中考数学专题复习图形的相似.doc

通州区东社中学 中考一轮复习导学案中考数学专题复习：图形的相似 导学案考点聚焦 1了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质 2探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题 3掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小 4掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置识记巩固 1相似形：形状相同，大小不一定相等的图形称为_ 2相似多边形的特征：对应边_，对应角_ 3成比例线段：如果四条线段a，b，c，d中，某两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段如a：b=c：d或a：d=b：c，则a，b，c，d叫_；若a，b，b，c成比例，即a：b=b：c，则称b是a和c的_ 4相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形对应边之比叫做_当相似比为1时，两个三角形就称为_ 5相似三角形的识别： （1）两组对应角分别_的两个三角形相似； （2）两组对应边成比例，且_相等的两个三角形相似； （3）三组对应边_的两个三角形相似； （4）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所得的三角形与原三角形_ 6相似三角形的性质： （1）相似三角形对应边成_，对应角_ （2）相似三角形对应线段（对应角，对应中线，对应角平分线，外接圆半径和内切圆半径）之比和周长之比都等于_； （3）相似三角形的面积比等于_ 7黄金分割：若线段AB上一点P分线段成AP与PB两条线段，且（可求出比值为0.618），这种分割叫黄金分割P点叫线段AB的黄金分割点，一条线段有_个黄金分割点 8位似：对应顶点的连线_的相似叫位似作位似图形的方法是先确定位似中心和每个顶点之间的直线，在直线的另一侧取原多边形的对应顶点，连结各点即得放大或缩小的位似图形（注意“放大”和“放大到”的区别）9相似三角形中常见的基本图形：条件：DEBC 1=B 1=B 条件：ABDE A=D CD是斜边AB上的高典例解析 例1 （2008，浙江丽水）如图，在已建立直角坐标系的44正方形方格纸中，划格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P，A，B为顶点的三角形与ABC相似（全等除外），则格点P的坐标是_ 答案 P1（1，4），P2（3，4） 点拨 这种题常见的错误是容易漏解，平时要多加强这方面的训练，以培养思维的严密性 拓展变式 在RtABC中，斜边AC上有一动点D（不与点A，C重合），过D点作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，则满足这样条件的直线共有_条 答案 3 例2 如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC，DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S1，S2，S3，S4下面结论：只有一对相似三角形；EF：ED=1：2；S1：S2：S3：S4=1：2：4：5其中正确的结论是（ ）A B C D 解析 ABDC，AEFCDF，但本题还有一对相似三角形是ABCCDA（全等是相似的特例） 是错的 ，EF：ED=1：2是错的 SAEF：SCDF =1：4，SAEF：SADF =1：2 S1：S2：S3：S4=1：2：4：5，正确 (S2+ S3- S1) 答案 B 点拨 利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比；（共底三角形的面积之比等于高之比） 和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形（如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角形 拓展变式 点E是ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点G，则图中相似三角形共有（ ） A2对 B3对 C4对 D5对答案 C 例3 （2008，湖北常德）如图，在梯形ABCD中，若ABDC，AD=BC，对角线BD，AC把梯形分成了四个小三角形 （1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少？（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明 解析 （1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：， 其中有两组（，）是相似的 选取到的两个三角形是相似三角形的概率P= （2）证明：选择证明 在AOB与COD中，ABCD， CDB=DBA，DCA=CAB， AOBCOD 选择证明 四边形ABCD是等腰梯形，DAB=CAB 在DABC与CBA中， AD=BC，DAB=CAB，AB=AB， DABCBA， ADO=BCO 又DOA=COB，DOACOB 例4 如图，是某城市一个主题雕塑的平面示意图，它由置放于地面L上两个半径为2米的半圆与半径为4米的A构成点B，C分别是两个半圆的圆心，A分别与两个半圆相切于点E，F，BC长为8米，求EF的长 解析 A分别与两个半圆相切于点E，F，点A，B，C分别是三个圆的圆心 AE=AF=4，BE=CF=2，AB=AC=6 在AEF和ABC中， EAF=BAC，=， AEFABC，故= 则EF=BC=8=（米） 点拨 解决实际问题时，一定要先转化成数学问题，画出图形，再运用相应的知识解决拓展变式 （2008，山东聊城）如图，路灯（P点）距地面8米，身高16米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 解析 MAC=MOP=90， AMC=OMP， MACMOP， 即， 解得MA=5 同理，由NBDNOP可求得NB=1.5，所以小明的身影变短了3.5米 例5 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边交AB于点E我们知道，结论“RtAEPRtDPC”成立 （1）当CPD=30时，求AE的长；（2）是否存在这样的点P，使DPC的周长等于AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由 解析 （1）在RtPCD中，由tanCPD=， 得PD=4， AP=AD-PD=10-4 由AEPDPC知，, AE=10-12 （2）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=10-x 由AEPDPC，知=2 =2，解得x=8 此时AP=4，AE=4符合题意 故存在点P，使DPC的周长等于AEP周长的2倍，DP=8 点拨 本题考查用相似三角形的性质得到等量关系（比例式），建立方程解决实际问题除了掌握相似三角形对应边、对应角的性质以外，还要注意相似三角形对应线段（对应高，对应中线，对应角平分线）之比和周长之比都等于相似比； 解决存在性问题时，一般先假设存在，建立方程，若方程有解，并且经过检验解符合题意，则存在；若方程无解或解不符合题意，则不存在中考热身1（2008，江苏南京）如图，已知O的半径为1，AB与O相切于点A，OB与O交于n 点C，CDOA，垂足为D，则cosAOB的值等于（ ）AOD BOA CCD DAB 2（2008，江苏盐城）如图，D，E两点分别在ABC的边AB，AC上，DE与BC不平行，当满足_条件（写出一个即可）时，ADEACB3（2008，安徽）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求BP：PQ：QR4（2008，江苏盐城）如图，在1212的正方形网格中，TAB的顶点坐标分别为T（1，1），A（2，3），B（4，2） （1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA：TA）3：1在位似中心的同侧将TAB放大为TAB，放大后点A，B的对应点分别为A，B，画出TAB，并写出点A，B的坐标（2）在（1）中，若点C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C的坐标迎考精练一、基础过关训练1下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）2如图，在ABCD中，E是BC的中点，且AEC=DCE，下列结论不正确的是（ ）ABF=DF BSFAD=2SFBE C四边形AECD是等腰梯形 DAEB=ADC 3如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若DPB=，那么等于（ ） Asin Bcos Ctan D4如图，直角梯形ABCD中，BCD=90，ADBC，BC=CD，E为梯形内一点，且BEC=90，将BEC绕点C旋转90使BC与DC重合，得到DCF，连结EF交CD于点M已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（ ） DMFECMA5：3 B3：5 C4：3 D3：4 (第4题) (第5题) (第6题)5如图，若CD是RtABC斜边上的高，AD=3，CD=4，则BC=_6如图，ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），在第一象限内，以原点O为位似中心，将ABC缩小，使变换后得到的DEF与ABC对应边的比为1：2，则线段AC的中点P变换后对应的点的坐标为_7如图，ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD （1）求证：ABFCEB；（2）若DEF的面积为2，求ABCD的面积8如图，已知O的弦CD垂直于直径AB，点E在CD上，且EC=EB （1）求证：CEBCBD；（2）若CE=3，CB=5，求DE的长二、能力提升训练9在等边ABC中，点D为AC上一点，连结BD，直线L与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且BPF=60 （1）如图1，写出图中所有与BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明； （2）若直线L向右平移到图2，图3的位置时（其他条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明）；若不成立，请说明理由；（3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其他条件不变），PF=PE？请写出探究结果，并说明理由（说明：结论中不得含有未标识的字母）10如图，O的半径为1，正方形ABCD的顶点B的坐标为（5，0），顶点D在O上运动 （1）当点D运动到与点A，O在同一条直线上时，试证明直线CD与O相切； （2）当直线CD与O相切时，求OD所在直线对应的函数关系式； （3）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值参考答案中考热身 1A 2AED=B或ADE=C或 3（1）BCPBER，PCQPAB，PCQRDQ，PABRDQ （2）四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形， BC=AD=CE，ACDE，PB=PR，= 又PCDR，PCQRDQ 又点R是DE中点，DR=RE =，QR=2PQ 又BP=PR=PQ+RQ=3PQ， BP：PQ：QR=3：1：2 4（1）点A，B的坐标分别为（4，7），（10，4） （2）变化后点C的对应点C的坐标为（1+3a，1+3b）迎考精练基础过关训练 1B 2B 3B 4C 5 6（2，）或（-2，-） 7（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， A=C，ABCD， ABF=CEB， ABFCEB （2）解：四边形ABCD是平行四边形， ADBC，AB CD， DEFCEB，DEFABF DE=CD， ， SDEF=2 SCEB =18，SABF =8， S四边形BCDF=SBCE -SDEF =16， S四边形ABCD=S四边形BCDF+SABF =16+8=24 8（1）证明：弦CD垂直于直径AB BC=BD，C=D 又EC=EB C=CBE，D=CBE 又C=C，CEBCBD （2）解：CEBCBD， ，CD=， DE=CD-CE=-3=能力提升训练 9解：（1）BPFEBF，BPFBCD 以BPFEBF为例，证明如下： BPF=EBF=60，BFP=EFB， BPFEBF （2）均成立，均为BPFEBF，BPFBCD （3）BD平分ABC时，PF=PE 证明：BD平分ABC，ABP=PBF=30 BPF=60，BFP=90，PF=PB 又BEF=60-30=30=ABP， BP=EP，PF=PE 10解：（1）四边形ABCD为正方形，ADCD 点A，O，D在同一条直线上，ODC=90， 直线CD与O相切 （2）直线CD与O相切分两种情况： 如图1，设D1在第二象限时，过点D1作D1E1x轴于点E1，设此时的正方形的边长为a，则（a-1）2+a2=