北师大版必修三 第3章 §3　模拟方法——概率的应用 学案.doc

3模拟方法概率的应用1记住几何概型的概念和特点(重点)2掌握几何概型的计算方法和步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题(重点、难点)3了解模拟方法的基本思想，会利用这种思想解决某些具体问题，如求某些不规则图形的近似面积等(难点)基础初探教材整理模拟方法与几何概型阅读教材p150p152，完成下列问题1模拟方法模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法，所以我们常常借助模拟方法 估计某些随机事件发生的概率，用模拟方法可以在短时间内完成大量的重要试验2几何概型向平面上有限区域(集合)g内随机地投掷点m，若点m落在子区域g1g的概率与g1的面积成正比，而与g的形状、位置无关，即p(点m落在g1)，则称这种模型为几何概型几何概型中的g也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比3几何概型的特点与概率计算公式(1)几何概型的特点：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个每个基本事件出现的可能性相等(2)几何概型的概率计算公式：在几何概型中，事件a的概率的计算公式如下：p(a).(3)计算步骤：判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性；计算基本事件空间与事件a所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)n和m.这是计算的难点；利用概率公式p(a)计算判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)从区间10,10内任取一个整数，求取到1的概率概型是几何概型()(2)从区间10,10内任取一个数，求取到大于等于1且小于等于5的数的概率模型是几何概型()(3)从一个边长为4 cm的正方形abcd内任取一点p，求点p离中心不超过1 cm的概率模型是几何概型()(4)几何概型中每个结果发生的可能性都相等()【解析】(1)，古典概型(2)，可能出现的结果有无限个，且每个结果出现的可能性相等(3)，符合几何概型的特征(4)，由几何概型的特点可知【答案】(1)(2)(3)(4)小组合作型与长度有关的几何概型(1)某公共汽车站每隔5 min有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的，乘客候车时间不超过3 min的概率是_(2)一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为_【精彩点拨】本题中事件发生的概率只与长度有关，符合几何概型条件【自主解答】(1)法一设上一辆车于时刻t1到达，而下一辆车于时刻t2到达，线段t1t2的长度为5，记t是线段t1t2上的点，且tt2的长等于3，记等车时间不超过3 min为事件a，事件a(候车时间不超过3 min)发生即当点落在线段tt2上，记dt1t25，dtt23，所以p(a).即候车时间不超过3 min的概率为.法二容易判断这是一个几何概型问题，如图所示记a为“候车时间不超过3 min”，以x表示乘客 到车站的时间，那么每一个试验结果可以表示为x，假定乘客到车站后第一辆汽车 到的时刻为t，依据题意，乘客必在(t5，t内 到车站，故dx|t5xt，欲使乘客候车时间不超过3 min必须满足t3xt，所以dx|t3xt，所以p(a).(2)如图所示，abc中，ab3，ac4，bc5，则abc的周长为34512.某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率p.【答案】(1)(2)如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义上的线段长度，这种模型称为长度型的几何概型.可按下列公式 计算其概率：p(a).再练一题1.如图331，a，b两盏路灯之间的距离是30 m，由于光线较暗，想在其间再随意安装一盏路灯c，求a与c，b与c之间的距离都不小于10 m的概率图331【解】记e：“a与c，b与c之间的距离都不小于10 m”把ab三等分，由于中间长度为3010 m，所以p(e).与体积有关的几何概型一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率【精彩点拨】本试验所有结果对应的几何区域为棱长是3的正方体，“安全飞行”对应的区域为棱长是1的正方体. 【自主解答】依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为p.1如果试验的全部结果所构成的区域可用体积 度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的体积及事件a所占的体积其概率的计算公式为：p(a).2解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆再练一题2正方体abcdabcd的棱长为a，在正方体内随机取一点m，求点m落在三棱锥babc内的概率【解】记“点m落在三棱锥babc内”为事件e.因为棱长为a的正方体的体积va3，由正方体的性质可知vbabcsbbcaba3.故p(e).探究共研型与面积有关的几何概型 探究1几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？【提示】几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关探究2在几何概型中，如果a为随机事件，若p(a)0，则a一定为不可能事件；若p(a)1，则a一定为必然事件，这种说法正确吗？【提示】不正确若随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件向面积为s的矩形abcd内任投一点p，试求pbc的面积小于的概率. 【导学号：63580041】【精彩点拨】先利用图形找到p点所在的区域，然后利用面积比求概率 【自主解答】如图所示，设pbc的边 bc上的高为pf，线段pf所在的直线交ad于点e，当pbc的面积等于时，即bcpfbcef，所以pfef，过点p作gh平行于bc交ab于g，交cd于h，所以满足spbc的点p的轨迹是线段gh.所以满足条件“pbc的面积小于”的点p应落在矩形gbch内设“pbc的面积小于”为事件a，所以由几何概型的概率公式得p(a).所以pbc的面积小于的概率是.在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积 计算概率的值.此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式p(a)f(构成事件a的区域面积,试验的全部结果构成的区域面积)计算事件的概率即可.再练一题3假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：307：30把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是7：008：00.问你父亲在离开家前能拿到报纸(称为事件a)的概率是多少？ 【解】如图，送报人到达的时间是6：307：30的任一时刻，父亲离开家去工作的时间是7：008：00的任一时刻，如果在直角坐标系内以x轴表示报纸送到的时间，y轴表示父亲离开家的时间，因为报纸送到的时间和父亲离开家的时间都是随机的，所以随机试验的所有结果(x，y)是图中所示正方形中等可能的任意一点事件a(父亲离开家前能拿到报纸)发生需xy，即正方形内阴影部分，事件a发生的概率只与阴影部分的面积大小有关，这符合几何概型的条件a12，n1, 所以p(a).1在500 ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为()a0b0.002c0.004d1【解析】由几何概型公式得：p0.004.【答案】c2在长为10 cm的线段ab上任取一点p，并以线段ap为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为()a.bc. d.【解析】25s49，5ap7，p(25s49).【答案】b3如图332所示，在平面直角坐标系内，射线ot落在60的终边上，任做一条射线oa，射线oa落在xot内的概率为_图332【解析】记b射线oa落在xot内，xot60，p(b).【答案】4在边长为2的正方形abcd内随机取一点m，则|am|1的概率为_【解析】由|am|1知，点m在以a为圆心，1为半径的四分之一圆内，故所求概率为.【答案】5国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从 30 s处起