北师大版选修11 双曲线及其标准方程 学案.doc

3.1双曲线及其标准方程学习目标重点难点1.通过实验能归纳出双曲线的定义，能说清定义的限制条件；2根据定义能推导出双曲线的标准方程；3根据双曲线标准方程能熟练地写出焦点坐标，会用待定系数法求双曲线的标准方程；4能说出椭圆、双曲线及其标准方程之间的联系和区别.1.重点：能准确辨析双曲线定义及其标准方程的特征，能正确利用并解决相关问题；2难点：能熟练推导出双曲线的标准方程，能区分双曲线与其他圆锥曲线的差别1双曲线的定义我们把平面内到两定点f1，f2的距离之_等于常数(_)的点的集合叫作双曲线定点f1，f2叫作双曲线的_，两个焦点之间的距离叫作双曲线的_预习交流1定义中的距离之“差”为什么加“绝对值”，常数为什么要限制“大于0且小于|f1f2|”？2双曲线的标准方程当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为_，其中b2_，焦点坐标为_，_；当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为_，焦点坐标是_，_.预习交流2如何根据方程区分焦点的位置？预习交流3双曲线与椭圆在定义、图像及方程的特征上有何区别与联系？答案：1差的绝对值大于零且小于|f1f2|焦点焦距预习交流1：提示：若去掉“绝对值”，则点的轨迹只是双曲线的一支当常数等于0时，点的集合是线段f1f2的垂直平分线；当常数等于|f1f2|时，点的集合是以f1，f2为端点的射线；当常数大于|f1f2|时，点的集合为空集，即不表示任何曲线2.1(a0，b0)c2a2(c,0)(c,0)1(a0，b0)(0，c)(0，c)预习交流2：提示：可通过标准方程中x2，y2系数的正负来判断焦点所在的坐标轴，即双曲线的焦点在系数为正项对应的坐标轴上预习交流3：提示：椭圆双曲线定义|mf1|mf2|2a(2a|f1f2|)|mf1|mf2|2a(02a|f1f2|)标准方程1或1(a2b2c2，ab0，c0)1或1 (c2a2b2，a0，b0，c0)图像封闭型开放型在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、双曲线定义的应用椭圆1(mn0)与双曲线1(a0，b0)有相同的焦点f1，f2，且p是这两条曲线的一个交点，则|pf1|pf2|等于_思路分析：因为涉及与焦点的距离问题，可以首先考虑利用定义解决1(20112012湖南师大附中期中考试)双曲线y24x264上一点p到它的一个焦点的距离等于1，则p到另一个焦点的距离等于_2过双曲线1的左焦点f1的直线l交双曲线于a，b两点，且a，b两点在y轴的左侧，f2为右焦点，|ab|10，则abf2的周长为_双曲线的定义刻画了两个两点间距离的等价转化关系，灵活应用可以方便解决与焦点有关的双曲线问题二、双曲线标准方程的求法已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点p，q，求该双曲线的方程思路分析：此题仅知双曲线上两点，并不能确定焦点的位置，故需对方程的形式分类讨论，或利用方程的一般式，然后代入点的坐标，求出待定系数与c1：2y29外切，且与c2：2y21内切的动圆圆心m的轨迹方程是_2求与双曲线1共焦点且过点p的双曲线的标准方程求双曲线的标准方程常用定义法和待定系数法，其过程归结为两点：定位(确定焦点的位置)定量(确定参数值)应特别注意：当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，要防止遗漏此时亦可以设方程为一般形式ax2by21(ab0)，避免讨论；明晰变量的取值范围，确定是双曲线的两支，还是一支，并在方程后注明三、双曲线标准方程的特征的应用讨论方程1表示何种圆锥曲线，它们各有何共同特征？思路分析：考查圆锥曲线标准方程的表达式的特征由于k9，k25，则k的取值范围为k9,9k25，k25，应分别进行讨论1已知方程1表示的曲线为c给出以下四个判断：当1t4时，曲线c表示椭圆；当t4或t1时，曲线c表示双曲线；若曲线c表示焦点在x轴上的椭圆，则1t；若曲线c表示焦点在y轴上的双曲线，则t4.其中判断正确的是_(只填正确命题的序号)2曲线1(m6)与曲线1(5n9)的_相等对双曲线的标准方程的特征的把握要从“次数、系数、项数”三点入手，区分它与椭圆的异同在由双曲线的方程求基本量时，首先应将方程化为标准形式，然后准确把握双曲线的焦点和焦距，掌握与方程有关的三个常数a，b，c之间的关系(其结构类似于勾股定理)答案：活动与探究1：ma解析：由椭圆的定义得|pf1|pf2|2，由双曲线的定义得|pf1|pf2|2，由2减去2的差再除以4得|pf1|pf2|ma.迁移与应用：117解析：首先把双曲线方程化为标准形式1，设左、右焦点分别为f1，f2.|pf1|pf2|pf1|1|16，|pf1|17.236解析：a，b两点在双曲线的左支上，|af2|af1|8，|bf2|bf1|8.又|af1|bf1|ab|10，|af2|bf2|161026.abf2的周长为|af2|bf2|ab|261036.活动与探究2：解：法1：(1)当焦点在x轴上时，设双曲线方程为1(a0，b0)，双曲线过点p，q，解得所求双曲线的标准方程为y21.(2)当焦点在y轴上时，设双曲线方程为1(a0，b0)，双曲线过点p，q，解得不合题意，舍去综上所述，双曲线标准方程为y21.法2：设双曲线方程为ax2by21(ab0)，双曲线过点p，q，解得所求双曲线的标准方程为y21.迁移与应用：1(x2)解析：设动圆m的半径为r，m与c1外切，且与c2内切，r3，r1，4，点m的轨迹是以c1，c2为焦点的双曲线的右支，且有：a2，c3，b2c2a25，所求双曲线方程为1(x2)活动与探究3：解：(1)当k9时，25k0,9k0，所给方程表示椭圆，此时a225k，b29k，c2a2b216，这些椭圆有共同的焦点(4,0)，(4,0)(2)当9k25时，25k0,9k0，所给方程表示双曲线，此时a225k，b2k9，c2a2b216，这些双曲线也有共同的焦点(4,0)，(4,0)(3)当k25，k9，k25时，所给方程没有轨迹迁移与应用：1解析：错误，当t时，曲线c表示圆；正确，若c为双曲线，则(4t)(t1)0，t1或t4；正确，若c为焦点在x轴上的椭圆，则4tt10，1t；正确，若曲线c为焦点在y轴上的双曲线，则t4.2焦距解析：曲线1(m6)为椭圆方程，焦点在x轴上，c2(10m)(6m)4；曲线1(5n9)为双曲线方程，焦点在y轴上，c2(9n)(n5)4.1(20112012江西南昌四校联考)已知m(2,0)，n(2,0)，4，则动点p的轨迹是()a双曲线 b双曲线左支c一条射线 d双曲线右支2双曲线1的焦距为()a3 b4 c3 d43若双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则m()a3 b6 c9 d124已知双曲线的焦距为26，则双曲线的标准方程是_5与c1：x221和c2：x224都外切的动圆圆心m的轨迹方程为_答案：1c解析：|pm|pn|mn|4，动点p的轨迹是一条射线2d解析：由双曲线的标准方程，知a210，b22，则c2a2b210212，因此2c4.故选d.3b解析：抛物线的焦点为(3,0)，所以m39，m6.4.1或1解析：由2c26，得c13.又，a225