北师大版选修11 抛物线的简单性质 学业分层测评.doc

2.2.2 抛物线的简单性质(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1以抛物线y22px(p0)的焦半径|pf|为直径的圆与y轴位置关系为() a相交b相离c相切d不确定【解析】设p(x0，y0)，则以|pf|为直径的圆半径r.又圆心到y轴的距离d，该圆与y轴相切【答案】c2过点m(2,4)与抛物线y28x只有一个公共点的直线共有()a1 b2c3d4【解析】由于m(2,4)在抛物线上，故满足条件的直线共有2条，一条是与x轴平行的线，另一条是过m的切线，如果点m不在抛物线上，则有3条直线【答案】b3设抛物线的顶点在原点，焦点f在y轴上，抛物线上的点(k，2)与f的距离为4，则k的值为()a4 b2c4或4d2或2【解析】由题意知抛物线方程可设为x22py(p0)，则24，p4，x28y，将(k，2)代入得k4.【答案】c4已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a、b两点，若线段ab的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()ax1 bx1cx2dx2【解析】抛物线的焦点f，所以过焦点且斜率为1的直线方程为yx.即xy，将其代入y22px2p2pyp2，所以y22pyp20.所以p2.所以抛物线的方程为y24x，准线方程为x1.【答案】b5已知直线l过抛物线c的焦点，且与c的对称轴垂直，l与c交于a，b两点，|ab|12，p为c的准线上一点，则abp的面积为()a18 b24c36d48【解析】不妨设抛物线的标准方程为y22px(p0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x.代入y22px得yp，即|ab|2p，又|ab|12，故p6，所以抛物线的准线方程为x3，故sabp61236.【答案】c二、填空题6抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为_【解析】过焦点且与对称轴垂直的弦是通径，即2p16，所以抛物线的方程为x216y.【答案】x216y7设抛物线y22px(p0)的焦点为f，点a(0,2)，若线段fa的中点b在抛物线上，则点b到该抛物线准线的距离为_. 【解析】由已知得点b的纵坐标为1，横坐标为，即b将其代入y22px得p，则点b到准线的距离为p.【答案】8对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)则使抛物线方程为y210x的必要条件是_(要求填写合适条件的序号)【解析】由抛物线方程y210x，知它的焦点在x轴上，所以适合又它的焦点坐标为f，原点o(0,0)，设点p(2,1)，可得kpokpf1，也合适而显然不合适，通过计算可知不合题意应填序号为.【答案】三、解答题9如图223所示，过抛物线y22px(p0)的焦点f的直线l交抛物线于点a，b，交其准线于点c，若|bc|2|bf|，且|af|3，求此抛物线的方程图223【解】过a，b分别作准线的垂线aa，bd，垂足为a，d，则|bf|bd|，又2|bf|bc|.在rtbcd中，bcd30，又|af|3，|aa|3，|ac|6，|fc|3.f到准线距离p|fc|，y23x.10已知过抛物线y24x的焦点f的弦长为36，求弦所在的直线的方程【解】过焦点f，垂直于x轴的弦长为436，弦所在直线斜率存在，设弦所在的直线的斜率为k，且与抛物线交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点抛物线y24x的焦点为f(1,0)，设直线方程为yk(x1)由整理得k2x2(2k24)xk20，x1x2.|ab|af|bf|x1x222.又|ab|36，236.k.故所求直线的方程为y(x1)或y(x1)能力提升1过抛物线y22px的焦点f的直线与抛物线交于a、b两点，若a、b在准线上的射影为a1、b1，则a1fb1等于()a45b90c60d120【解析】如图，由抛物线定义知|aa1|af|，|bb1|bf|，所以aa1fafa1，又aa1fa1fo，所以afa1a1fo，同理bfb1b1fo，于是afa1bfb1a1fob1foa1fb1.故a1fb190.【答案】b2若点p在y2x上，点q在(x3)2y21上，则|pq|的最小值为()a.1b1c2d1【解析】设圆(x3)2y21的圆心为q(3,0)，要求|pq|的最小值，只需求|pq|的最小值设p点坐标为(y，y0)，则|pq|.|pq|的最小值为，从而|pq|的最小值为1.【答案】d3(2014湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点f(1,0)的距离和直线x1的距离相等若机器人接触不到过点p(1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是_. 【解析】依题意可知，机器人运行的轨迹方程为y24x.设直线l：yk(x1)，联立消去y，得k2x2(2k24)xk20，由(2k24)24k40，得k21，解得k1或k1.【答案】k|k1或k14如图224，过抛物线y2x上一点a(4,2)作倾斜角互补的两条直线ab，ac交抛物线于b，c两点，求证：直线bc的斜率是定值图224【证明】设kabk(k0)，直线ab，ac的倾斜角互补，kack(k0)，ab的方程是