2012年高考一轮复习空间几何体的结构特征及其三视图和直观图(教师用书).doc

第七章 立体几何第一节 空间几何体的结构特征及其三视图和直观图高考目标展示高考考点要求空间几何体的结构1 认识柱、锥、台、球及其简单几何体的结构特征；2 能运用柱、锥、台、球及其简单几何体的结构特征描述现实生活中简单物体的结构空间几何体的三视图和直观图1 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图2 会用平行投影和中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的的不同表现形式；3 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）基础知识再现一、 基础知识梳理知识点内容多面体结构特征(1)棱柱的上下底面 ，侧棱都 且 。 上底面和下底面是 的多边形.(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个 的三角形.(3)棱台可由的 平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形相似.旋转体结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其 旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其 旋转得到. (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等 腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由 的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆或圆绕其 旋转得到.空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到,这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是 的,三视图包括 、 、 .空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用 画法，基本步骤是：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴 相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x 轴、y轴,两轴相交于点O,且使xOy . (2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于 .(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中长度_，平行于y轴的线段，长度变为 .(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z轴也垂直于xOy平面,已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z轴且长度 .中心投影与平行投影(1)平行投影的投影线 ，而中心投影的投影线 (2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画 出的直观图都是在 下画出来的图形.答案：平行 平行 长度相等 全等 公共点 平等棱锥底面 一边所在直线 一直角边所在直线 平于圆锥的底面 直径 完全相同 主视图 左视图 俯视图 斜二测 不变 原来一半 不变 互相平行 相交于一点 平行投影二、基础题自测1. 下列有关棱柱的命题中正确的是 (C)A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱D.棱柱的侧棱长有的都相等，有的不都相等【提示】 A、B都不能保证侧棱平行这个结构特征，对于D，由棱柱的结构特征知侧棱都相等，一个最简单的棱柱是三棱柱，有五个面、六个顶点、九条棱.故选C2下面有四个命题：(1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；(2)三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥；(3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；(4)顶点在底面上的射影是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥.其中正确命题的个数是 ( A )A.1 B.2 C.3 D.4【提示】命题(1)不正确；正棱锥必须具备两点，一是：底面为正多边形，二是：顶点在底面内的射影是底面的中心；命题(2)缺少第一个条件；命题(3)缺少第二个条件；而命题(4)可推出以上两个条件都具备.故选A3对于斜二测画法叙述正确的是 (A) A.三角形的直观图是三角形 B.正方形的直观图是正方形 C.矩形的直观图是矩形 D.圆的直观图一定是圆 【提示】正方形、矩形的直观图都是平行四边形，故B、C错误；圆的直观图是椭圆，故D错误.故选A4如图所示，直观图四边形 ABCD是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 . 【提示】 把直观图还原为平面图形得：直角梯形ABCD中，AB=2，BC=1+ ，AD=1，5.如图所示，图、是图表示的几何体的三视图，其中图是 正视图 ，图是 侧视图 ，图是 俯视图 (说出视图名称).【提示】结合三视图的有关概念知，图是正视图，图是侧视图，图是俯视图. 答案：正视图侧视图俯视课堂导与练一、重点、难点内容剖析几何体的结构特征1判断某一几何体是否为棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球，以及其它的某一特殊的几何体2判断某一几何体是否具有某些特殊性质直观图1 用斜二测画一个图形的直观图2 与直观图有关的计算问题三视图1 三视图的画法及识图2 与三视图有关的计算问题3 以三视图为载体的综合问题二、 典型例题题型一 几何体的结构、几何体的定义例1（2010福建）如图,若是长方体被平面EFGH截去几何体后得到的几何体,其中E为线段上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且A1D1，则下列结论中不正确的是（ D ）A. B.四边形EFGH是矩形 C. 是棱柱 D. 是棱台【提示】因为EHA1D1，A1D1B1C1，所以EHB1C1，又EH平面BCB1C1，所以平面，又平面，平面平面=FG，所以EHFG，故EHFG，所以选项A、C正确；因为平面，EH，所以EH平面ABB1A1，又平面ABB1A1， 故，所以选项B也正确，故选D题型二 几何体的直观图例2一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于( B ) A. B. C. D. 【提示】根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知,在x轴上(或与x轴平行)的线段,其长度保持不变;在y轴上(或与y轴平行)的线段,其长度变为原来的一半,且xOy=45(或135),所以,若设原平面图形的面积为S,则其直观图的面积为可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S之间的关系是S=本题中直观图的面积为，所以原平面四边形的面积 ，故选B题型三 几何体的三视图例3用一些棱长是1 cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图，若这个几何体的体积为7 cm3，则其左视图为(C)【提示】由这个几何体的体积为7 cm3可知共有7个小正方体通过俯视图可以排除选项A、D，结合俯视图与主视图即可选出正确答案为C(若左视图为D，则只需要6个小正方体即可)【答案】C题型四 多面体与球例4如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6cm2、4 cm2和3 cm2，那么它的外接球的表面积是 【提示】设三棱椎的三条侧棱长分别为：x,y,z ,球的半径为R，由题意得解得：且 规律方法总结1 题型一这类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析。2 几何体斜二测画法：（1） 注意原图与直观图中的“三变、三不变”：（2）按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图S原图形，S原图形S原图形3.几何体的三视图的排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样，侧视图 放在正视图右面，高度与正视图一样，宽度与俯视图一 样，即“长对正，高平齐，宽相等”，如图所示(以长方体三视图为例)：4解决多面体与球类组合体这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征,发挥自己的空间想象能力,把立体图和截面图对照分析,有机结合,找出几何体中的数量关系,为了增加图形的直观性,常常画一个截面圆作为衬托.课堂练习1.一个棱柱是正四棱柱的条件是（ C ）A.底面是正方形，有两个侧面是矩形B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C.底面是正方形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱【提示】 根据正四棱柱的结构特征加以判断.故选C2.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆，则这个几何体一定是（C ） A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体【提示】当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面.故选C3.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是 ( C ) A.30 B.45 C.60 D.90【提示】 设母线为l,底面半径为r，则母线与高的夹角为30.圆锥的顶角为60.故选C4.三视图如下图的几何体是 （ B ） A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台【提示】 由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面,底面为一直角梯形.故选B.5.等腰梯形ABCD，上底CD=1，腰AD=CB= ，下底AB=3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为 .【提示】由已知条件得原梯形的高h=1，故原梯形的面积直观图ABCD的面积课后跟踪演练一、选择题1.如图是由哪个平面图形旋转得到的 （ A ）【提示】 几何体的上部为圆锥，下部为圆台，只有A可以旋转得到，B得到两个圆锥，C得到一圆 柱和一圆锥，D得到两个圆锥和一个圆柱.故选A2.下列命题中，成立的是 （ B ）A.各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 B.四面体一定是三棱锥C.棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥D.底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥【提示】 A是错误的，只要将底面全等的两个棱锥 的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥；B是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形是四面体也必定是个三棱锥；C是错误的，如图所示，棱锥的侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥；D也是错误的，底面多边形既有内切圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥.故选B3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 （ D ） A. B. C. D.【提示】 在各自的三视图中正方体的三个视图都相同；圆锥的两个视图相同；三棱台的三个视图都不同；正四棱锥的两个视图相同，故选D.4.已知一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何图形的4个顶点，这些几何图形是(A)矩形不是矩形的平行四边形有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体每个面都是等腰三角形的四面体每个面都是直角三角形的四面体ABCD【提示】由三视图知该几何体是底面为正方形的长方体由下图可知， 可能，不可能，都有可能故选A5.已知ABC的直观图是边长为a的等边A1B1C1 (如图)，那么原三角形的面积为 （ C ）A B. C. D.6.棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为 【提示】 由题知球O半径为，球心O到直线EF的距离为，由垂径定理可知直线EF被球O截得的线段长7.用任一个平面去截正方体，下列平面图形可能是截面的是 正方形；长方形；等边三角形；直角三角形；菱形；六边形.【提示】 如图所示正方体ABCDA1B1C1D1中，平行于ABCD的截面为正方形，截面AA1C1C为长方形，截面AB1D1为等边三角形,取BB1、DD1的中点E、 F，则截面AEC1F为菱形，取B1C1、D1C1、AB、AD的中点M、N、P、Q，过这四点的截面为六边形，截面不可能为直角三角形. 8.下列命题中： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底 面和截面之间的部分叫棱台； 棱台的各侧棱延长后一定相交于一点； 圆台可以看做直角梯形以其垂直于底边的腰 所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面 围成的几何体； 半圆绕其直径所在直线