北师大版选修44 2.1参数方程的概念 学案.doc

【综合评价】参数方程是以参变量为中介来表示曲线上的点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于学生进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力【学习目标】1.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义.并掌握参数方程的概念.2.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.3.举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，更能感受参数方程的优越性.4.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.5.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例(例如，最速降线是平摆线，椭圆是特殊的内摆线卡丹转盘，圆摆线齿轮与渐开线齿轮，收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计，星形线与公共汽车门)；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.【学习计划】内容学习重点建议学习时间参数方程的概念参数方程的概念1课时直线和圆锥曲线的参数方程直线的参数，圆的参数方程，椭圆的参数方程，双曲线的参数方程5课时参数方程化成普通方程参数方程和普通方程的互化2课时平摆线和渐开线平摆线、渐开线2课时1参数方程的概念1.参数方程的概念(1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数并且对于t取的每一个允许值，由方程组所确定的点p(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数.相对于参数方程，我们把直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)0叫作曲线的普通方程.(2)在参数方程中，应明确参数t的取值范围.对于参数方程xf(t)，yg(t)来说，如果t的取值范围不同，它们表示的曲线可能是不相同的.如果不明确写出其取值范围，那么参数的取值范围就理解为xf(t)和yg(t)这两个函数的自然定义域的交集.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.【思维导图】【知能要点】1.参数方程的概念.2.求曲线的参数方程.3.参数方程和普通方程的互化.题型一参数方程及其求法1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值.2.求曲线参数方程的主要步骤：第一步，画出轨迹草图，设m(x，y)是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数惟一确定.第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.【例1】 设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为 rad/s.试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程.解如图所示，运动开始时质点位于点a处，此时t0，设动点m(x，y)对应时刻t，由图可知又t (t的单位：s)，故参数方程为【反思感悟】 以时间t为参数，在图形中分别寻求动点m的坐标和t的关系.1.已知定直线l和线外一定点o，q为直线l上一动点，oqp为正三角形(按逆时针方向转，如图所示)，求点p的轨迹方程.解以o点为原点，过点o且与l垂直的直线为x轴，过点o与l平行的直线为y轴建立直角坐标系.设点o到直线l的距离为d(为定值，且d0)，取xoq为参数，设动点p(x，y).在rtoqn中，|oq|，|op|oq|，xop，x|op|coscosd，y|op|sinsind.点p的参数方程为.题型二参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，消去参数方程中的参数即可，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型.由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点m的坐标x，y和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.【例2】 已知某条曲线c的参数方程为(其中t是参数，ar)，点m(5，4)在该曲线上.(1)求常数a；(2)求曲线c的普通方程.分析本题主要应根据曲线与方程之间的关系，可知点m(5，4)在该曲线上，则点m的坐标应适合曲线c的方程，从而可求得其中的待定系数，进而消去参数得到其普通方程.解(1)由题意可知有故a1.(2)由已知及(1)可得，曲线c的方程为由第一个方程得t代入第二个方程，得y，即(x1)24y为所求.【反思感悟】 参数方程化为普通方程时，求参数的表达式应从简单的有唯一结论的式子入手，易于代入消参.2.把下列参数方程化为普通方程.解由已知得由三角恒等式sin2cos21，可知(x3)2(y2)21这就是所求的普通方程.【例3】 选取适当的参数，把普通方程1化为参数方程.解设x4cos ，代入椭圆方程，得1.y29(1cos2)9sin2，即y3sin .由参数的任意性可知y3sin .故所求参数方程为(为参数).【反思感悟】 选取的参数不同，所得曲线的参数方程不同，注意普通方程和参数方程的等价性.3.选取适当参数，把直线方程y2x3化为参数方程.解选tx，则y2t3，由此得直线的参数方程(tr).也可选tx1，则y2t1，参数方程为1.已知曲线c的参数方程是：(t为参数).(1)判断点m1(0，1)，m2(5，4)与曲线c的位置关系；(2)已知点m3(6，a)在曲线c上，求a的值.解(1)把点m1的坐标(0，1)代入方程组，得：解得：t0.点m1在曲线c上.同理，可知点m2不在曲线c上.(2)点m3(6，a)在曲线c上，解得：t2，a9.a9.2.将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型.(1)(为参数，a、b为常数，且ab0)；(2) (为参数，a、b为正常数)；(3)(t为参数，p为正常数).解(1)由cos2sin21，得1 (ab0)，它表示的曲线是椭圆.(2)由已知，tan ，由1tan2，有1，它表示的曲线是双曲线.(3)由已知t，代入x2pt2得2px，即y22px它表示的曲线是抛物线.3.两曲线的参数方程为 (为参数)和(t为参数)，求它们的交点坐标.解将两曲线的参数方程化为普通方程，得1，yx (x0).联立解得它们的交点坐标为.4.abc是圆x2y2r2的内接三角形，已知a(r，0)为定点，bac60，求abc的重心g的轨迹方程.解因为bac60，所以boc120，于是可设b(rcos ，rsin )，c(rcos(120)，rsin(120)，重心坐标为(x，y)，则消去得(3xr)2(3y)2r2，所以abc重心g的轨迹方程为y2 (0x).p28思考交流把引例中求出的铅球运动轨迹的参数方程消去参数t后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用.答其中v0、，h和g都是常数.这里的g是重力加速度.h是运动员出手时铅球的高度.消去参数t整理得：yx2xtan xh.参数方程的作用：当参数t每取一个允许值，就可以相应地确定一个x值和一个y值.这样铅球的位置就相应的确定了.这样建立的t与x，y之间的关系不仅方便，而且清晰地反映了变数的实际意义.如xv0tcos 反映了铅球飞行的水平距离.yhv0tsin gt2反映了铅球的高度与飞行时间的关系.总之它是物理学中弹道曲线的方程.【规律方法总结】1.求轨迹的参数方程，可以通过对具体问题的分析，选择恰当的参数，建立参数方程.2.曲线的参数方程和普通方程可以互化，两种方程具有等价性.3.曲线上点的坐标如果需要单独表示，使用参数方程比较方便.一、选择题1.下列各点在方程(是参数)所表示曲线上的点是()a.(2，7) b. c. d.(1，0)解析由已知可得将选项代入上式即可.x时，y.故应选c.答案c2.将参数方程(为参数)化为普通方程为()a.yx2 b.yx2c.yx2 (2x3) d.yx2 (0y1)解析将参数方程中的消去，得yx2.又x2，3，故选c.答案c3.曲线(x1)2y24上的点可以表示为()a.(1cos ，sin ) b.(1sin ，cos )c.(12cos ，2sin ) d.(12cos ，2sin )解析可设曲线x的点可表示为(12cos ，2sin ).答案d4.直线l的参数方程为(t为参数)，l上的点p1对应的参数是t1，则点p1与p(a，b)之间的距离为()a.|t1| b.2|t1| c.|t1| d.|t1|解析点p1对应的点的坐标为(at1，bt1)，|pp1|t1|.答案c5.参数方程表示的曲线是()a.双曲线x2y21b.双曲线x2y21的右支c.双曲线x2y21，但x0，y0d.以上结论都不对解析平方相减得x2y21，但x，y1.答案d二、填空题6.已知曲线(为参数，02).下列各点a(1，3)，b(2，2)，c(3，5)，其中在曲线上的点是_.解析曲线方程可化为x2y50，将a，b，c三点坐标代入曲线的参数方程可知只有a符合.答案a7.物体从高处以初速度v0(m/s)沿水平方向抛出，以抛出点为原点，水平直线为x轴，物体所经路线的参数方程为_.解析设物体抛出的时刻为0 s，在时刻t s时其坐标为m(x，y)，由于物体作平抛运动，依题意，得这就是物体所经路线的参数方程.答案(t为参数)8.以过点a(0，4)的直线的斜率k为参数，将方程4x2y216化成参数方程是_.解析设直线为ykx4，代入4x2y216化简即可.答案9.将参数方程化成普通方程为_.解析应用三角变形消去，同时注意到|x|.答案x212y (|x|)三、解答题10.已知曲线c：如果曲线c与直线xya0有公共点，求实数a的取值范围.解x2(y1)21.圆与直线有公共点，d1，解得1a1.11.已知圆的极坐标方程为24cos60.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点p(x，y)在该圆上，求xy的最大值和最小值.解(1)由24cos60得24cos 4sin 60，即x2y24x4y60为所求，由圆的标准方程(x2)2(y2)22，令x2cos ，y2sin ，得圆的参数方程为(为参数).(2)由上述可知xy4(cos sin )42sin()，故xy的最大值为6，最小值为2.12.如图所示，oa是圆c的直径，且oa2a，射线ob与圆交于q点，和经过a点的切线交于b点，已知动点p满足pqoa于d，pboa，试求点p的轨迹方程.解设点p坐标为(x，y)，则b(2a，y)，d(x，0).在rtoab中，tan ，aboatan ，即y2atan .在rtoaq中，cos ，oqoacos ，在rtoqd中，cos ，odoqcos ，odoacos2，即x2a cos2.即有，化为普通方程为：xy24a2x8a3.13.在长为a的线段ab上有一个动点e，在ab的同侧以ae和eb为斜边，分别作等腰直角三角形aec和ebd，点p是cd的定比分点，且cppd21，求点p的轨迹.解建立如图所示坐标系(设c，d在x轴上方).设e(t，0)(t为参数，t0，a)，