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2 2抛物线的简单性质 学课前预习学案 太阳能是最清洁的能源 太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子 太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面 你知道它的原理是什么吗 提示 太阳光线 平行光束 射到抛物镜面上 经镜面反射后 反射光线都经过抛物线的焦点 这就是太阳能灶能把光能转化为热能的理论依据 1 四种标准形式的抛物线几何性质的比较 y2 2px x2 2py x轴 y轴 x 0 x 0 y 0 y 0 原点 0 0 e 1 左 下 抛物线只有一条对称轴 一个顶点 一个焦点 一条准线 无对称中心 无渐近线 标准方程只有一个参数 不同于椭圆 双曲线 过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的直线与抛物线交于两点 连结这两点的 叫作抛物线的通径 抛物线y2 2px p 0 的通径长为 2 抛物线的通径 线段 2p 关于通径的简单性质 1 在过焦点的直线与抛物线相交所得的弦中 通径最短 2 如图所示ab为抛物线y2 2px p 0 的通径 则 akb为等腰直角三角形 akb 90 3 抛物线方程y2 2px p 0 中 2p的几何意义即为 通径 而p的几何意义即为抛物线的焦点到其对应准线的距离 1 抛物线的对称轴为x轴 过焦点且垂直于对称轴的弦长为8 若抛物线的顶点在坐标原点 则其方程为 a y2 8xb y2 8xc y2 8x或y2 8xd x2 8y或x2 8y解析 由题意知通径长2p 8 且焦点在x轴上 但开口向左或右不确定 故方程为y2 8x或y2 8x 答案 c 3 设p是抛物线x2 2y上的一点 若p到此抛物线的准线距离为8 5 则p点的坐标是 讲课堂互动讲义 抛物线的顶点在原点 对称轴重合于椭圆3x2 4y2 12的长轴所在的直线 抛物线焦点到顶点的距离为5 求抛物线的方程及准线方程 思路导引 先确定抛物线的方程形式 再求p值 根据抛物线的性质求标准方程 求抛物线标准方程的主要步骤是先定位 即根据题中条件确定抛物线的焦点位置 后定量 即求出方程中p的值 从而求出方程 12分 斜率为1的直线经过抛物线y2 4x的焦点 与抛物线相交于两点a b 求线段ab的长 思路导引 思路一 设出直线方程与抛物线y2 4x联立组成方程组 求出两点a b的坐标 然后采用两点间距离公式求线段ab的长 思路二 利用抛物线的焦点弦公式 思路三 利用抛物线的弦长公式 有关焦点弦 焦半径的问题 2 已知抛物线y2 4x 过焦点f的弦为ab 且 ab 8 求ab中点m的横坐标xm 已知抛物线y2 6x 过点p 4 1 引一条弦p1p2使它恰好被点p平分 求这条弦所在的直线方程及 p1p2 抛物线的中点弦问题 3 过点q 4 1 的抛物线y2 8x的弦ab恰被点q平分 求ab所在直线方程 求过定点p 0 1 且与抛物线y2 2x只有一个公共点的直
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