北师大版选修11 实际问题中导数的意义 学案.doc

2.1实际问题中导数的意义学习目标重点难点1.通过对导数的实际意义的解释，进一步巩固和加强对导数概念的认识与理解；2能从导数角度分析和求解与瞬时速度、边际成本等有关的实际问题；3学会利用建模思想解决实际问题.1.重点：能用导数知识解决实际问题，并解释其实际意义；2难点：导数的实际意义的表达.实际问题中导数的意义：在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量，如在中学物理中，速度是_的导数，线密度是_的导数，功率是_的导数等；再如在经济学中，通常把生产成本关于产量的函数的导函数称为_预习交流炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热如果第x小时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是_答案：路程关于时间质量关于长度功关于时间边际成本预习交流：1解析：原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以当x1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、导数的物理意义已知一物体做自由落体运动，下落高度的表达式sgt2，其中g为重力加速度，g9.8 m/s2(s的单位：m)(1)求t从3 s到3.1 s,3.01 s,3.001 s,3.000 1 s各段内的平均速度；(2)求t3 s，t5 s时的瞬时速度，并解释它们的实际意义思路分析：平均速度是高度与时间的改变量的比值，而瞬时速度是函数的导数值1若某段导体通过的电量q(单位：c)与时间t(单位：s)的函数关系为qf(t)t2t80，t0,30，则f(15)_，它的实际意义是_2将1 kg铁从0 加热到t 需要的热量q(单位：j)满足q(t)0.000 297t20.440 9t.(1)当t从10变到20时函数值q关于t的平均变化率是多少？它的实际意义是什么？(2)求q(100)，并解释它的实际意义解决此类问题要明确导数的物理背景，知道导数可以描述任何事物的瞬时变化率，从而结合实际问题说明导数的物理意义二、导数的实际意义假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下的函数关系：p(t)p0(15%)t，其中p0为t0时的物价假定某种商品的p01，(1)当t从0变到10时，商品价格p关于时间t的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(2)求p(10)(精确到0.01)，并解释它的实际意义(提示：1.05101.629，ln 1.050.049)思路分析：利用平均变化率公式及导数公式和法则分别求解氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体如果最初有500克氡气，那么t天后，氡气的剩余量为a(t)5000.834t.(1)氡气的散发速度是多少？(2)a(7)的值是什么(精确到0.1)？它表示什么实际意义？(提示：0.83470.281，ln 0.8340.181 5)用导数解释实际问题时，要找准其刻画对象、切准其描述方式、算准其变化大小，用合理的语言加以解释答案：活动与探究1：解：(1)当t在区间3,3.1上时，t3.130.1(s)，ss(3.1)s(3)g3.12g322.989(m)129.89(m/s)同理，当t在区间3,3.01上时，229.449(m/s)，当t在区间3,3.001上时，329.404 9(m/s)，当t在区间3,3.000 1上时，429.400 49(m/s)(2)s(t)gt，s(3)29.4，s(5)49.s(3)29.4就是说t3 s这个时刻物体的瞬时速度约为29.4 m/s，s(5)49就是说t5 s这个时刻物体的速度约为49 m/s.迁移与应用：1. c/st15 s时的电流强度为 c/s解析：qf(t)t1，令t15，则f(15)(c/s)，这表示t15 s时的电流强度，即单位时间内通过的电量2解：(1)当t从10变到20时，函数值q关于t的平均变化率为0.449 81，它表示在铁块的温度从10 增加到20 的过程中，平均每增加1 ，需要吸收热量0.449 81 j.(2)q(t)0.000 594t0.440 9，则q(100)0.500 3，它表示在铁块的温度为100 这一时刻每增加1 ，需要吸收热量0.500 3 j.活动与探究2：解：(1)平均变化率是0.06(元/年)，它表示在时间增加到第10年的过程中，每过1年，商品价格平均约增加0.06元(2)首先求p(t)，利用导数公式表和导数的运算法则可知：p(t)1.05tln 1.05，所以p(10)1.0510ln 1.050.08(元/年)，这表示，在第10年，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨迁移与应用：解：(1)氡气的散发速度为a(t)500ln 0.8340.834t.(2)a(7)500ln 0.8340.834725.5，它表示氡气在第7天时，以大约25.5克/天的速率减少1已知函数yf(x)，xr，则f(x0)表示()a自变量xx0时对应的函数值b函数y在xx0时的瞬时变化率c函数y在xx0时的平均变化率d无意义2某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是yf(x)，假设f(x)0恒成立，且f(10)10，f(20)1，则这些数据说明第20天与第10天比较()a公司已经亏损b公司的盈利在增加，且增加的幅度变大c公司在亏损且亏损幅度变小d公司的盈利在增加，但增加的幅度变小3某人拉动一个物体前进，他所做的功w是时间t的函数，即ww(t)，则w(t0)表示()att0时做的功btt0时的速度ctt0时的位移dtt0时的功率4一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s3t2t，则速度v10时的时刻t_.5向高为8 m，底面边长为8 m的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟 m3，则当水深为5 m时，水面上升的速度为_答案：1b2d解析：导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的3d解析：w(t)表示t时刻的功率4.解析：s6t1，则v(t)6t1，