2010-10-16《圆》复习.doc

2010-10-16圆复习重点：垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论；切线的判定定理、性质定理、切线长定理.（一）圆的有关性质知识要点梳理1圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.2判定一个点P是否在O上. 设O的半径为，OP=，则有点P在O 外；点P在O 上；点P在O 内.3判定几个点在同一个圆上的方法：当时，在O 上.4与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.5圆的性质： (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是 中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. 平行弦夹的弧相等.6三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三 角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三 角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.注意：三角形的内心、重心都在三角形的内部.钝角三角形垂心、外心在三角形外部。直角三角形垂心、外心在三角形的边上。（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。）锐角三角形垂心、外心在三角形内部。7切线的判定、性质： (1)切线的判定： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径. 经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. 经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.8圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.9直线和圆的位置关系： 设O 半径为，点O到直线的距离为.(1)直线和O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和O有唯一公共点直线和O相切.(3)直线和O有两个公共点直线和O相交.10圆和圆的位置关系： 设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部 外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.11两圆的性质： (1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.12圆中有关计算： 圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为的弧长.圆心角为，半径为，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.13. 圆与正多边形顺次连接圆上的n等分点得到的多边形是正n边形.(1)一个正多边形的各个顶点都在圆上，这个圆是这个正多边形的外接圆；把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.(2)圆内接四边形的对角互补.(3)圆内接正n边形都是轴对称图形，有n条对称轴.圆内接正2n边形是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心，即外接圆的圆心.(4)任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，它们是同心圆.(5)常见圆的内接正多边形半径与正多边形边心距的关系： 设正n边形的半径为r，边心距为d. 圆内接正三角形中，r=2d或d=r； 圆内接正四边形中，r=d或d=r； 圆内接正六边形中，d=r.例题分析 例3. 已知：如图3，ABC内接于O且ABAC，O的半径等于6cm，O点到BC的距离OD等于2cm，求AB的长。析：因为不知道A是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论。略解：（1）假若A是锐角，ABC是锐角三角形。如图3，由ABAC，可知点A是优弧的中点，因为ODBC且ABAC，根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A，连结BO BO6，OD2 在RtADB中，ADDOAO628 图3 图31（2）若A是钝角，则ABC是钝角三角形，如图31添加辅助线及求出，在RtADB中，ADAODO624AB综上所述AB小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。 例4. 已知：如图4，AB是O的直径，弦CDAB，F是CD延长线上一点，AF交O于E。求证：AEEFECED图4分析：求证的等积式AEEFECED中，有两条线段EF、ED在EDF中，另两条线段AE、EC没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线AC，设法证明FEDCEA即可。证明：连结AC 四边形DEAC内接于圆 FDECAE，FEDDCA 直径ABCD， DCACEA，FEDCEA FEDCEA ，AEEFECED小结：四边形内接于圆这一条件，常常不是在已知条件中明确给出的，而是隐含在图形之中，在分析已知条件时，千万不要忽略这一重要条件。例5. 已知：如图5，AM是O的直径，过O上一点B作BNAM，垂足为N，其延长线交O于点C，弦CD交AM于点E。图5（1）如果CDAB，求证：ENNM；（2）如果弦CD交AB于点F，且CDAB，求证CE2EFED；（3）如果弦CD绕点C旋转，并且与AB的延长线交于点F，且CDAB，那么（2）的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。证明：（1）连结BM（如图51）图51 AM是直径，ABM90 CDAB，BMCD ECNMBN，又AMBC，CNBN RtCENRtBMN，ENNM （2）连结BD，BE，AC（如图52）图52 点E是BC垂直平分线AM上一点，BEEC CDAB， ACDBDC，又ABAC，AEAE ABEACE，ABEACDBDC BED是公共角，BEDFEB BE2EFED，CE2EFED （3）结论成立。如图53图53 证明：仿（2）可证ABEACE BECE，且ABEACE 又ABCD， ACBDBC，BDAC BDEACE180 而FBEABE180 BDEFBE，而BED是公共角 BEDFEB BE2EFED，CE2EFED（二）直线与圆的关系 1. 直线与圆的位置关系直线和圆的位置相离相切相交公共点的个数012公共点名称无切点交点直线名称无切线割线圆心到直线的距离d与半径r的关系 2. 切线的判定 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 3. 切线的性质 （1）圆的切线垂直于经过切点的半径； （2）推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； （3）推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 此定理及推论可理解为以下三个条件中任知其中两个就可推出第三个：垂直于切线；经过切点；经过圆心。 4. 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 5. 弦切角定理（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 6. 和圆有关的比例线段（1）相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；（2）推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；（3）切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（4）推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 7. 三角形的内切圆（1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；（2）作图：作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切。例题分析 例6. 已知：如图6，AB是O的直径，C是AB延长线上一点，CG切O于D，DEAB于E。图6求证：CDBEDB。分析：由AB是O的直径，联想到直径的三个性质：图61 图62图63（1）直径上的圆周角是直角。若连结AD，则得RtABD；（2）垂径定理。如图62，若延长DE交O于F，则可得DEEF，；（3）过直径外端的切线与直径垂直。如图63，若过B点作O的切线BM，则ABBM。 由CD是O的切线，联想到切线的三个性质：（1）过切点的半径垂直于切线。如图61，若连结OD，则ODCD；（2）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。若连结AD，则CDBA；（3）切割线定理。如图6，CD2CBCA。由DEAB于E，联想到以下一些性质：（1）RtDEB中两锐角互余，即EDBEBD90；（2）垂径定理。如图62，只要延长DE交O于F，则可得到相等的线段，相等的弧；（3）构造与射影定理相关的基本图形。即连结AD，则可得到ADB是直角三角形，DE是斜边上的高，又可得到两对相等的锐角，三个相似的三角形，还可运用射影定理、勾股定理、面积公式等。证明：连结AD，如图6，AB是直径，ADB90。 DEAB，EDBA CD是O的切线，CDBA，CDBEDB此例题还有许多证法，比如连结OD，如图61，利用切线的定义；又比如延长DE交O于F，连结BF，如图62，利用垂径定理；还可以过点B作O的切线交CD于点M，如图63，利用切线长定理，等等，这诸多证法，读者不妨试证之。小结：此例题证明CDBEDB，即证明BD是CDE的平分线，由此证明可以联想到AD也是GDE的平分线。 另外，通过对此例题的分析和证明可知，图64中隐含着很多图形的性质，如相等的锐角、相等的线段、相等的弧及相似三角形等等，为此可将图64分解成三个基本图形。如图65，以利于进一步理解线段之间的比例关系。图64图65 例8. 已知：如图8，在RtABC中，B90，A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DEDC，以D为圆心，DB长为半径作D。图8求证：（1）AC是D的切线； （2）ABEBAC分析：（1）欲证AC与D相切，只要证圆心D到AC的距离等于D的半径BD。因此要作DFAC于F（2）只要证ACAFFCABEB，证明的关键是证BEFC，这又转化为证EBDCFD。 证明：（1）如图8，过D作DFAC，F为垂足 AD是BAC的平分线，DBAB，DBDF 点D到AC的距离等于圆D的半径 AC是D的切线 （2）ABBD，D的半径等于BD， AB是D的切线，ABAF 在RtBED和RtFCD中，EDCD，BDFD BEDFCD，BEFC ABBEAFFCAC小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。此例题属于后一类（三）圆和圆的位置关系知识归纳 1. 基本概念 （1）两圆外离、外切、相交、内切、内含的定义。 （2）两圆的公切线、外公切线、内公切线、公切线长的定义。 （3）两圆的连心线、圆心距、公共弦。 2. 圆和圆的位置关系两圆的位置圆心距d与两圆的半径R、r的关系外公切线条数内公切线条数公切线条数外离224外切213相交202内切101内含000 3. 相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 4. 相切两圆的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。 5. 两条内公切线长相等，两条外公切线长相等。两圆的内公切线的交点在连心线上，两圆的外公切线的交点在连心线上。例题分析例13. 已知：如图12，两圆相交于A、B，过点A的直线交两圆于C、D，过点B的直线交两圆于E、F。图12求证：CEFD。分析：要证CEFD，可通过角的关系证平行，即只要证EBFD或证ECDD180，若证EBFD，只需将BFD转化成与O1有关的圆周角，或圆内接四边形的外角，只要连结AB即可；若要证ECDD180，也需连结AB，得EBAD，EBAECD180，则也可得证。 证明一：（用同位角证）连结AB 四边形EBAC内接于O1，BADE 又BFDBAD，BFDE CEFD 证明二：（用同旁内角证）连结AB 四边形EBAC内接于O1， CB180，又BD， CD180，ECFD 小结：两圆相交时，常添的辅助线是作两圆的公共弦。（四）正多边形和圆知识归纳1. 基本概念正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角以及平面镶嵌等。2. 正多边形的判定与性质（1）把圆分成等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。（2）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。3. 正多边形的有关计算 正n边形的半径和边心距