北师大版选修21 直线与平面的夹角 课时作业.doc

课时跟踪训练(十二)直线与平面的夹角1已知直线l的一个方向向量为a(1,1,0)，平面的一个法向量为(1,2，2)，则直线l与平面夹角的余弦值为()a.bc d.2已知长方体abcda1b1c1d1的底面abcd是边长为4的正方形，长方体的高为aa13，则bc1与对角面bb1d1d夹角的正弦值等于()a. b.c. d.3.如图所示，点p是abc所在平面外的一点，若pa，pb，pc与平面的夹角均相等，则点p在平面上的投影p是abc的()a内心 b外心c重心 d垂心4(大纲全国卷)已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，则cd与平面bdc1的夹角的正弦值等于()a.b.c.d.5正方体abcda1b1c1d1中，直线bc1与平面a1bd夹角的正弦值是_6.如图所示，已知正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都相等，d是a1c1的中点，则直线ad与平面b1dc夹角的正弦值为_7.如图，在正三棱柱abca1b1c1中，abaa1，点d是a1b1的中点求直线ad和平面abc1夹角的正弦值8.如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，侧棱aa1底面abcd，abdc，aa11，ab3k，ad4k，bc5k，dc6k(k0)(1)求证：cd平面add1a1；(2)若直线aa1与平面ab1c夹角的正弦值为，求k的值答 案1选acosa，则直线l与平面的夹角的正弦值sin |cosa，|，cos .2选c建立如图所示的空间直角坐标系，底面是边长为4的正方形，aa13，a1(4,0,0)，b(4,4,3)，c1(0,4,0)而面bb1d1d的法向量为(4,4,0)，bc1与对角面bb1d1d所成角的正弦值即为|cos，|.3选b由于pa，pb，pc与平面的夹角均相等，所以这三条由点p出发的平面abc的斜线段相等，故它们在平面abc内的投影pa，pb，pc也都相等，故点p是abc的外心4选a法一：如图，连接ac，交bd于点o，由正四棱柱的性质，有acbd.因为cc1平面abcd，所以cc1bd.又cc1acc，所以bd平面cc1o.在平面cc1o内作chc1o，垂足为h，则bdch.又bdc1oo，所以ch平面bdc1，连接dh，则dh为cd在平面bdc1上的射影，所以cdh为cd与平面bdc1所成的角设aa12ab2.在rtcoc1中，由等面积变换易求得ch.在rtcdh中，sincdh.法二：以d为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设aa12ab2，则d(0,0,0)，c(0,1,0)，b(1,1,0)，c1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面bdc1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面bdc1的一个法向量为n(2，2,1)设cd与平面bdc1的夹角为，则sin |cosn，|.5解析：如图，以da、dc、dd1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则a(1,0,0)，b(1,1,0)，c1(0,1,1)，易证是平面a1bd的一个法向量(1,1,1)，(1,0,1)cos，.所以bc1与平面a1bd夹角的正弦值为.答案：6解析：不妨设正三棱柱abca1b1c1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则c(0,0,0)，a(，1,0)，b1(，1,2)，d，则(，2)，(，1,2)，设平面b1dc的法向量为n(x，y,1)，由解得n(，1,1)又，sin |cos，n|.答案：7.解：如图所示，设o是ac的中点，以o为原点建立空间直角坐标系不妨设aa1，则ab2，相关各点的坐标分别是a(0，1,0)，b(，0,0)，c1(0,1，)，d.易知(，1,0)，(0,2，)，.设平面abc1的一个法向量为n(x，y，z)，则有解得xy，zy.故可取n(1，)所以cosn，.即直线ad和平面abc1夹角的正弦值为.8解：(1)证明：取cd的中点e，连接be，如图abde，abde3k，四边形abed为平行四边形，bead且bead4k.在bce中，be4k，ce3k，bc5k，be2ce2bc2，bec90，即becd.又bead，cdad.aa1平面abcd，cd平面abcd，aa1cd.又aa1ada，cd平面add1a1.(2)以d为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则a(4k,0,0)，c(0,6k,0)，b1(4k,3k,1)，a1(4k,0,1)，(4k,6k,0)，(