考研数学线代真题—矩阵.docx

点这里，看更多数学资料2017考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-矩阵知识点讲解和习题】，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1对1等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。第二章 矩阵综述：矩阵是线性代数中最基本的内容，线性代数中绝大多数运算都是通过矩阵进行的。本章相关的概念和运算贯穿整个学科，在后续章节中有很重要的运用。考试直接考查本章的知识点以选择题或填空题为主，平均每年1到2道。但实质上，线性代数中基本上没有题目不涉及到矩阵以及矩阵的运算的。因此，本章的复习效果在很大程度上决定了整个学科复习的成败。本章的主要知识点有：矩阵的概念，矩阵的各种运算及其法则，逆矩阵的概念，伴随矩阵的概念，伴随矩阵和逆矩阵的关系以及矩阵可逆的充要条件，初等变换与初等矩阵，利用初等行变换计算逆矩阵，矩阵的等价，矩阵的秩。复习时要以矩阵的运算为线索，系统把握所有知识点。矩阵的运算中，核心的是矩阵的乘法，要特别注意与乘法相关的各种特殊的运算规律：如交换律和结合律都不成立。本章考查最多的考点是逆矩阵，这一部分可以从三个方面来把握:一是它的定义，二是它与伴随矩阵的关系，三是利用初等变换计算逆矩阵的方法。最后，对于矩阵的秩，要着重理解它的定义，理解它和行列式以及矩阵的可逆性的关系。本章常考的题型有：1.对矩阵的运算的考查，2.对逆矩阵的考查，3.初等变换，4.矩阵方程，5.矩阵的秩，6.矩阵的分块。常考题型一：矩阵的运算1.【19941 3分】已知，设，其中是的转置，则_.2.【19993 3分】设，而为正整数，则_.3（2003-2 4分）设为3维列向量，是的转置. 若，则= .【小结】：对于可以写成形式的矩阵，利用矩阵乘法的结合律，都有和本题类似的结论：，其中。常考题型二：逆矩阵（1）利用定义计算逆矩阵4.【20011 3分】设矩阵满足，其中为单位矩阵，则_.5.【20002 3分】设，为4阶单位矩阵，且，则_6.【20033 4分】设n维向量；E为n阶单位矩阵，矩阵， ，其中A的逆矩阵为B，则 = .7（2002-2 6分）已知为3 阶矩阵，且满足,其中是3阶单位矩阵.(1) 证明：矩阵可逆；(2) 若,求矩阵8.(1997-3 3分)设为同阶可逆矩阵,则 ( )(A) (B) 存在可逆矩阵,使(C) 存在可逆矩阵,使 (D) 存在可逆矩阵和,使【小结】：一般地，若方阵满足，则对任何常数，总可凑出分解式：，这里，若常数，则可逆，且有。需要考生注意的是，对于一般的矩阵，公式不一定成立。该公式成立的充要条件是可交换。（2）矩阵可逆的充要条件9.【19971 3分】设，为三阶非零矩阵，且，则_.10.【2008123 4分】设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（ ）不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆.可逆，不可逆. 11.【19973 6分】设为阶非奇异矩阵，为维列向量，为常数.记分块矩阵，其中，是矩阵的伴随矩阵，为阶单位矩阵. （1）计算并化简;（2）证明：矩阵可逆的充分必要条件是.12.【19961 7分】设，其中是阶单位矩阵，是维列向量，是的转置，证明：的充分必要条件是；当时，是不可逆矩阵.【小结】：证明矩阵不可逆的方法：1）证明；2）反证法；3）证明不满秩；4）证明有非零解；5）证明是的特征值。（3）伴随矩阵13.【19941 6分】设为阶非零实方阵，是的伴随矩阵，是的转置矩阵，当时，证明.14.【2009123 4分】设、均为阶矩阵，、分别为、的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为（ ）15.【19963 3分】设阶矩阵非奇异，是的伴随矩阵，则( ). . 16.【19953 3分】设,是的伴随矩阵，则_.17.【20053 4分】设矩阵A= 满足，其中是A的伴随矩阵，为A的转置矩阵. 若为三个相等的正数，则为( )(A) (B) 3 (C) (D) 18.【2013123 4分】设是三阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若19.【19982 3分】设是任一阶方阵,是其伴随矩阵,又为常数,且,则必有 ( )(A) (B) (C) (D) 【小结】：伴随矩阵是本章的一个难点，复习时应该从三个方面来把握它：一是它的定义，它在低阶的情况及需要讨论伴随矩阵的相关性质时有很大的作用；二是它最重要的性质：；三是当矩阵可逆时，这个公式运用起来最方便，但是要注意必须在确保矩阵可逆时才能使用。常考题型三：初等矩阵20.【19951 3分】设，则必有（ ）21.【200412 4分】设是阶方阵，将的第列与第列交换得到，再把的第列加到第列得，则满足的可逆矩阵为（ ）22.【2006123 4分】设为阶矩阵，将的第行加到第行得，再将的第列的倍加到第列得，记，则（ ）23.【200512 4分】设为阶可逆矩阵，交换的第行与第行得矩阵，、分别为、的伴随矩阵，则（ ）交换的第列与第列得交换的第行与第行得交换的第列与第列得交换的第行与第行得24.【19971 5分】是阶可逆方阵，将的第行和第行对换后得到矩阵.（1）证明可逆；（2）求.25.【200923 4分】设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则 为（ ）26.【20013 3分】设，其中可逆，则等于( )27. 【2012123 4分】设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且，则（ ）（A）（B）（C） （D）28.（2011-13 4分）设为3阶矩阵，将的第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行与第3行得单位矩阵，记，则( ) (A) (B) (C) (D) 常考题型四：矩阵方程29.【19972 5分】且其中是三阶单位矩阵，求矩阵30.【19982 5分】设，其中是4阶单位矩阵，是4阶矩阵的转置矩阵，,求.31.【19992 6分】设矩阵，矩阵满足，其中是的伴随矩阵，求矩阵.32.【19951 3分】设三阶方阵、满足关系式：,且,则_.33.【20001 6分】设矩阵的伴随矩阵且，其中是阶单位矩阵，求矩阵.34.【20012 6分】已知且满，其中是阶单位矩阵，求35.【19983 3分】设矩阵满足，其中,为单位矩阵，为的伴随矩阵，则_.36.（2015-23 11分）设矩阵，且（）求的值（）若矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，求【小结】：1.求解矩阵方程是对矩阵运算的综合应用。求解的基本思路是将方程经过矩阵的运算法则改变为下列三种基本形式之一：2一般来说，拿到一个矩阵方程之后，首先应该先将方程化为三种基本形式之一，在这个过程中应该注意结合题目中的条件，尽可能地简化计算。3计算时，要注意矩阵乘法的次序，是左乘还是右乘，不要混淆。常考题型五：矩阵的秩37.【2007123 4分】设矩阵，则的秩为_.38.【20101 4分】设A为矩阵, B为 矩阵, A为阶单位矩阵, 若 则( ), , , , 39.【19961 3分】设是矩阵，且的秩,而,则_.40.【19983 3分】设阶矩阵，若矩阵的秩为，则必为( )41.【20011 3分】设矩阵，且，则_42.【20043 4分】设阶矩阵与等价, 则必有( ) 当时, . 当时, .当时, . 当时, . 43.【19973 3分】设为同阶可逆矩阵，则( )存在可逆矩阵，使存在可逆矩阵，使存在可逆矩阵和，使44(1998-3 3分)齐次线性方程组的系数矩阵记为.若存在三阶矩阵使得,则 ( )(A)且(B) 且(C) 且(D) 且45.（1999-1 3分）设A 是矩阵， B 是矩阵，则(A)当时，必有行列式 (B)当时，必有行列式(C)当时，必有行列式 (D)当时，必有行列式46.（2008-12 10分），是三维列向量，为的转置，为的转置(I) 证；(II) 若线性相关，则.47.(2003-3 4分)设三阶矩阵，若的伴随矩阵的秩为1，则必有 ( )(A) 或. (B) 或.(C) 且. (D) 且. 常考题型六：矩阵的分块48.【20011 8分】已知阶矩阵与维向量，使得向量组线性无关，且满足.（1）记，求阶矩阵，使；（2）计算行列式.【小结】：矩阵分块的基本思想就是把子矩阵当做矩阵的元素进行运算，矩阵分块中一种重要的形式是矩阵按列的分块：，其中分别表示矩阵的到列（矩阵按行的分块类似）。考生需要熟悉与这种分方式相关块的各种运算：，。参考答案：常考题型一：矩阵的运算1.【19941 3分】【答案】2.【19993 3分】【答案】（阶零矩阵）3.【20032 4分】【答案】常考题型二：逆矩阵（1）利用定义计算逆矩阵4.【20011 3分】【答案】5.【20002 3分】【答案】6.【20033 4分】【答案】：7.【20022 4分】【答案】：8.【19973 3分】【答案】：（2）矩阵可逆的充要条件9.【19971 3分】【答案】10.【2008123 4分】【答案】C11.【19973 6分】【答案】：（1）12.【19961 7分】【答案】：略3伴随矩阵13.【19941 6分】【答案】：略14.【2009123 4分】【答案】15.【19963 3分】【答案】16.【19953 3分】【答案】17.【20053 4分】【答案】18.【2013123 4分】【答案】19.【19982 3分】【答案】常考题型三：初等变换20.【19951 3分】【答案】21.【200412 4分】【答案】22.【200613 4分】【答案】23.【200512 4分】【答案】24.【19971 5分】【答案】（1）因及，故可逆.（2）.25.【200923 4分】【答案】26.【20013 3分】【答案】27【2012123 4分】【答案】28【201113 4分】【答案】常考题型四：矩阵方程29.【19972 5分】【答案】=30.【19982 5分】【答案】.31.【19992 6分】【答案】.32.【19951 3分】【答案】33.【20001 6分】【答案】.34.【20012 6分】【答案】.35.【19983 3分】【答案】36.【201523 11分】【答案】常考题型五：矩阵的秩37.【2007123 4分】【答案】38.【20101 4分】【答案】A39.【19961 3分】【答案】40.【19983 3分】【答案】41.【20011 3分】【答案】42.【20043