北师大版必修五 解三角形的实际应用举例 学案.doc

学习目标1.能够运用正弦、余弦定理解决航海测量中的实际问题.2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用知识点一航海中的测量问题思考在浩瀚无垠的海面上航行，最重要的是定位和保持航向阅读教材，看看船只是如何表达位置和航向的？答案用方向角和方位角梳理方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角如南偏西60，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60.知识点二三角形面积公式的拓展思考如果已知底边和底边上的高，可以求三角形面积那么如果知道三角形两边及夹角，有没有办法求三角形面积？答案在abc中，如果已知边ab、bc和角b，边bc上的高记为ha，则haabsin b从而可求面积梳理在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，则abc的面积sabsin cbcsin aacsin b.类型一航海中的测量问题例1如图，一艘海轮从a出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛b，然后从b出发，沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后到达海岛c.如果下次航行直接从a出发到达c，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1，距离精确到0.01 n mile)解在abc中，abc1807532137，根据余弦定理，ac113.15.根据正弦定理，sincab0.325 5，所以cab19.0，75cab56.0.答此船应该沿北偏东56.0的方向航行，需要航行113.15 n mile.反思与感悟解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题跟踪训练1甲船在a点发现乙船在北偏东60的b处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解如图所示设经过t小时两船在c点相遇，则在abc中，bcat(海里)，acat(海里)，b9030120，由，得sincab，0cab90，cab30，dac603030，甲船应沿着北偏东30的方向前进，才能最快与乙船相遇类型二三角形面积公式的应用命题角度1求面积例2在abc中，根据下列条件，求三角形的面积s.(精确到0.1 cm2)(1)已知a14.8 cm，c23.5 cm，b148.5；(2)已知b62.7，c65.8，b3.16 cm；(3)已知三边的长分别为a41.4 cm，b27.3 cm，c38.7 cm.解(1)应用scasin b，得s23.514.8sin 148.590.9(cm2)(2)根据正弦定理，得c，sbcsin ab2，a180(bc)180(62.765.8)51.5，s3.1624.0 (cm2)(3)根据余弦定理的推论，得cos b0.769 7，sin b0.638 4.应用scasin b，得s38.741.40.638 4511.4 (cm2)反思与感悟三角形面积公式sabsin c，sbcsin a，sacsin b中含有三角形的边角关系因此求三角形的面积，与解三角形有密切的关系首先根据已知，求出所需，然后求出三角形的面积跟踪训练2在abc中，ab，ac1，b30，求abc的面积解由正弦定理，得，sin c.0c38.所以没有触礁的危险9已知a船在灯塔c北偏东80处，且a船到灯塔的距离为2 km，b船在灯塔c北偏西40处，a，b两船间的距离为3 km，则b船到灯塔c的距离为_ km.答案1解析由题意知，acb8040120，ac2 km，ab3 km，设b船到灯塔c的距离为x km，即bcx km.由余弦定理可知ab2ac2bc22acbccos acb，即94x222x，整理得x22x50，解得x1(舍去)或x1(km)三、解答题10已知abc的面积为1，tan b，tan c2，求abc的各边长以及abc外接圆的面积解tan b0，b为锐角，sin b，cos b.tan c20，c为钝角，sin c，cos c，sin asin(bc)sin bcos ccos bsin c.sabcabsin c2r2sin asin bsin c2r21.r2，r.r2，即外接圆的面积为.a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c.综上，a，b，c，abc外接圆的面积为 .11如图所示，位于a处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的b处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的c处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线cb前往b处救援，求cos 的值解在abc中，ab40，ac20，bac120，由余弦定理，得bc2ab2ac22abaccos 1202 800，所以bc20.由正弦定理，得sinacb.由bac120，知acb为锐角，故cosacb.故cos cos(acb30)cosacbcos 30sinacbsin 30.12某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在a处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45，距离为10海里的c处，并测得渔船正沿方位角为105的方向，以10海里/小时的速度向小岛b靠拢，我海军舰艇立即以10海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间解如图所示，设所需时间为t小时，则ab10t，cb10t，acb120.在abc中，根据余弦定理，则有ab2ac2bc22acbccosacb，可得(10t)2102(10t)221010tc