)在(0，ln a)上递减，在(ln a，)上递增，从而f(x)在0，)上的最小值为f(ln a)2b；当