北师大版选修45 数学归纳法与贝努利不等式 课时作业.docx

2018-2019学年北师大版选修4-5 数学归纳法与贝努利不等式 课时作业1.某个命题与正整数有关,若当n=k(kn+)时该命题成立,则可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时该命题不成立,则可推得()a.当n=6时,该命题不成立b.当n=6时,该命题成立c.当n=4时,该命题成立d.当n=4时,该命题不成立解析:依题意,当n=4时,该命题成立,则当n=5时,该命题成立,而当n=5时,该命题不成立,却无法判断当n=6时该命题成立还是不成立.故选d.答案:d2.用数学归纳法证明1+2+22+25n-1是31的整数倍时,当n=1时,左边式子等于()a.1+2b.1+2+22c.1+2+23d.1+2+22+23+24解析:当n=1时,左式=1+2+22+251-1=1+2+22+23+24.答案:d3.下列代数式(其中kn+)能被9整除的是()a.6+67kb.2+7k-1c.2(2+7k+1)d.3(2+7k)解析:(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n(nn+,n1)时命题成立,即3(2+7n)能被9整除.则当k=n+1时,3(2+7n+1)=21(2+7n)-36也能被9整除.这就是说,当k=n+1时,命题也成立.由(1)(2)可知,3(2+7k)能被9整除对任何kn+都成立.答案:d4.对于不等式n2+nn+1(nn+),某同学应用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n=1时,12+11+1,不等式成立.(2)假设当n=k(kn+,且k1)时,不等式成立,即k2+kk+1,则当n=k+1时,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+2(k2+3k+2)+(k+2)=(k+2)2=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2)可知,对任何nn+,n2+n2的自然数n都成立b.该命题对于所有的正偶数都成立c.该命题何时成立与k取什么值无关d.以上答案都不对解析:由题意,当n=2时成立,可推得n=4,6,8,都成立,因此对所有正偶数都成立.答案:b6.记凸k边形的内角和为f(k),则凸(k+1)边形的内角和f(k+1)=f(k)+.答案:1807.已知f(n)=1+12+13+1n(nn+),用数学归纳法证明f(2n)n2时,f(2k+1)-f(2k)等于.解析:f(2k+1)=1+12+13+12k+12k+1+12k+2+12k+2k,f(2k)=1+12+13+12k,f(2k+1)-f(2k)=12k+1+12k+2+12k+1.答案:12k+1+12k+2+12k+18.用数学归纳法证明:xn-yn能被x-y整除(n为正奇数)时,假设当n=k(k为正奇数)时,命题成立,再证当n=时,命题也成立.答案:k+29.证明:凸n边形的内角和f(n)=(n-2)180(n3).证明(1)当n=3时,f(3)=180,(3-2)180=180,命题成立.(2)假设当n=k(kn+,k3)时,命题成立,即凸k边形的内角和f(k)=(k-2)180.当边数为(k+1)时,如图,把(k+1)边形分割为一个k边形和a1akak+1,因此凸(k+1)边形的内角和为凸k边形内角和加上a1akak+1的内角和.f(k+1)=f(k)+180=(k-2)180+180=(k+1)-2180.当n=k+1时命题也成立.由(1)(2)得,当n3时,凸n边形的内角和为f(n)=(n-2)180.10.设an+,nn+,求证:an+2+(a+1)2n+1能被a2+a+1整除.证明(1)当n=1时,a3+(a+1)3=a+(a+1)a2-a(a+1)+(a+1)2=(2a+1)(a2+a+1),结论成立.(2)假设当n=k时,结论成立,即ak+2+(a+1)2k+1能被a2+a+1整除,则当n=k+1时,有a(k+1)+2+(a+1)2(k+1)+1=aak+2+(a+1)2(a+1)2k+1=aak+2+(a+1)2k+1+(a+1)2(a+1)2k+1-a(a+1)2k+1=aak+2+(a+1)2k+1+(a2+a+1)(a+1)2k+1.因为ak+2+(a+1)2k+1,a2+a+1均能被a2+a+1整除,又an+,故a(k+1)+2+(a+1)2(k+1)+1能被a2+a+1整除,即当n=k+1时,结论也成立.由(1)(2)可知,原结论成立.11.设数列an的前n项和为sn,且方程x2-anx-an=0有一根为sn-1,n=1,2,3,.(1)求a1,a2;(2)猜想数列sn的通项公式,并给出严格证明.分析第(1)题代入n=1和n=2即可求出.第(2)题先根据前n项猜出通项,再利用数学归纳法给予证明.解(1)当n=1时,x2-a1x-a1=0的一根为s1-1=a1-1,代入,得(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=12.当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为s2-1=a2-12.于是a2-122-a2a2-12-a2=0,解得a2=16.(2)由题意知(sn-1)2-an(sn-1)-an=0,即sn2-2sn+1-ansn=0.当n2时,an=sn-sn-1,代入上式,得sn-1sn-2sn+1=0.由(1),得s1=a1=12,s2=a1+a2=12+16=23.由可得s3=34.由猜想可得,sn=nn+1,n=1,2,3,.下面用数学归纳法证明这个结论.当n=1时,a1=s1=12,显然成立.假设当n=k(