北师大版必修四 平面向量 章末复习课 学案.doc

学习目标1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、相反向量、相等向量、两向量的夹角等概念.2.了解平面向量基本定理.3.向量加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接).4.了解向量形式的三角形不等式 a b ab a b 和向量形式的平行四边形定理 2( a 2 b 2) ab 2 ab 2.5.了解实数与向量的乘法(即数乘的意义).6.向量的坐标概念和坐标表示法.7.向量的坐标运算(加、减、实数和向量的乘法、数量积).8.数量积(点乘或内积)的概念 ab a b cos x1x2y1y2，注意区别“实数与向量的乘法，向量与向量的乘法”1向量的运算 设a(x1，y1)，b(x2，y2)向量运算法则(或几何意义)坐标运算向量的线性运算加法ab_减法ab_数乘(1) a a ；(2)当0时，a的方向与a的方向_；当0时，a的方向与a的方向_；当0时，a0a_向量的数量积运算ab a b cos (为a与b的夹角)，规定0a0，数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的射影的积ab_2.两个定理(1)平面向量基本定理定理 如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的_向量a，存在唯一对实数1，2，使a_.基底 把_的向量e1，e2叫作表示这一平面内_向量的一组基底(2)向量共线定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使_3向量的平行与垂直a，b为非零向量，设a(x1，y1)，b(x2，y2)ab有唯一实数使得_x1y2x2y10ab类型一向量的线性运算例1如图所示，在abc中，p是bn上的一点，若m，则实数m的值为_反思与感悟向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题跟踪训练1在abc中，e为线段ac的中点，试问在线段ac上是否存在一点d，使得，若存在，说明d点位置；若不存在，说明理由类型二向量的数量积运算例2已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且 ab a b ( 0)(1)用 表示数量积ab；(2)求ab的最小值，并求出此时a与b的夹角的大小反思与感悟数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题 (1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1y2x2y10，abx1x2y1y20.(2)求向量的夹角和模的问题设a(x1，y1)，则 a .两向量夹角的余弦(0)cos .跟踪训练2已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)(1)若点a，b，c能构成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若abc为直角三角形，且a为直角，求实数m的值类型三向量坐标法在平面几何中的应用例3已知在等腰abc中，bb，cc是两腰上的中线，且bbcc，求顶角a的余弦值的大小反思与感悟把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题这样的解题方法具有普遍性跟踪训练3如图，半径为的扇形aob的圆心角为120，点c在上，且cob30，若，则等于()a. b. c. d21在菱形abcd中，若ac2，则等于()a2 b2c cos a d与菱形的边长有关2设四边形abcd为平行四边形， 6， 4.若点m，n满足3，2，则等于()a20 b15 c9 d63已知向量a(1，)，b(3，m)若向量a，b的夹角为，则实数m等于()a2 b. c0 d4若向量(1，3)， ，0，则 _.5平面向量a(，1)，b，若存在不同时为0的实数 和t，使xa(t23)b，y atb，且xy，试求函数关系式 f(t)1由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题2向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧答案精析知识梳理1三角形平行四边行(x1x2，y1y2) 三角形(x1x2，y1y2)相同相反(x1，y1) 1x2y1y22(1)不共线任一1e12e2不共线所有(2)ba3ba(a0)ab0 1x2y1y20题型探究例1跟踪训练1解假设存在d点，使得.()，所以当点d为ac的三等分点时，.例2解(1)由 ab a b ，得( ab)23(a b)2， 2a22 abb23a26 ab3 2b2，( 23)a28 ab(13 2)b20. a 1， b 1， 238 ab13 20，ab.(2)ab( )由函数的单调性可知，f( )( )在(0,1上是减少的，在1，)上是增加的，当 1时，f( )minf(1)(11)，此时a与b的夹角的余弦值cos ，60.跟踪训练2解(1)若点a，b，c能构成三角形，则这三点不共线，(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)，(3,1)，(m1，m)与不平行，3mm1，解得m，当实数m时满足条件(2)若abc为直角三角形，且a为直角，则，而(3,1)，(2m，1m)，3(2m)(1m)0，解得m.例3解建立如图所示的平面直角坐标系，设a(0，a)，c(c,0)，则b(c,0)，(0，a)，(c，a)，(c,0)，(2c,0)因为bb，cc为ac，ab边上的中线，所以()，同理.因为，所以0，即0，化简得a29c2.又因为cos a，所以顶角a的余弦值为.跟踪训练3a当堂训练1b2.c3.b4.25解由a(，1)，b