北师大版选修22 第一章3　反证法 学案.doc

3反证法学习目标重点难点1.结合已经学习过的实例，理解反证法的推理过程2能说出反证法的证明步骤3会用反证法证明有关命题.重点：反证法的逻辑思维过程及逻辑思维方法难点：反证法的应用.1反证法的定义(1)先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与_相矛盾，或与命题中的_相矛盾，或与_相矛盾，从而说明命题的结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作_(2)反证法是一种_证明的方法2反证法的证明步骤(1)作出_的假设；(2)进行推理，导出_；(3)否定_，肯定_预习交流议一议：反证法主要适用于哪些情形？答案：预习导引1(1)定义、公理、定理已知条件假定反证法(2)间接2(1)否定结论(2)矛盾假设结论预习交流：提示：反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形分类讨论，而反面只有一种或很少的几种情形在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、用反证法证明否定性命题求证：当x2bxc20有两个不相等的非零实数根时，bc0.思路分析：bc0的否定形式为bc0，包括(1)b0，c0；(2)b0，c0；(3)b0，c0三种情形，要注意分类讨论假设a，b，c，dr，且adbc1，求证：a2b2c2d2abcd1.用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面用作条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等等，推导出的矛盾必须是明显的二、用反证法证明“至少”“至多”问题若a，b，c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x，求证：a，b，c中至少有一个大于0.思路分析：如果直接从条件推证，方向不明，过程不可推测，较难，可以采用反证法若下列方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围当一个命题的结论是以“最多”“最少”“唯一”等形式或以否定形式出现时，宜用反证法注意“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式分别为“一个也没有”“至少有两个”“不都是”三、用反证法证明几何问题证明在抛物线上任取不同的四点所组成的四边形不可能是平行四边形思路分析：本题直接从条件出发，证明过程复杂，运算量较大我们可采用反证法，设而不求，推出矛盾平面上有四个点，任意三点都不共线，证明其中以任意三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形反证法是间接证明的一种方法掌握这种证法的思想方法以及书写格式，能搞清哪些类型的题目适合用反证法，能正确理解反证法的思想与证原命题的逆否命题的方法的统一性，反证法是一种逆向思维的推理方式，注意要把原命题结论的反面的每一种情形都要推出矛盾答案：活动与探究1：证明：假设bc0.(1)若b0，c0，方程变为x20，则x1x20是方程x2bxc20的两根，这与方程有两个不相等的非零实数根矛盾(2)若b0，c0，方程变为x2c20，但c0，此时方程无解，与x2bxc20有两个不相等的非零实根相矛盾(3)若b0，c0，方程变为x2bx0，方程根为x10，x2b，这与方程有两个不相等的非零实数根相矛盾综上所述，可知bc0.迁移与应用：证明：假设a2b2c2d2abcd1.adbc1，a2b2c2d2abcdadbc，a2b2c2d2abcdadbc0，2(a2b2c2d2)2(abcdadbc)0，(ab)2(cd)2(bc)2(ad)20，即ab0，cd0，bc0，ad0，abcd0，adbc0与已知adbc1矛盾从而假设不成立，原命题成立，即a2b2c2d2abcd1成立活动与探究2：证明：假设a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0，abc0.而abc(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)230，这与abc0相矛盾，假设不成立，原命题结论成立，故a，b，c中至少有一个大于0.迁移与应用：解：假设三个方程均无实根，则有解得a1，因此当a或a1时，三个方程至少有一个方程有实数根活动与探究3：证明：设抛物线方程为y22px(p0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，d(x4，y4)是抛物线上不同的四点，且四边形abcd为平行四边形由此可得得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，kab.同理，kbc，kcd，kda.四边形abcd是平行四边形，kabkcd，kbckda，即，.y1y3，y2y4，进而得x1x3，x2x4.于是a，c重合，b，d重合这与a，b，c，d是抛物线上不同的四点矛盾故四边形abcd不可能是平行四边形迁移与应用：证明：假设其中以任意三点为顶点的三角形都是锐角三角形记这四个点为a，b，c，d.分点d在abc内和在abc外两种情况(1)如果点d在abc内(如图)，根据假设围绕点d的三个角都是锐角，其和小于270，这与一个周角等于360矛盾(2)如果点d在abc外(如图)，根据bad，b，bcd，d都小于90，badbbcdd360与四边形的内角和等于360矛盾综上所述，假设不成立，而题目中的结论成立1命题“abc中，若ab，则ab”，如果用反证法证明，应假设()aab bab cab dab2用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中是结论的否定的是()a假设a，b，c都是偶数b假设a，b，c都不是偶数c假设a，b，c至多有一个是偶数d假设a，b，c至多有两个是偶数3设a，b，cr，则3个数a，b，c中()a都大于2 b都小于2c至少有一个不大于2 d至少有一个不小于24用反证法证明命题“在平面上有n(n3)个点，其中任意两点距离最大为d，距离为d的两点间的线段称为这组点的直径，则直径的数目至多为n条”时，假设的内容为_5已知p3q32，求证：pq2.答案：1b解析：“大于”的否定是“不大于”即“小于或等于”2b解析：“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为“a，b，c都不是偶数”3d解析：abc2226.当且仅当abc1时等号成立，因此a，b，c中至少有一个不小于2.4直径的数目