函数概念及表示.doc

2013级高一新生预科 数学讲义课题：2.1.1 函数函数的概念教学目的：1理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；2区间的概念，求函数的定义域教学重点：理解函数的概念；教学过程：一、复习引入：1初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等问题1：（）是函数吗？问题2：与是同一函数吗？观察对应：观察发现共同特点：集合A中的任一个数，集合B中都有唯一的数和它对应。2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系引出函数定义 二、讲解新课：（1） 函数的有关概念 设A，B是 ，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的 ，在集合B中 ，那么就称为从集合A到集合B的函数，记作 其中叫自变量，的取值范围A叫做函数的 ；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做 函数符号表示“y是x的函数”，有时简记作函数.（2）A：定义域，自变量x的集合；：值域，函数值y的集合,其中B ；：对应法则 ， A ， B对应法则、定义域A、值域称为函数的三要素。只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数注意： “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x回答开始提出的问题：（）是函数 与不是同一函数（定义域不同）例1、 判断下列对应是否为从集合A到集合B的函数？（1）A=R,B= （不是）（2）A=Z,B=Z, （是）（3）A=Z,B=Z, （不是）例2、下列函数中哪个与函数y=x相等？（1）y = ()2 ; （2）y = () ;（3）y = ; （4）y=（3）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？ （三）区间的概念区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；无穷区间；区间的数轴表示例3：已知函数f (x) = +（1）求函数的定义域；（2）求f（3），f ()的值；（3）当a0时，求f（a）,f(a1)的值.分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式解：（课本17-18页）例4、求下列函数的定义域 f(x) = + 引导学生小结几类函数的定义域：（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）例5设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.分析：由题意知，另一边长为，且边长为正数，所以0x40.所以s= = （40x）x （0x40）补：（5）满足实际问题有意义.例6. 已知f（x）=的定义域为R，求实数a的取值范围？（四）巩固深化，反馈矫正：（1）判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ f ( x ) = (x 1) 0；g ( x ) = 1 f ( x ) = x； g ( x ) = f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 f ( x ) = | x | ；g ( x ) = （五）归纳小结从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念。课题：2.1.1 函数函数的概念（二）教学目的：1函数的值域；2复合函数的定义域教学难点：复合函数的定义域教学过程：一、复习前一节课的内容二、求复合函数的定义域介绍复合函数的有关知识1.定义：设y=f(),=(x),当x在=(x)的定义域D中变化时，=(x)的值在y=f()的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量形成的一种函数关系，记为 y=f()=f(x)称为复合函数，其中x称为自变量，为中间变量，y为因变量(即函数) 注：不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当=(x)的值域存在非空子集Z是y=f()的定义域Df的子集时，二者才可以构成一个复合函数。例1：已知，（1）求的值；（2）求的解析式 （3）求的解析式(4)求的解析式例2若函数对于任意实数满足条件，若，则= 2复合函数的定义域若函数y=f(u)的定义域是Bu=g(x)的定义域是A则复合函数y=fg(x)的定义域是 D=x|xA,且g(x)B例1（1）若函数的定义域为，求函数的定义域 （）（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域 （）（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域 （）（4）（拔高题）设函数的定义域为，求的定义域练习：已知函数的定义域为，求函数的定义域 （）三、函数的值域例2求下列函数的值域（1） （2）（3） （4）(5） (6) (7) 课题：1.2.2 函数的表示法（一）教学目标：（1）掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点；（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。教学难点：分段函数的表示及其图象。教学过程：一、复习准备：1提问：函数的概念？函数的三要素？ 2讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.二、讲授新课：（一）函数的三种表示方法：结合课本P19 给出的三个实例，说明三种表示方法的适用范围及其优点：解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（1）； 优点：简明扼要；给自变量求函数值。图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（2）； 优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（3）； 优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等。例1（课本P19 例3）某种笔记本的单价是2元，买x (x1，2，3，4，5)个笔记本需要y元试用三种表示法表示函数y=f(x) 例2：（课本P20 例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次甲988791928895乙907688758680丙686573727582班平均分882783854803757826请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析（二）分段函数的教学：分段函数的定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如以下的例3的函数就是分段函数。说明：（1）分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；（2）分段函数只是一个函数，只不过x的取值范围不同时，对应法则不相同。例3：（课本P21 例6）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。例4已知f(x)，(1) 求f(0)、ff(-1)的值(2) 求的定义域，值域（3）画出该函数的图像例5已知函数，若，求的值（）例6 设若，则实数的取值范围 （三）课堂练习： 1课本P23 练习1，2；2作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）。试用三种方法表示此实例中的函数。3某水果批发店，100kg内单价1元kg，500kg内、100kg及以上0.8元kg，500kg及以上0.6元kg。试用三种方法表示批发x千克与应付的钱数y（元）之间的函数y=f(x)。归纳小结：本节课归纳了函数的三种表示方法及优点；讲述了分段函数概念；了解了函数的图象可以是一些离散的点、线段、曲线或射线。课题：1.2.2 函数的表示法（二）教学目标：（1）了解映射的概念及表示方法；（2）掌握求函数解析式的方法：换元法，配凑法，待定系数法，消去法，赋值法.教学重点：求函数的解析式。教学难点：对函数解析式方法的掌握。教学过程：一、复习准备：1举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；2讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？3导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射（mapping）。二、讲授新课：（一） 映射的概念教学：定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射（mapping）。记作：讨论：映射有哪些对应情况？一对多是映射吗？例1（课本P22例7）以下给出的对应是不是从A到集合B的映射？（1） 集合A=P | P是数轴上的点，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2） 集合A=P | P是平面直角坐标系中的点，B= ，对应关系f： 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3） 集合A=x | x是三角形，集合B=x | x是圆，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4） 集合A=x | x是新华中学的班级，集合B=x | x是新华中学的学生，对应关系：每一个班级都对应班里的学生。例2设集合A=a,b,c，B=0,1 ，试问：从A到B的映射一共有几个？并将它们分别表示出来。例3已知集合，是A到B的映射，且满足，则这样的映射有多少个？10（二）求函数的解析式：常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，消去法。例4已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。 （待定系数法）例5已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（配凑法或换元法）例6已知函数f(x)满足，求函数f(x)的解析式。（消去法）例7. 已知是R上的函数,对任意均有,求的解析式.（三）课堂练习： 1课本P23练习4； 2已知 ，求函数f(x)的解析式。 3已知，求函数f(x)的解析式。 4已知，求函数f(x)的解析式。归纳小结：本节课系统地归纳了映射的概念，并进一步学习了求函数解析式的方法。课题：1.2.2 函数的表示法（三）教学目标：掌握函数图象的画法。教学重点：函数图象的画法。教学难点：掌握函数图象的画法。教学过程：一、复习准备：1举例初中已经学习过的一些函数的图象，如一次函数，二次函数，反比例函数的图象，并在黑板上演示它们的画法。2. 讨论：函数图象有什么特点？二、讲授新课：一、作图例1画出下列各函数的图象： （1） （2）； （3）课本24页7题例2（1）（课本P21例5）画出函数的图象。 （2）画出函数的图象。归纳:的图象例3设，画出函数的图象。变式1：求函数的值域。变式2：解不等式。变式3：画出下列函数的图像（1）(1)归纳:含绝对值的问题的图象二、图象的应用例4当m为何值时，方程有4个互不相等的实数根。变式：不等式对恒成立，求m的取值范围。（三）课堂练习： 1课本P23练习3； 2画出函数的图象。归纳小结：函数图象的画法及其应用。作业1一、选择题:1.下列四种说法中不正确的是 A.数值域中每一个数都有定义域中的自变量值与其对应B.函数的定义域和值域一定是不包括数0的数集C.定义域和对应法则确定后，函数值域也就确定D.若函数的定义域只含一个元素，则值域也只含有一个元素2.函数的定义域是A B C D-3，33.函数的定义域为0,1，2，3，那么其值域为( )A -1，0，3 B0，1，2，3 C y| D y|4.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A.|x|, B.,C., D.,5.函数的图象与直线的交点个数的为 (A.至少一个 B.至多一个 C.必有一个 D.一个，两个或无穷多个6.集合，下列对应不表示从P到Q的函数是 A . B. C. D.7.函数的定义域是F，的定义域是G，则F和G的关系是( )A.F=G B. C. D.二、填空题8.反比例函数的的定义域是 值域是 .ABCD9.已知，那么 .10.已知区间，则的取值范围是 .11.已知函数满足，则的值是 .12.长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆的框架，如果半圆的直径为2x，此框架围成如图形状，则面积y与x的函数关系式为 ,它的定义域是 .ABCD三、解答题13课24页1,2,5,814已知函数的定义域为R，求实数m的取值范围作业2一、选择题:1. 函数的值域是 （ ） y| y| y| y| 2. 设函数，则的表达式是（ ）A B C D 3. 若函数的定义域是，则函数的定义域是A B C D 4. 的定义域为， ，则B A B2 C1 D 45. 若函数的定义域是，则函数的定义域是 A A B C D 6. 函数的值域是 A B。 C DR 7.若函数的定义域为，值域为，则的取值范围为 A B。 C D8.定义域为R的函数的值域为，则函数的值域为 A B C D 二、填空题:9.函数的值域是 10.函数的定义域是，则的定义域为 11若，则方程的根是 三、解答题: 13已知函数，是否存在实数，使得函数的定义域和值域都是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由。 作业3 函数的表示法（一）一、选择题1.一个面积为100cm2的等腰梯形，上底长为xcm,下底长