小学数学论文：以“垂直与平行”的“前概念”研究为例.doc

关注前概念 找准生长点以“垂直与平行”的“前概念”研究为例 【内容提要】 “前概念”指学生对将要学习的数学概念在先前的生活与学习过程中已经形成的认识与观念。了解学生的“前概念”，不仅依据教师的主观推测，更需要在推测的基础上组织“前概念”调查与分析，从而准确把握学生的“前概念”，为弥补前期教学的缺陷提供依据，为重组后期的教学结构提供策略，为组织顺应学生思维的教学提供思路，真正做到“以学定教”。笔者以“垂直与平行”的“前概念”的前概念研究为例，阐述的具体做法。【关键词】 前概念 推测 调查 启示 启发 “前概念”指学生对将要学习的数学概念在先前的生活与学习过程中已经形成的认识与观念。了解学生的“前概念”，是引导学生理解数学概念的基础。如何才能准确地了解学生的“前概念”？了解学生的“前概念”对教学有哪些方面的启示与启发？下面以我们近期组织的“垂直与平行”的“前概念”研究为例，阐述我们的思考与实践。一、“前概念”推测与调查一般地，对于学生“前概念”的把握，教师主要依据原来的教学经验或教育心理学理论，即主要来自于主观的推测。可以想见，这样的推测往往是单薄的、片面的，甚至是错误的。所以，哪怕是有丰富教学经验的老师，也要在对学生的“前概念”做出主观推测的基础上，组织有效的有针对性的调查，验证推测，修正推测。1.“前概念”推测 “前概念”推测，指教师依据自己已有的教学经验，对学生的“前概念”做出的主观推测。一般地，“前概念”推测可以从学生数学学习基础、生活经验和对概念名称解释等这样三个角度展开。（1）从数学学习基础角度的推测根据学习的迁移性，学生已有的数学知识、学习经验与学习方式等都会对新概念的学习产生影响，使得当一个新概念出现时，学生会用已有的数学学习基础做出自己的推测。例如，当要求学生解释“平行”时，学生可能与三上年级辨认的“平行四边形”相联系，根据在辨认“平行四边形”时对平行的直观思考来理解平行。而“垂直”则可能会与直角相联系，认为像直角那样就是垂直。很显然，新概念的学习，离不开已有的数学学习基础，但同时，用这样的基础解释新概念，也可能是错误的。从数学学习基础角度做“前概念”推测，需要教师熟悉教材体系，分析知识结构，找准新概念与原有知识的连接点。（2）从生活经验角度的推测日常生活中随处可以找到数学的因子，许多数学概念在学生的日常生活中已经有了初步地感知。如“相交”，在日常生活中随处有相交的现象，并会用“交叉”这个词来形容“相交”的情况。可以体会到，从生活经验角度积累的“前概念”，可能会不全面，并可能用别的词汇来表述。从生活经验的角度推测“前概念”，需要教师平时能与学生多交流，并去“成人化”思考，用学生的视角去解释学生的行为。（3）从概念名称角度的推测概念名称是概念特征的抽象，学生可能通过对概念名称的望文生义形成“前概念”。如“平行”，是一个带有动态色彩的概念名称，“平”会联想到水平的，因此会认为水平的一条直线或两条直线的关系才可能是“平行”的。显然，从概念名称的角度解释概念，会与数学概念的本质有很大的区别。从概念名称的角度推测“前概念”，需要教师从学生的理解水平去解释字面意思，区分可能出现的各种歧义。2.调查题设计前概念推测，有可能与学生的认识基础相吻合，但也可能有很大的出入。因此，编制调查题,进行“前概念”调查显得十分重要。“前概念”调查题不同于习题，不是为了简单地判断学生会还是不会，对还是不对这样二元的判定，而是要通过学生对调查题的解答，真实地展现出学生的认识状态。因此，编制主观问答题作为调查题较为合适。如我们为“相交”、“平行”与“垂直”的前概念分别编制了下面三个调查题：什么叫相交？请你用图或语言来描述。什么叫平行？请你用图或语言来描述。什么叫垂直？请你用图或语言来描述。同时，也可以根据第一次调查结果统计中发现的新疑问，设计第二轮调查题。如在第一轮调查中发现极大部分学生把“相交”等同于“交叉”，大多用画“”来表示时，我们编制了第二轮调查题：下面的三组直线中，是相交的打“”。调查学生是否能把第三组题也看成“相交”。从而可以判定出学生理解的“交叉”与数学概念中的“相交”是否是同一意义。3.调查对象确定作为一线教师进行的“前概念”调查，样本不宜过大，同时，可以根据调查的目的灵活选定对象。4.调查活动组织调查一般以纸笔作答为主，利用课余时间完成。一轮调查时间一般控制在15分钟以内。二、“前概念”分类与分析调查题的主观性与开放性，使得学生的回答可能是五花八门的。为便于统计，教师要从回答的差异性中找到相似性，进行合理地分类；然后再对每一类进行细致分析，从相似性中辨析学生回答的差异性。在“前概念”分析时，对有疑问的调查结果，还可以进行个别访谈。1.调查结果分类调查结果分类的标准在于区分不同的回答中所体现的不同的学习水平或思维状态。分类时，先找出具有相同意思的典型例子，从这些典型例子中概括出它们的同共点，作为某一类的特征。如对“平行”的调查结果中，我们选取了以下三个典型的例子：这三位学生虽然图示的位置不同，虽然用“互不相干”来表述“不相交”，但都与“平行”的数学定义相一致，所以把它归为一类：正确描述或绘画。依据这样的分类方式，我们把“平行”的前概念分为以下四类，即：正确描述或者绘画、平行是一条平的线、画平行四边形和不回答或其他。2.调查结果统计把调查结果分好类，便可以对学生的回答进行分类统计。作为“前概念”调查结果统计，一般只要统计出每一类学生的回答数和每一类人数占整体的百分比就可以了。3.调查结果分析调查结果分析指依据学生的回答情况，对学生的“前概念”做出归因分析。一般可以分为整体分析、个体剖析与访谈追问等三个方面。（1） 整体分析整体分析，指对调查结果统计所获得的数据进行比较与归因分析。如从“平行”前概念调查统计数据中，我们发现学生对于“平行”的前概念是有差异的。从“有31%的学生画平行四边形或长方形表示平行”可以判定，三上年级“认识平行四边形”对于理解平行具有一定的迁移作用，但如果当时没有对“平行”做一定的解释，会是负迁移。有“32%的学生认为平行就是一条平平的线”则反映了这部分学生更多地从“平行”的字面意思来解释平行。（2）个体剖析个体剖析，就是抽取每一个类别中具有典型意义的学生回答进行细致地推测与剖析。如为什么有部分学生只把“平行”想成一条线，而且是一条“平的线”？这可以从以下两个方面做出解释。首先是从“平行”的字面意思来看，“平”可以解释成“平的”、“水平的”，“水平地走”不就是一条直的线了吗？其次是在认识直线时，教师为了让学生直观地理解直线的本质特征，会出示方向不同的直线（如下图），问学生：这些都是直线吗？ 在比较总结后认为都是直线的同时，学生会认为直线有三类位置：平的直线、斜的直线和竖直的直线。其中“平的直线”就是“平行”了，因此产生了负迁移。（3）访谈追问访谈追问，指为了进一步了解学生答题的操作或思考的过程，有针对性地选取部分学生进行面对面交流的过程。如在表述“平行”中，有学生正确地画出了平行线。那么，学生是如何画出平行线的？从不同画法中可以推测出怎样的“前概念”？为解答以上疑问，我抽取了其中的八位学生，请他们重新画一画。八位学生有以下两种基本的画法。画法一：平移法。用直尺先画一条直线，画好后再把直尺平移一段距离后再画另一条直线。画法二：描画法。把直尺平放到纸上，再把直尺的两边描画下来。从画法一中可以看出，学生已经初步感受到“平行”与“平移”的联系。从画法二中可以看出，学生已经能够发现实物中线与线的“平行”关系。总之，上述三个方面着眼于“前概念”的不同分析视角。“整体分析”着眼于“前概念”的差异度，“个体分析”着眼于“前概念”的差异处，“访谈追问”着眼于“前概念”的差异点。由面及点，形成全面而又细致的分析体系。三、对教学的启示与启发通过调查与分析，为我们提供了鲜活的、真实的和细致的“前概念”。透析学生的“前概念”， 为弥补前期教学的缺陷提供依据，为重组后期的教学结构提供策略，为组织顺应学生思维的教学提供思路，真正做到“以学定教”。1.弥补前期教学中的缺陷“前概念”调查中发现的学生错误认识，有一些可能是我们在前期教学存在问题所致。针对问题，反思原来的教学，可以自然地找到改进的策略。如在调查“平行”前概念时，有31%的学生用“画平行四边形”的方法来解释“平行”。这是为什么？与三上年级“初步认识平行四边形”有怎样的联系？右图是人教版平行四边形认识的教材。显然，当学生说出了图例的名称，并不意味着对图形的本质已经全面地认识，更不能说对其中的从属概念有所感知。因此，在学生已经初步认识了平行四边形之后，为了让学生对其中的从属概念进行进一步研究，教师可以设计以下两个相关联的问题：（1）为什么叫平行四边形？（2）平行是什么意思？引导学生在初步认识的基础上，发现还有一些平行四边形的属性没有认识，需要我们进一步进行研究，体现数学概念学习的阶段性与发展性。2.重组后续教学时的结构可以发现，不同版本的数学教材对于同样的数学内容编排结构不尽相同。不同的编排结构体现了编者对于学情的不同理解。教师选择哪一种结构组织教学更合理？可以重组自己的教学结构吗？通过“前概念”的调查与分析可以找到答案。如“垂直与平行”的编排，人教版先教学垂直与平行的概念，再教学它们的画法；北师大版先教学平行与画平行线，再教学垂直与画垂线。北师大版的编排有利于概念本质、画图方法的整体学习，但是，不能形成如人教版第一课时的概念结构。如何改进，形成更加合理的教学结构？我们借助于“前概念”调查发现了线索。在“垂直”的前概念调查中发现，学生在学习垂直之前，并没有把“垂直”看成是“相交”的一种特殊情况，可以如北师大版编排进行教学。再综合“相交”与“平行”的前概念调查与分析，我们认为相交与平行应该是反映“同一个平面内两条直线位置关系”的一组概念。因此，把教学结构调整为“平行与相交”、“垂直与距离”两个部分。第一课时教学“平行与相交”。出示平行四边形的图示，问学生为什么叫做平行四边形？从而引出平行的概念名称，通过师生交流，让学生逐步明确平行的初步定义：不相交的两条直线互相平行。在概括“平行”概念的时候，顺势而为，得到“相交”的概念名称（相交是图形的一种直观现象，不需要对它下具体的定义。）。接着再次出示前面描画平行线的长方形学具，转动其中的一条长边，引导学生观察后补充上“同一平面内”（如右图）。然后再教学验证平行与画平行线。第二课时则教学“垂直与距离”。应用分类的思想，让学生对相交的各种情况进行分类，从而概括出互相垂直、垂线等概念，接着学习画垂线与点到直线间的距离与平行线间的距离。进而形成了在同一平面内两条直线的位置关系的一个认识结构（不讨论两条直线重合的情况）。具体如下：同一个平面内两条直线的位置关系平行相交成直角垂直定义画法验证点到直线的距离定义画法验证平行线间的距离与前面两个版本的编排相比较，教学的结构更严谨，学习过程更切准学生的思维生长点。3.组织顺应学生思维的教学“前概念”的调查与分析，让我们全面真实地了解了学生的思维状态。因此，在教学时，能做到紧扣学生的“前概念”，组织材料，设计问题，顺应学生的思维状态组织教学。如在“垂直”的前概念调查中发现，没有一位学生能正确地表述垂直的意思，却有67%的学生认为垂直就是“一条竖着的直线”，如右图。也就是说，大部分学生把垂直等同于日常用语中的“竖直”。如何在课堂中暴露学生的错误认识，发现自己的错误认识，并通过分析比较，形成正确的“垂直”概念？我们进行了如下的教学。教师出示一组特例，如右图。这时学生认为两幅图的区别是左边的是“斜的”，右边的是“直的”。接着再出示右图，问：右边的两幅图哪一幅是“直的”，哪一幅是“斜的”？通过反思比较，发现“直的”应该是相交后的角是直角，“斜的”应该是相交后的角不是直角。垂直相交垂直教师根据学生回答，把垂直的两幅图圈到一起。并说明：像这样相交后成直角的两条直线，叫做互相垂直（如右图）。然后再请学生看书中相关的内容，在图中标上垂足，说明互相垂直的意思。 最后出示下面的