湖南省岳阳县第一中学2014年物理奥赛教案+第二讲+运动和力.doc

湖南省岳阳县第一中学2014年物理奥赛教案第二讲 运动和力知识要点：参照系。质点运动的位移和路程，速度，加速度。相对速度。矢量和标量。矢量的合成和分解。匀速及匀速直线运动及其图象。运动的合成。抛体运动。圆周运动。刚体的平动和绕定轴的转动。牛顿第一、二、三运动定律。惯性参照系的概念。开普勒定律。行星和人造卫星的运动。一、参考系参考系：研究物体运动时，选定不动的物体叫参考系。【例1】某人划船逆流而上，当船经过一桥时，船上一小木块掉在河水里。但一直航行至上游某处时此人才发现，便立即返航追赶。当他返航经过一小时追上这小木块时，发现小木块距桥有6000米远。若此人向上航行和向下航行时的划力一样，问河水流速是多少？分析：小结： 二、运动的合成与分解(速度的合成与分解)1、运动的合成与分解例如工厂车间里的天车吊运重物时，物体相对于横梁上的小车有竖直向上的位移S物车，同时小车相对于横梁有一水平方向的位移S车梁，则物体相对于横梁的合成位移S物梁为S物车S车梁S物梁S物梁=S物车+S车梁在这里合位移与分位移包含有变换参考系的作用。2、速度的合成与分解 相对速度当船相对于水有划行速度v船水，水相对于岸有流速v水岸时，则船相对于岸的速度v船岸(即岸上的观察者所观察到的船的实际运动速度)是两个分速度的矢量和，这可表示为v船岸=v船水+v水岸其中，岸叫做不动参考系，水叫做运动参考系，v船水叫做相对速度，v水岸时叫做牵连速度，v船岸是船相对于“不动”参考的速度，叫做绝对速度。因此，“绝对”速度等于牵连速度和相对速度之矢量和。根据运动的相对性可知v船水=-v水船，因此，当已知水对岸速度v水岸和船对岸的速度v船岸时，求船对水的速度v船水时，则有atanav船水=v船岸-v水岸3、加速度合成与分解与上面水的速度合成与分解一样，加速度也可合成与分解，公式如下：a=a1+a2例如，单摆作摆动时，即有切向加速度at也有径向加速度an，则摆球的合加速度为a= at+an写成大小表达式为：a=【例2】在平直的轨道上火车A以速度v1向前匀速行驶，司机忽然发现在前方同一轨道上距A为S远处有另一辆火车B正沿相同的方向以较小的速度v2做匀速运动(v1v2)，于是他立即使车做匀减速运动，加速度大小为a，要使两车不致相撞，则a应满足什么条件？分析： 行李【例3】如图所示，一辆汽车以速度v1在雨中行驶，雨滴落下的速度为v2与竖直方向偏前q角，求车后的一捆行李不会被雨淋湿的条件。解析： 答案：【例4】骑自行车的人以4m/s的速度向东行驶，感觉风从正南吹来，当车速为6m/s时，感觉风从东南吹来。求风速(风相对于地的速度)分析：设风相对人的速度为v风对人，人对地的速度为v人对地，风对地的绝对速度为v风对地，则AADBCv人对地v人对地v风对地v风对人v人对地第一次：v风对地=v风对人+v人对地第二次：v风对地=v风对人+v人对地根据上式，画出平等四边形如图所示，则有：v风对地=由矢量图可知，AA=AC，这就是第一次风相对于人的速度大小，则v风对人=v人对地-v人对地=6-4=2m/s，方向向北。设v风对地的方向与东西方向夹角为a，则有：tana=v风对人/v人对地=2/4=0.5a=arctan0.526.6qv2v112【例5】如图所示，直杆1、2交角为q，交点为A，若两杆各以垂直于自身的速度v1、v2沿着纸平面运动，则交点A的运动速度大小为多少？解析：ABCdq【例6】一人站在离平直公路距离为d=50m的B处，公路上有一汽车以v1=10m/s的速度行驶，如图所示，当汽车在与人相距L=200m的A处时，人立即以速度v2=3m/s奔跑。为了使人跑到到公路上时，能与车相遇，问：(1)人奔跑的方向与AB连线的夹角q为多少？(2)经多长时间人赶上汽车？(3)若其它条件不变，人在原处开始匀速奔跑时要与车相遇，最小速度多少？解析：【例7】大海里人游泳速度为v，陆地上人跑步的速度为v,设某地海岸线是直线，有一个厕所在陆地上离海岸线距离为L，在距离海岸线L的海域有一个人要去所里有急事，人与厕所的连线与海岸线夹角为a，求人要到达所里，最快多久。解析：三、抛体运动(斜抛运动)运动特点：a=g，方向铅垂向下。在水平轴为x，竖直轴为y的坐标系中，设v0与x轴成a，水平分量vx，竖直分量为vy，由有vx=v0cosa vy=v0sina-gt运动规律为：x=x0+v0tcosa y=y0+v0tsina-平抛运动：a=0；上抛运动：a=90；下抛运动：a=-90；斜抛运动：a为任意值。斜抛运动的解题方法通常是分解运动。【例8】树上有一只猴子，远处一个猎人持枪瞄准了猴子，当猎枪击发时猴子看到枪口的火光后立即落下，不考虑空气阻力，已知猴子开始离枪口的水平距离为S，竖直高度为h，试求当子弹初速度满足什么条件时，子弹总能击中猴子。解析： 【例9】以v0=10m/s的初速率自楼顶平抛一小球，若不计空气阻力，当小球沿曲线运动的法向加速度大小为5m/s2时，求小球下降的高度及所在处轨迹的曲率半径。解析： 【例10】一水枪需要把水喷射到离喷口的水平距离为d=3m的墙外，从喷口算起，墙高为4.0m，不计空气阻力，g=10m/s2，试求所需的最小喷射初速率v0和对应的喷射仰角a。解析：ABCSV0h【例11】如图所示，从A点以v0的初速度抛出一个小球，在离A点水平距离为s处有一堵墙BC，墙高为h，要求小球能越过B点，问小球以怎样的角度抛出，才能使v0最小？解析：四、圆周运动圆周运动一般可以用它的运动轨迹半径R和运动的线速度v(或角速度w)来描述。v(或w)的大小不变的圆周运动称为匀速圆周运动，否则称为变速圆周运动。匀速圆周运动并不是一种匀速运动，因为它的速度方向一直不变；也不是一种匀变速运动，因为它的加速度的方向时刻在变。圆周运动的向心加速度为xyvyvxvRwt0an=w2R=vw圆周运动也可以分解为两个互相垂直方向上的分运动，如图所示。一个质点在t=0时刻从x正方向开始沿圆周逆时针方向做匀速圆周运动，在x方向上有：x=Rcoswtvx=-vsinwt=-wRsinwtax=-acoswt=-w2Rcoswt在y方向上，有y=Rsinwt=Rcos(wt-/2)vy=vcoswt=-wRsin(wt-/2)ay=-asinwt=-w2Rcos(wt-/2)从x和y方向上的位移、速度和加速度由时间t表达的参数方程可以看出：匀速圆周运动可以分为两个互相垂直方向上的简谐运动，它们的相位差为p/2。在数学中，只要知道一条曲线的方程，便可以求出曲线上任一点的曲率半径。对一些在物理学中常见的曲线，也可以用一些特殊的方法求它们的曲率半径。【例12】已知椭圆曲线方程为+=1，求其两顶点处的曲率半径。解析：v0vv0tqxyO【例13】xOy平面上有一个圆心在坐标原点、半径为R的圆，在y轴上放一根细杆，如图所示。从t=0时开始，细杆以速度v0朝x轴正方向匀速运动，试求细杆与第一象限的圆的交点的向心加速度与时间t的关系式。解析：五、刚体的平动和绕定轴的转动1、平动平动：刚体运动时，刚体上任一直线始终与其初始位置平行。定理：平动刚体上各点的运动轨迹形状相同，速度、加速度相等。2、定轴转动(1)角位移、角速度与角加速度角位移：j=j(t)角速度：w=角加速度：e=(2)刚体上各点的速度和加速度定由转动的刚体上的点都与定轴距离保持不变，因此，刚体上的点均在过该点且垂直于定轴的平面内作圆周运动。路程为S=Rj速度为v=Rw向心加速度为：an=v2/R=Rw2切向加速度为：at=Re当e=常数时，刚体匀加速转动，类似匀加速直线运动，有w=w0+etj=j0+w0t+w2=w02+2e(j-j0)3、刚体上点的相对运动(1)同一刚体上两点的相对速度和相对加速度【例14】如图所示，某人以常速率v拉动绳的一端，绳的另一端A系着一只小船，已知人离水面高度为h，试求当绳与水面成倾角q=30时，小船的速度和加速度。qV解析： 【例15】质量均为m的两个小球，固定在长度为L的轻杆两端，开始杆直立在光滑的水平地板上，靠着竖直的光滑墙，如图所示，杆无初速度滑下，求当杆与水平面成a角时，两球的速度。解析：aqPRaO【例16】如图所示，一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右做加速为a的匀加速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动。当半圆柱体的速度为v时，杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为q，求此时竖直杆运动的速度和加速度。解析：avavccvcvc【例17】如图所示，在直角墙角，立方块和三角块相互接触，若已知三角块的速度和加速度为V和a，试求立方块中心C的速度和加速度。解析：ACROBq【例18】如图所示，B是质量为mB、半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上A是质量为mA的细长直杆，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动碗和杆的质量关系为：mB 2mA初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如图）然后从静止开始释放A，A、B便开始运动设A杆的位置用q 表示，q 为碗面的球心O 至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角求A与B速度的大小（表示成q 的函数）(2004年第二十一届全国中学生物理竞赛初赛试题)解析： 六、质点运动定律1、惯性系与非惯性系惯性系：牛顿运动定律适应的参考系，叫惯性系。一切相对惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。实验证明，以太阳中心为原点，指向任一恒星的直线为坐标所构成的日心系是至今最精确的惯性系。地球相对于日心系有公转和自转，严格地说不是惯性系，但这种加速度很小，在一定精度范围内，地球仍视为惯性系。由此，相对地面静止或匀速直线运动物体上的参考系也可视为惯性系。非惯性系：牛顿运动定律不适应的参考系，叫非惯性系。一切相对于面旋转或加速运动的参考系都是非惯性系。在非惯性系中，牛顿第一、第二定律不再成立，需要引入惯性力，对定律的形式加以修正。2、牛顿运动定律定律一：若质点不受外力作用，则保持静止或匀速直线运动状态。定律表明：任何物体相对于惯性系，都具有保持速度不变的惯性，而外力是改变物体速度的原因。定律二：质点的加速度与其所受合外力成正比，与其质量成反比，即F=ma该定律适用于惯性参考系，并具有：矢量性：合外力方向与加速度方面一致；瞬时性：矢量关系在任意瞬时都成立；独立性：各个方向的分量式(或投影式)都成立。定律三：两个物体之间的作用力与反作用力，总是等值、反向、共线。FM【例19】如图所示，质点沿曲线运动，图示瞬时所受合外力沿轨迹切线方向，试求此时质点的速度。解析：由定律二的矢量性和瞬时性可知，此瞬时质点加速度方向与F相同，也沿切线方向，法向加速度an=0，即v2/=0，故此时v=0。【例20】如图所示，一细绳跨过装在天花板上的滑轮，绳的一端吊一质量为M的物体，另一端挂一载人梯子，人质量为m，系统处于平衡状态，不计摩擦及滑轮与绳的质量，要使天花板受力为零，试求人应如何运动？解析： 3、质心与质心运动质心：质点系的质量分布的平均位置。质心的位置：如图所示，各质点的质量为mi(i=1,2,3,n)，各质点的位置矢量为ri，M=mi，则有rC=将上式向x、y、z坐标分别投影，得质心C的坐标位置为：xC=，yC=，zC=ABCaaaO【例21】如图所示，质量为mA、mB、mC的三个质点位于连长为a的等边三角形顶点处，试确定质心O的位置。解析：【例22】质量分别为M与m的两个物体，用一极轻的绳连接起来，挂在一固定的极轻的滑轮上，如图所示，起始时，每重物的重心与通过滑轮的x轴之间的距离分别等于L1和L2，假定Mm，求重物系统质心的运动方程式。MmL1L2yx解析：通常当物体的体积不太大时重心和质心重合，本题中质心的运动只沿竖直方向，因此不必求水平方向的坐标，由牛顿第二定律得Mg-T=Ma， T-mg=ma得：a=经时间t后，满足y1-L1=，y2-L2=-代入质心公式可得系统质心的运动方程为y0=+4、质心速度【例23】两个质量相同的小球，带有相等的电荷，处于同一条竖直线上，距地面高度分别为h1和h2。当他们以相同的水平速度抛出，在第一个小球落地时在水平方向经过距离L时，第二个球这时距地的高度H2为多少？设空气阻力、地表面的感应电荷可略。解析：【例24】有两个质量为m1、m2的相同小球，每个球的电量为Q，在开始时，两个小球相远离，m1以初速度v向另一个小球运动，而另一个小球速度为零，作用在小球上唯一的力是静电力，求两个小球能接近的最小距离。已知两球相互作用势能：U=解析：5、质心加速度ABF【例25】如图所示车厢B底面放置一物体A，已知它们的质量为mA=20kg，mB=30kg，在力F=120N作用下，B由静止开始，2秒内移动5m，不计地面摩擦，求A在B内移动的距离。解析： 6、质心守恒若系统的合外力为零，且质心的初速度为零，则质心加速度为零，位置不变，叫质心守恒。ABC可知，若质心在某个方向上合外力为零，且这个方向上初速度为零，则质心在这个方向上没有位移。【例26】如图所示，等腰直角三角形的均匀质板ABC，已知斜边长为AB=12cm，使AB铅垂方向静立于光滑水平面上，若三角块保持在铅垂平面内滑倒，试求直角边BC中点M的运动轨迹方程。ABCyMO解析：由于在水平方向受力为零，则系统质点在水平没有位移。如图所示建立直角坐标系，y轴过O点，任意位置坐标有：x=OMcosq, y=AMsinq 故有：即：7、联接体两个或两个以上物体在某一种力(一般是弹力或摩擦力)作用下一起运动，叫联接体。解联接体的问题一般要用隔离法，即把某一个物体隔离出来进行分析。有时联接体中的各个物体具有不同的加速度，必须确定它们的加速度之间的关系。m3m2m1a3a2a1【例27】如图所示的装置，细绳不可伸长，三个物体的加速度方向如图所示，那么它们的加速度a1、a2、a3之间有什么关系。解析：mgNTm1gTq【例28】质量分别为m1和m2的两个小物块用轻绳连结，绳跨过位于倾角a 30的光滑斜面顶端的轻滑轮，滑轮与转轴之间的摩擦不计，斜面固定在水平桌面上，如图所示第一次，m1悬空，m2放在斜面上，用t表示m2自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间第二次，将m1和m2位置互换，使m2悬空，m1放在斜面上，发现m1自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间为求m1与m2之比(2004年第21届预赛试题)解析：8、曲线运动的向心力(1)圆周运动在匀速圆周运动中，物体受合外力等于它所需要的向心力。而在变速圆周运动中，一般要将合外力分解成法向分力和切向分力。ACODv0如图所示，一个小球在半径为R的光滑柱形圆筒内做圆周运动，在圆筒底部B时小球的速度为v0，讨论小球的运动情况。容易求得，小球要做完整圆周运动的速度必须满足条件：在最高点必须满足：v0在最低点必须满足：v0讨论：如果 v0，则小球将在A、C间的某点离开圆周。(2)一般曲线运动所有做曲线运动的物体m都需要向心力F=mv2/R式中v是物体的速度，R是曲线的曲率半径。Nmgh如图所示，一个质量为m的小球沿着抛物线y=Ax2型的轨道从h米高处由静止开始滑下，试求小球到达轨道底部时对轨道的压力。小球到达底部时的速度为v=又抛物线在在底部时的曲率半径为R=1/2A小球在底部时受到两个力：重力mg和轨道的弹力N，因此，N-mg=mN=mg(1+2h/R)=mg(1+4Ah)【例29】如图所示，用细杆把质量为M的圆环固定起来，圆环顶部套有两个质量均为m的小环，大小环之间无摩擦。若两个小环同时由静止开始下滑，那么：qqmgN(1)试证明当m大于某一值时，大环会有上升的趋势；(2)说明m的值不同时，大圆环的运动趋势情况。解析： 9、质点系牛顿第二定律对一个质点系而言，同样可以应用牛顿第二定律。如果这个质点系在任意的x方向上受的合外力为Fx，质点系中的n个物体(质量分别为m1、m2、m3、mn)在x方向上的加速度分别为a1x、a2x、anx，那么有Fx=m1a1x+m2a2x+mnanx这就是质点系牛顿第二定律。【例30】如图所示，质量为M的长木板放在光滑的斜面上，斜面倾角为q，要木板静止在斜面上，则木板上的质量为m的人应以多大的加速度运动？向哪里运动？讨论：若要木板以加速a沿斜面向上运动呢？10、天体运动天体运动的轨道一般是圆或椭圆，它做曲线运动的向心力是靠万有引力提供的，万有引力定律只适用于两个质点之间的相互作用，但因为天体本身的大小与它们之间的距离比较起来很小，因此可以把它们当成质点来处理。当一颗质量为m的行星以速度v绕着质量为M的恒星做半径为R的圆周运动时，如果以无穷远作为零势能，则它的动能Ek和势能Ep分别为Ek=, Ep=-G又因为有：=m得：v2=行星的总能量为E=Ek+Ep=由以上推导可见，卫星飞得越高，其速度越慢，但是它的总能量却总越大，这是发射卫星比较困难的原因之一。天体运动遵循开普勒三定律： 开普勒第一定律：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个焦点上。开普勒第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。开普勒第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值相等。dRmM【例31】半径为R、质量为M的均匀铅球内挖去一个直径为R的球形空腔，空腔与表面相切，在两球心连线的处长线上距铅球中心为d处，另有一质量为m的小球，如图所示，试求挖有空腔的铅球对小球的万有引力。解析：【例32】世界上第一颗人造卫星的长轴比第二颗卫星短8000km，第一颗卫星开始绕地球运转的周期为96.2min，试求：(1)第一颗人造卫星轨道的长轴。(2)第二颗人造卫星绕地球运转时的周期。已知地球质量为M=5.981024kg。解析：【例33】太空站的质量为M，与它连接在一起的人造卫星的质量为m，它们沿圆轨道绕地球运动，轨道半径是地球半径R的n倍，地球质量为M，在某一瞬间人造卫星与太空站脱离，卫星发动机立即点火，短暂喷射后卫星获得较大的速度，沿其原来运动方向进入椭圆轨道，如果当人造卫星绕地球一周时，刚好能在原处与已绕行N周的太空站对接，那么卫星点火后获得的速度应多大？(引力势能EP=)解析： 【例34】假如有一颗恒星，质量为M，有一颗质量为m的行星围绕着恒星做半径为r0的匀速圆周运动。突然，恒星的质量减小了1/n，试描述此后行星的运动情况。解析：【例35】经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识。双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。一般双星系统距离其他天体很远，可以当作孤立系统处理。现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕连线的中点作圆周运动。(第11届复赛试题)(1)试计算该双星系统的运动周期T计。(2)若实验上观测到的运动周期为T观，且T观：T计=1：(N1)，为了解释T观和T计的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连为直径的球体均匀分布着这种暗物质，而不考虑其它暗物质的影响。试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。解析：11、惯性力牛顿运动定律只在一类特殊的参照系中成立，简称惯性系。实验证明，地面已经是一个相当接近惯性系的参照系。一般情况下，相对地面静止的或是匀速直线运动的参照系都可以看作惯性系。牛顿运动定律不成立的参照系叫做非惯性系，非惯性系相对惯性系必然做加速运动或旋转运动。为了使牛顿运动定律在非惯性系中也能使用，必须引力一个惯性力。这样的：如果非惯性系相对惯性系有平动加速度a，那么只有认为非惯性系中的所有物体都受到一个大小为ma、方向与a的方向相反的惯性力，牛顿运动定律即可照用。例如，一物块A放在倾角为a的光滑斜面B上，问斜面B必须以多大的加速度运动，才能保持A、B相对静止？aaBANmgf可取B作为参考系，A在这个参照系中应静止。因为B是相对地面有加速度的非惯性系，所以要加上一个惯性力f=ma，方向水平向右，a的大小等于B相对地面的加速度。由受力分析图可知：ma=mgtana，a=gtanaqBA【例36】质量为m的物体A置于质量为M、倾角为q的斜面B上，A、B之间光滑接触，B的底面与水平地面也是光滑接触。设开始时A与B均为静止，而后A以某初速度沿B的斜面向上运动，如图所示，试问A在没有到达斜面顶部前是否会离开斜面？为什么？讨论中不必考虑B向前倾倒的可能性。解析：【例37】如图所示，与水平面成角的AB棒上有一滑套C ，可以无摩擦地在棒上滑动，开始时与棒的A端相距b ，相对棒静止。当棒保持倾角不变地沿水平面匀加速运动，加速度为a（且agtg）时，求滑套C从棒的A端滑出所经历的时间。解析： 第二讲 运动和力知识要点：参照系。质点运动的位移和路程，速度，加速度。相对速度。矢量和标量。矢量的合成和分解。匀速及匀速直线运动及其图象。运动的合成。抛体运动。圆周运动。刚体的平动和绕定轴的转动。牛顿第一、二、三运动定律。惯性参照系的概念。开普勒定律。行星和人造卫星的运动。一、参考系参考系：研究物体运动时，选定不动的物体叫参考系。【例1】某人划船逆流而上，当船经过一桥时，船上一小木块掉在河水里。但一直航行至上游某处时此人才发现，便立即返航追赶。当他返航经过一小时追上这小木块时，发现小木块距桥有6000米远。若此人向上航行和向下航行时的划力一样，问河水流速是多少？分析：船在静水中的流速不变，取河水面为参考系，则船在此参考系中离开木块和赶上木块所用时间相等。故他离开木块和赶上木块的总时间为2小时。得河水流速为v=s/t=6000m/2h=3km/h小结：巧妙选择参考系会使解题大大简化。二、运动的合成与分解(速度的合成与分解)1、运动的合成与分解例如工厂车间里的天车吊运重物时，物体相对于横梁上的小车有竖直向上的位移S物车，同时小车相对于横梁有一水平方向的位移S车梁，则物体相对于横梁的合成位移S物梁为S物车S车梁S物梁S物梁=S物车+S车梁在这里合位移与分位移包含有变换参考系的作用。2、速度的合成与分解 相对速度v船岸= v船水+v水岸当船相对于水有划行速度v船水，水相对于岸有流速v水岸时，则船相对于岸的速度v船岸(即岸上的观察者所观察到的船的实际运动速度)是两个分速度的矢量和，这可表示为v船岸=v船水+v水岸记忆方法：首尾对应法则(见右图)其中，岸叫做不动参考系，水叫做运动参考系，v船水叫做相对速度，v水岸时叫做牵连速度，v船岸是船相对于“不动”参考的速度，叫做绝对速度。因此，“绝对”速度等于牵连速度和相对速度之矢量和。根据运动的相对性可知v船水=-v水船，因此，当已知水对岸速度v水岸和船对岸的速度v船岸时，求船对水的速度v船水时，则有atanav船水=v船岸-v水岸3、加速度合成与分解与上面水的速度合成与分解一样，加速度也可合成与分解，公式如下：a=a1+a2例如，单摆作摆动时，即有切向加速度at也有径向加速度an，则摆球的合加速度为a= at+an写成大小表达式为：a=【例2】在平直的轨道上火车A以速度v1向前匀速行驶，司机忽然发现在前方同一轨道上距A为S远处有另一辆火车B正沿相同的方向以较小的速度v2做匀速运动(v1v2)，于是他立即使车做匀减速运动，加速度大小为a，要使两车不致相撞，则a应满足什么条件？分析：本题可以用匀变速运动的有关公式直接求解。但若采用相对运动法，则更为简洁。以前面的火车B为参考系，则A相对于B的初速度为v0=v1-v2，A相对于B的末速度为0，相对加速度为所求的加速度a，相对位移为S，则有：2aS=v02-0解得：a=【例3】如图所示，一辆汽车以速度v1在雨中行驶，雨滴落下的速度为v2与竖直方向偏前q角，求车后的一捆行李不会被雨淋湿的条件。解析：行李在车厢后面，要不被雨淋湿，车厢必须挡住可能落在行李上的雨，即雨相对于车的速度方向如图所示。v1v2v雨车行李Hqb雨滴相对于车的速度为v雨车=v雨地-v车地=v2-v1由图可得，tanb=要行李不被雨淋湿，则有tanbL/H故所求条件是：【例4】骑自行车的人以4m/s的速度向东行驶，感觉风从正南吹来，当车速为6m/s时，感觉风从东南吹来。求风速(风相对于地的速度)分析：设风相对人的速度为v风对人，人对地的速度为v人对地，风对地的绝对速度为v风对地，则AADBCv人对地v人对地v风对地v风对人v人对地第一次：v风对地=v风对人+v人对地第二次：v风对地=v风对人+v人对地根据上式，画出平等四边形如图所示，则有：v风对地=由矢量图可知，AA=AC，这就是第一次风相对于人的速度大小，则v风对人=v人对地-v人对地=6-4=2m/s，方向向北。设v风对地的方向与东西方向夹角为a，则有：tana=v风对人/v人对地=2/4=0.5a=arctan0.526.6【例5】如图所示，直杆1、2交角为q，交点为A，若两杆各以垂直于自身的速度v1、v2沿着纸平面运动，则交点A的运动速度大小为多少？解析：令1不动，则交点在杆1上滑行的速度为v2A=v2/sinq；令杆2不动，则交点在杆1上滑行的速度为v1A=v1/sinq由A点对纸面的合速度为v1A和v2A的合成，大小为vA=qv212AAqvAAv1Av2Aqv2v112ABCdq【例6】一人站在离平直公路距离为d=50m的B处，公路上有一汽车以v1=10m/s的速度行驶，如图所示，当汽车在与人相距L=200m的A处时，人立即以速度v2=3m/s奔跑。为了使人跑到到公路上时，能与车相遇，问：(1)人奔跑的方向与AB连线的夹角q为多少？(2)经多长时间人赶上汽车？(3)若其它条件不变，人在原处开始匀速奔跑时要与车相遇，最小速度多少？解析：人和车都做匀速运动，故人相对车的运动也是匀速的，因此，以车为参考系，根据运动的合成与分解的知识和匀速运动的规律可求解。(1)以汽车为参照系，人做匀速运动，故要人与车相遇，必须人相对于车的速度v3沿BA方向，根据三角形法则可以得到如图所示的矢量三角形，由正弦定理有：v2v3v1=，而sinb=d/L，得：sinq=解得：q=56.5或123.5故人能与车相遇的条件是：56.5q123.5(2)在图中，由正弦定理得：=代入数值解得：v3=11.85m/s或v3=8.03m/s将v3代入t=L/v3，解得：t=16.9s或t=24.9s，即人追赶的时间t应满足16.9st24.9s(3)在速度矢量图中，不难看出，当q=90时，v2最小，故奔跑的最小速度为v2min=v1sinb=2.5m/s法二：相对速度法：取汽车为参考系进行研究【例7】大海里人游泳速度为v，陆地上人跑步的速度为v,设某地海岸线是直线，有一个厕所在陆地上离海岸线距离为L，在距离海岸线L的海域有一个人要去所里有急事，人与厕所的连线与海岸线夹角为a，求人要到达所里，最快多久。解析：这题是一道名题了，几乎学过物理的人都做过，解法也很多，但是都没有这个联想法简便。设海与大地为两种不同的介质，人所在位置为点光源，设有一束光照到了厕所的位置，则根据光程最短原理+折射率是光速之比可以轻易求出人该走哪一点，然后时间易求。小结：本题采用了联想的方法，联想是一种很有用的办法，可以绕过困难，把别的地方的既有公式直接拿来使用。三、抛体运动(斜抛运动)运动特点：a=g，方向铅垂向下。在水平轴为x，竖直轴为y的坐标系中，设v0与x轴成a角，水平分量vx，竖直分量为vy，则有vx=v0cosa xyv0q vy=v0sina-gt运动规律为：x=x0+v0tcosa y=y0+v0tsina-平抛运动：a=0；上抛运动：a=90；下抛运动：a=-90；斜抛运动：a为任意值。斜抛运动的解题方法通常是分解运动。【例8】树上有一只猴子，远处一个猎人持枪瞄准了猴子，当猎枪击发时猴子看到枪口的火光后立即落下，不考虑空气阻力，已知猴子开始离枪口的水平距离为S，竖直高度为h，试求当子弹初速度满足什么条件时，子弹总能击中猴子。解析：法一，以地面为参考系设子弹出枪口的速度为v0，与水平夹角为q，则有x=v0tcosq y= v0tsinq-gt2击中猴子时，x=s，即t= 代入第二式得：y=stanq-gt2=h-gt2而在t时刻猴子离枪口的高度为：y=h-gt2y=y，说明，子弹可以击中猴子。由得：v0cosqt=s，再由得：v0sinqt=h上述二式消去参数q得：v02t2=h2+s2 由于子弹初速度越小，击中猴子前运动时间越长，如果运动的时间t0=，则子弹刚好在地面击中猴子，速度再小，则子弹在落地前运动的水平距离小于s，不能击中猴子，故要击中猴子，时间t0，代入式得：v0tshgt2/2v0方法二：以猴子为参照系，将变得十分简单。因为两者都有一个自由落体运动，可以抵消。即子弹沿初速度方向做匀速运动，由图可直接得到：v02t2=h2+s2由于要在猴子落地前击中，故时间的要求是hgt2两式解得：v0【例9】以v0=10m/s的初速率自楼顶平抛一小球，若不计空气阻力，当小球沿曲线运动的法向加速度大小为5m/s2时，求小球下降的高度及所在处轨迹的曲率半径。解析：小球运动时，加速度恒为g，设法向加速度与g成q角，则g=an+atv0v0当an=5m/s2时，cosq=an/g=1/2，q=60又小球运动时，vy=v0tanq=10(m/s)故h=15m，为所求。而v=2v0, an=v2/r故r=v2/an=80(m) 为所求。ABCSV0h【例10】如图所示，从A点以v0的初速度抛出一个小球，在离A点水平距离为s处有一堵墙BC，墙高为h，要求小球能越过B点，问小球以怎样的角度抛出，才能使v0最小？解析：方法一：普通坐标系法，以水平方向建x轴，过A点建y轴，进行计算。这种方法的数学要求较高，略。yxgv0v0yv0xgygxja方法二：以AB方向建x轴，过A作x轴的垂线建y轴。这样，小球在两个方向上都是匀变速直线运动，v0、g都要分解到两个方向上。小球的运动方程为x=v0cosa- (1)y=v0sina- (2)当小球越过墙顶时，y方向的位移为零，由(2)式可得t= (3)把(3)代入(1)式得：x=sinacos(a+j)=sin(2a+j)-sinjv02=当sin(2a+j)最大，即2a+j=p/2时，a=/4-j/2，v0有极小值v02=xg(1+)=g(h+)jabv0LACBDv0t方法三：将斜抛运动看成是一个v0方向的匀速直线运动和另一个自由落体运动的合运动，如图所示在位移三角形ADB中用正弦定理= 由上式中第一个等式可得：t= 将式代入式中第二个等式得：=得：v02=当-cos(2a+b)有极大值1时，即2a+b=时，v0有极小值。因为：2a+b=，2a+j+/2=所以：a=四、圆周运动圆周运动一般可以用它的运动轨迹半径R和运动的线速度v(或角速度w)来描述。v(或w)的大小不变的圆周运动称为匀速圆周运动，否则称为变速圆周运动。匀速圆周运动并不是一种匀速运动，因为它的速度方向一直不变；也不是一种匀变速运动，因为它的加速度的方向时刻在变。圆周运动的向心加速度为an=w2R=vw圆周运动也可以分解为两个互相垂直方向上的分运动，如图所示。一个质点在t=0时刻从x正方向开始沿圆周逆时针方向做匀速圆周运动，在x方向上有：xyvyvxvRwt0x=Rcoswtvx=-vsinwt=-wRsinwtax=-acoswt=-w2Rcoswt在y方向上，有y=Rsinwt=Rcos(wt-/2)vy=vcoswt=-wRsin(wt-/2)ay=-asinwt=-w2Rcos(wt-/2)从x和y方向上的位移、速度和加速度由时间t表达的参数方程可以看出：匀速圆周运动可以分为两个互相垂直方向上的简谐运动，它们的相位差为p/2。在数学中，只要知道一条曲线的方程，便可以求出曲线上任一点的曲率半径。对一些在物理学中常见的曲线，也可以用一些特殊的方法求它们的曲率半径。【例11】已知椭圆曲线方程为+=1，求其两顶点处的曲率半径。解析：将椭圆看成是半径为RA(设AB)的圆在s平面上的投影，圆平面和s平面的夹角j满足关系式：aRcosj=B/R=B/A设一个质点以速率v在圆周上做匀速圆周运动，则向心加速度a=v2/A，从图中可以看出，当质点的投影在椭圆的长轴(x轴)上的P点时，其速率和加速度分别为vx=vcosj=， ax=a=v2/A当质点的投影在椭圆的短轴(y轴)上的Q点时，其速率和加速度分别为vy=v，ay=acosj=B因此，椭圆曲线在P点和Q点的曲率半径分别为rP =rQ =v0vv0tqxyO【例12】xOy平面上有一个圆心在坐标原点、半径为R的圆，在y轴上放一根细杆，如图所示。从t=0时开始，细杆以速度v0朝x轴正方向匀速运动，试求细杆与第一象限的圆的交点的向心加速度与时间t的关系式。解析：因为细杆与圆的交点运动的方向总是与圆相切的，所以交点的速度为v=，即v2=故向心加速度为a=五、刚体的平动和绕定轴的转动1、平动平动：刚体运动时，刚体上任一直线始终与其初始位置平行。定理：平动刚体上各点的运动轨迹形状相同，速度、加速度相等。2、定轴转动(1)角位移、角速度与角加速度角位移：j=j(t)角速度：w=角加速度：e=(2)刚体上各点的速度和加速度定轴转动的刚体上的点都与定轴距离保持不变，因此，刚体上的点均在过该点且垂直于定轴的平面内作圆周运动。路程为S=Rj速度为v=Rw向心加速度为：an=v2/R=Rw2切向加速度为：at=Re当e=常数时，刚体匀加速转动，类似匀加速直线运动，有w=w0+etj=j0+w0t+w2=w02+2e(j-j0)3、刚体上点的相对运动(1)同一刚体上两点的相对速度和相对加速度qVvAvA0vaAatA0anAOAO【例13】如图所示，某人以常速率v拉动绳的一端，绳的另一端A系着一只小船，已知人离水面高度为h，试求当绳与水面成倾角q=30时，小船的速度和加速度。解析：不计滑轮尺寸，可视绳段为刚体。则有：v=vAcos30即vA=而vAO=vtg30=又在此处anAO=故aA=aAB(2)不同刚体上两个运动点的相对速度和加速度【例14】质量均为m的两个小球，固定在长度为L的轻杆两端，开始杆直立在光滑的水平地板上，靠着竖直的光滑墙，如图所示，杆无初速度滑下，求当杆与水平面成a角时，两球的速度。解法一：当杆滑下时，只有重力作功，机械能守恒，杆从竖直位置滑下，与地面倾角为a时，有：mg(L-y)=+ 式中y=Lsina为上球在此时的纵坐标，v1、v2分别为两球的速度，且满足v1cosa=v2sina得：v1=， v2=BAvAvBvq解法二：选A为参考系，则球的速度如图所示。由VA地=VAB+VB地得tanq=VB/VA再结合能量守恒可求解。qPRaO【例15】如图所示，一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右做加速为a的匀加速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动。当半圆柱体的速度为v时，杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为q，求此时竖直杆运动的速度和加速度。解析：(1)取半圆柱体作为参考系，在此参考系中，P点做圆周运动，即V杆柱的方向沿着圆上P点的切线方向，根据题意，V杆地的方向是竖直向上的，因为qPROv杆地v杆柱v柱地V杆地=V杆柱+V柱地所以可画出矢量三角形PAB，如图所示。由此可知：V杆地=V柱地tanq=vtanqV杆柱=V柱地/cosq(2)在半圆柱体参考系中，P的加速度由切向加速度at和法向加速度an构成，即a=an+at其中qROa杆地ata柱地anan=由相对运动知识可得矢量式为：a杆地=an+at+a柱地将这些矢量投影在an方向上，可得：a杆地cosq=a柱地sinq-an(这样做避免了at)得：a杆地=a柱地tanq-=atanq-avavccvcvcavaaccacac【例16】如图所示，在直角墙角，立方块和三角块相互接触，若已知三角块的速度和加速度为V和a，试求立方块中心C的速度和加速度。解析：选三角块为动参考系，动系上与C相重合的点C的速度为VC=V，故VC=VC+VCC其中VCC平行于三角块的斜面。故有VC=Vtana，方向如图所示。同理可得：ac=atana小结： ACROBq【例17】如图所示，B是质量为mB、半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上A是质量为mA的细长直杆，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动碗和杆的质量关系为：mB 2mA初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如图）然后从静止开始释放A，A、B便开始运动设A杆的位置用q 表示，q 为碗面的球心O 至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角求A与B速度的大小（表示成q 的函数）(2004年第二十一届全国中学生物理竞赛初赛试题)解析：由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻，A沿竖直方向运动，设其速度为vA，B沿水平方向运动，设其速度为vB若以B为参考系，从B观测，则A杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗面内作半径为R的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为VA杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示由图得VAsinq=vA VAcoq=vB因而ORvBvAqVAABvB=vAcotq 由能量守恒 由两式及得 小结：(1) ；(2)不同刚体上相对运动问题一般要选用不同的参考系来分析，找相对速度，然后用来解。六、质点运动定律1、惯性系与非惯性系惯性系：牛顿运动定律适应的参考系，叫惯性系。一切相对惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。实验证明，以太阳中心为原点，指向任一恒星的直线为坐标所构成的日心系是至今最精确的惯性系。地球相对于日心系有公转和自转，严格地说不是惯性系，但这种加速度很小，在一定精度范围内，地球仍视为惯性系。由此，相对地面静止或匀速直线运动物体上的参考系也可视为惯性系。非惯性系：牛顿运动定律不适应的参考系，叫非惯性系。一切相对于面旋转或加速运动的参考系都