北师大版选修44 极坐标系的概念 学案.doc

2极坐标系2.1极坐标系的概念1.了解极坐标系，理解极坐标的概念.(重点)2.能在极坐标系中用极坐标判定点的位置.(难点)3.能进行点坐标和极坐标的互化.(易错易混点)基础初探教材整理极坐标系与极坐标1.极坐标系的概念如图121所示，在平面内取一个定点o，叫作极点，从o点引一条射线ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系，简称极坐标系.图1212.极坐标的概念对于平面内任意一点m，用表示线段om的长，表示以ox为始边、om为终边的角度，叫作点m的极径，叫作点m的极角，有序实数对(，)叫作点m的极坐标，记作m(，). 特别地，当点m在极点时，它的极径0，极角可以取任意值.3.点与极坐标的关系一般地，极坐标(，)与(，2k)(kz)表示同一个点，特别地，极点o的坐标为(0，)(r).和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0，02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)表示；同时，极坐标(，)表示的点也是唯一确定的.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)极轴是以极点为端点的一条射线.()(2)极角的大小是唯一的.()(3)点与点是同一个点.()【解析】(1)极轴是以极点为端点的一条射线.(2)因为极角是以极轴为始边，终边是过极点与目标点的射线，可正、可负，相差2k.(3)因为极角不相差2的整数倍，故不表示同一个点.【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型根据点的位置确定点的极坐标设点a，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点a关于极轴、直线l、极点的对称点的极坐标(限定0,00,02，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的.2.写点的极坐标要注意顺序：极径在前，极角在后，不能颠倒顺序.再练一题1.若使正六边形的一个顶点为极点且边长为a，极轴通过它的一边，试求正六边形各顶点的极坐标. 【导学号：12990004】【解】建立如图所示的极坐标系，则正六边形各顶点的极坐标为：a(0,0)，b(a,0)，c，d，e，f.极坐标确定点的位置已知点a的极坐标是，分别在下列给定条件下，画出点a关于极点o的对称点a的位置，并写出a的极坐标：(1)0，；(2)0,02；(3)0，20.【精彩点拨】本题以极坐标系中点的对称为载体，主要考查极坐标系中点的极坐标的确定，同时考查应用极坐标系解决问题的能力.【自主解答】如图所示，|oa|oa|6，xoa，xoa，即a与a关于极点o对称，由极坐标的定义知：(1)当0，时，a点的坐标为；(2)当0,02时，a点的坐标为；(3)当0，20时，a点的坐标为.由极坐标确定点的位置的步骤：(1)取定极点o；(2)作方向为水平向右的射线ox为极轴；(3)以极点o为顶点，以极轴ox为始边，通常按逆时针方向旋转极轴ox确定出极角的终边；(4)以极点o为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置.再练一题2.在同一个极坐标系中，画出以下各点：a，b，c，d.【解】如图所示.探究共研型极坐标系的建立及应用探究1建立极坐标系需要哪几个要素？这几个要素间有什么关系？【提示】建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角的始边是极轴，它的终边随着的大小和正负而取得各个位置；的正方向通常取逆时针方向，的值一般是以弧度为单位的量数；点m的极径表示点m与极点o的距离|om|，因此0.但必要时，允许0.探究2为什么点的极坐标不唯一？能用三角函数的概念解释吗？【提示】根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2的整数倍，所以点(，)还可以写成(，2k)(kz)；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(，)的坐标还可以写成(，2k)(kz).某大学校园的部分平面示意图如图122所示.图122用点o，a，b，c，d，e，f分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.(限定0,02且极点为(0,0).【精彩点拨】解答本题先选定极点作极轴，建立极坐标系，再求出各点的极径和极角，即可得出各点的极坐标.【自主解答】以点o为极点，oa所在的射线为极轴ox(单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示.由|ob|600 m，aob30，oab90，得|ab|300 m，|oa|300 m，同样求得|od|2|of|300m，所以各点的极坐标分别为o(0,0)，a(300，0)，b，c，d，e(300，)，f.在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在0，0,2)的限定条件下，点的极坐标才是唯一的.再练一题3.在极坐标系中，已知abc的三个顶点的极坐标分别为a，b(2，)，c.(1)判断abc的形状；(2)求abc的面积.【解】(1)如图所示，由a，b(2，)，c得|oa|ob|oc|2，aobbocaoc.aobbocaoc，abbcca，故abc为等边三角形.(2)由上述可知，ac2oasin 222，sabc(2)23.构建体系1.在极坐标系中与点p表示同一点的是()a.b.c.d.【解析】在极坐标系中将点p确定，再逐个验证知c正确.【答案】c2.已知极坐标平面内的点p，则p关于极点的对称点的极坐标为()a.b.c.d.【解析】点p关于极点的对称点的极坐标为.【答案】d3.若a，b，o为极点，则aob的面积为_.【解析】saob.【答案】4.关于极坐标系的下列叙述：极轴是一条射线；极点的极坐标是(0,0)；点(0,0)表示极点；点m与点n表示同一个点.其中，叙述正确的序号是_. 【导学号：12990005】【解析】设极点为o，极轴就是射线ox，正确；极点o的极径0，极角是任意实数，极点的极坐标应为(0，)，错误；给定极坐标(0,0)，可以在极坐标平面内确定唯一的一点，即极点，正确；点m与点n的极角分别是1，2，二者的终边互为反向延长线，错误.【答案】5.已知边长为2的正方形abc