北师大版选修21 夹角的计算 作业1.doc

同步测控我夯基.我达标1.在长方体abcda1b1c1d1中,m,n分别是棱bb1,b1c1的中点,若cmn=90,则异面直线ad1与dm的夹角为( )a.30 b.45 c.60 d.90解析:连接dm,bc1,则mc为dm在平面b1c内的投影.所以mnbc1ad1.又因为cmmn,所以dmmn.所以dmad1,即ad1与dm的夹角为90.答案:d2.如图,在棱长都相等的四面体abcd中,e,f分别为棱ad,bc的中点,连结af,ce,则直线af与ce所成的角的余弦值为( )a. b. c. d.解析:设该四面体的棱长为1,则=1.所以= (1-+2-)=.所以cos=.答案:a3.如图,在正四面体abcd中,e为棱ad的中点,则ce与平面bcd的夹角为( )a.30 b.arcsin c.60 d.arccos解析:以bcd的中心o为原点,建立空间直角坐标系,设正四面体棱长为1,则c(,0,0),a(0,0,),d(,0).所以e(,).所以=(,).平面bcd的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos,n=.所以,n=arccos.所以直线ce与平面bcd的夹角为-arccos,即arcsin.答案:b4.如图,在四棱锥pabcd中,pd底面abcd,abcd为正方形,且pd=ab=1,g为abc的重心,则pg与底面的夹角为( )a. b.arccos c.arctan d.arcsin解析:如图,建立空间直角坐标系,则p(0,0,1),a(1,0,0),b(1,1,0),c(0,1,0).所以g(,0),=(,-1).又平面abcd的一个法向量为n=(0,0,1),则cos,n=,所以pg与平面abcd的法向量n夹角的余弦值为.所以pg与平面abcd的夹角的余弦值为.答案:b5.pa,pb,pc是从p引出的三条射线,每两条的夹角都是,则直线pc与平面pab的夹角的余弦值是 ( )a. b. c. d.解析:设所求夹角为,则coscos30=cos60,所以cos=.答案:c6.在正三棱柱abca1b1c1中,若ab=bb1,则ab1与c1b的夹角的大小为( )a.60 b.90 c.105 d.75解析:取ac的中点为o,建立如图所示的空间直角坐标系oxyz.设ab=a,则b(a,0,0),c1(0,a),a(0,0),b1(a,0,a).所以cos=0.所以ab1与c1b的夹角为90.答案:b7.已知四边形abcd为直角梯形,sa垂直平面abcd.sa=ab=bc=1,ad=.求平面sab与scd的夹角的正切值.解析:本题可用多种方法求解.一种解法是,构造两个平面sab和scd的交线和二面角,构造交线要找两个交点,已知一个点s,还要找另一个点,依题的条件另一交点是ba和cd的交点,交线找到.下一步要构造二面角,找出要求的二面角的平面角问题就解决了.下面我们用向量法求解.上面介绍的方法,请同学自己完成,并总结各种解法的特点,从而培养我们能从不同的角度去解决立体几何问题.证明:令=i,=j、=k,以a为坐标原点建立空间直角坐标系axyz，则i,j,k为单位正交基底,于是可得i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1),则d=(,0,0),s(0,0,1),c(1,1,0),由此可得=(,0,-1),=(1,1,-1).设平面scd的法向量为n=(x,y,z),则n=0,n=0.换用坐标表示,得(x,y,z)(,0,-1)=0,(x,y,z)(1,1,-1)=0,即把z作为已知数,解此方程组,得x=2z,y=-z.令z=1,得n=(2,-1,1).所以cosi,n=.设平面sab与scd的夹角为,则tan=.8.如图,已知在三棱锥dabc中,da面abc,且ab=bc=ad=1,abc=90,求二面角acdb的大小.解析:用向量法和向量坐标法解答本题.解:以b为原点,bc,ba所在的直线分别为x,y轴,过b平行于ad的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则b(0,0,0),a(0,1,0),c(1,0,0),d(0,1,1).作aecd,bfcd,e,f为垂足,ad=1,ac=,dc=,由射影定理,得de=,cf=,则e(,),f(, ,),ae=(,-,),bf=(, ,),=.又,cos=,即二面角acdb的大小为60.我综合 我发展9.如图,在四棱锥vabcd中,底面abcd是正方形,侧面vad是正三角形,平面vad底面abcd.(1)证明ab平面vad;(2)求面vad与面vdb所成的二面角的大小.解析:用立体几何中线面垂直,面面垂直,二面角等知识求解与证明,另外,也可用向量法求解与证明.答案:(1)证明: (2)解:如图,取vd的中点e,连结ae,be.因为vad是正三角形,所以aevd,ae=ad.因为ab平面vad,所以abae.又由三垂线定理,知bevd.所以aeb是所求二面角的平面角.于是tanaeb=,所以所求二面角的大小为arctan.10.如图，在直三棱柱abca1b1c1中，acb90，ac1，cb，侧棱aa11，侧面aa1b1b的两条对角线交于点d，b1c1的中点为m,(1)求证:cd平面bdm；(2)求面b1bd与面cbd所成的二面角的大小.解析:求二面角的大小,传统的常规方法是利用“一作，二证，三计算”的方法，作与证都较难.用向量法求二面角的大小可大大降低思维难度,把抽象的空间想象全部转化为代数的运算.解:如图,以c为原点建立坐标系.(1)c(0,0,0),b(,0,0),b1(,1,0),a1(0,1,1),d(,),m(,1,0),=(,),=(2,-1,-1),=(0, ,-),则=0,=0,所以cda1b,cddm.因为a1b、dm为平面bdm内两条相交直线，所以cd平面bdm.(2)设bd中点为g，连结b1g，则g(,),=(,),=(,),所以=0.所以bdb1g.又cdbd，所以与的夹角等于所求二面角的平面角,即cos=.所以所求二面角的大小等于-arccos.11.如图，在直四棱柱abcda1b1c1d1中，abad2，dc2，aa1，addc，acbd，垂足为e.(1)求证：bda1c;(2)求二面角a1bdc1的大小;(3)求异面直线ad与bc1所成角的大小.解析:用常规法,向量坐标法求线与面的夹角和二面角的大小.答案:(1)证明：在直四棱柱abcda1b1c1d1中,因为a1a底面abcd,所以ac是a1c在平面abcd上的射影.因为bdac,所以bda1c.(2)解：如图,连结a1e,c1e,a1c1.与(1)同理可证bda1e,bdc1e,所以a1ec1为二面角a1bdc1的平面角.因为addc,所以a1d1c1=adc=90.又a1d1=ad=2,d1c1=dc=2,aa1=,且acbd,所以a1c1=4,ae=1,ec=3.所以a1e=2,c1e=2.在a1ec1中,a1c12=a1e2+c1e2,所以a1ec1=90,即二面角a1bdc1的大小为90.(3)解：过b作bfad交ac于f,连结fc1,则c1bf就是ad与bc1所成的角.因为ab=ad=2,bdac,ae=1,所以bf=2,ef=1,fc=2,bc=dc.所以fc1=,bc1=.在bfc1中,cosc1bf=,所以c1bf=arccos,即异面直线ad与bc1所成角的大小为arccos.12.如图,在五棱锥sabcde中,sa底面abcde,sa=ab=ae=2,bc=de=3,bae=bcd=cde=120.(1)求异面直线cd与sb所成的角(用反三角函数值表示);(2)证明bc平面sab;(3)用反三角函数值表示二面角bscd的大小(本小问不必写出解答过程).解析:本题主要考查了异面直线的夹角,平面与平面的夹角和线面位置关系的判定等知识,可用常规方法和向量法两种方法解决.答案:(1)解:如图,连接be,延长bc,ed交于点f,则dcf=cdf=60.所以cdf为正三角形.所以cf=df.又因为bc=de,所以bf=ef.所以bfe为正三角形.所以fbefcd60.所以becd.所以sbe(或其补角)就是异面直线cd与sb所成的角.因为sa底面abcde,且sa=ab=ae=2,所以sb=2.同理,se=2.又因为bae=120,所以be=2.从而cossbe=,所以sbe=arccos.所以异面直线cd与sb所成的角为arccos.(2)证明：由题意,abe是等腰三角形,bae=120,所以abe=30.又fbe=60,所以abc=90.所以bcba.因为sa底面abcde,bc底面abcde,所以sabc.又saba=a,所以bc平面sab.(3)解：二面角bscd的大小为-arccos.13.如图,在三棱锥pabc中,abbc,ab=bc=kpa,点o,d分别是ac,pc的中点,op底面abc.(1)求证：od平面pab;(2)当k=时,求直线pa与平面pbc所成角的大小;(3)当k取何值时,o在平面pbc内的射影恰好为pbc的重心?解析:用空间线面关系,空间角及空间向量的知识解答本题.证明:(1)因为o,d分别为ac,pc的中点,所以odpa.又pa平面pab,所以od平面pab.(2)因为abbc,oa=oc,所以oa=ob=oc.又因为op平面abc,所以pa=pb=pc.如图,取bc中点e,连结pe,则bc平面poe.作ofpe于f,连结df,则of平面pbc,所以odf是od与平面pbc所成的角.又odpa,所以pa与平面pbc所成角的大小等于odf.在rtodf中,sinodf=,所以pa与平面pbc所成的角为arcsin.(3)由(2)知of平面pbc,所以f是o在平面pbc内的射影.因为d是pc的中点,若点f是pbc的重心,则b,f,d三点共线.所以直线ob在平面pbc内的射影为bd.因为obpc,所以pcbd.所以pb=bc,即k=1.反之,当k=1时,三棱锥opbc为正三棱锥,所以o在平面pbc内的射影为pbc的重心.我创新 我超越14.如图,在直二面角dabe中,四边形abcd是边长为2的正方形,ae=eb,f为ce上的点,且bf平面ace.(1)求证:ae平面bce;(2)求二面角bace的大小;(3)求点d到平面ace的距离.解析:分别用常规法和向量法解答本题.答案:(1)证明：因为bf平面ace,所以bfae.因为二面角dabe为直二面角,且cbab,所以cb平面abe.所以cbae.所以ae平面bce.(2)解：如图,连结bd交ac于g,连结fg.因为正方形abcd边长为2,所以bgac,bg=.因为bf平面ace,由三垂线定理的逆定理得fgac.所以bgf是二面角bace的平面角.由(1)ae平面bce,所以aeeb.又因为ae=eb,所以在等腰rtaeb中,be=.又因为rtbce中,ec=,bf=,所以在rtbfg中,sinbgf=.所以二面角bace的平面角等于arcsin.(3)解：如图,过e作eoab,交ab于o,oe=1.因为二面角dabe为直二面角,所以eo平面abcd.设d到平面ace的距离为h,因为vdace=veacd,所以saceh=sacdeo.因为ae平面bce,aeec.所以h=所以点d到平面ace的距离为.15.如图,在四棱锥sabcd中,dab=abc=90,侧棱sa底面abcd,sa=ab=bc=a,ad=2a.(1)求证:平面sac平面scd;(2)求二面角asdc的大小;(3)求异面直线sd与ac所成的角;(4)设e为bd的中点,求se与平面sac所成的角.解析:建立空间直角坐标系,用向量坐标运算求解.答案:(1)证明:如图所示,以a为原点,ab,ad,as所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则a(0,0,0),s(0,0,a),c(a,a,0),d(0,2a,0),b(a,0,0).所以=(0,0,a),=(-a,-a,a),=(-a,a,0).所以=0, =0.所以,.又ascs=s,所以平面sca.因为平面scd,所以平面sac