北师大版选修45 第2章3 3.1　数学归纳法 学案.doc

3数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法1了解数学归纳法的原理及其使用范围，掌握数学归纳法证明的步骤(重点)2能够利用数学归纳法证明一些简单问题(难点)基础初探教材整理数学归纳法阅读教材p36p37“思考交流”以上部分，完成下列问题1数学归纳法的原理数学归纳法原理是：设有一个关于正整数n的命题，若当n取第1个值n0时该命题成立，又在假设当n取第k个值时该命题成立后可以推出n取第k1个值时该命题成立，则该命题对一切自然数nn0都成立2数学归纳法证明的步骤(1)验证当n取第一个值n0(如n01或2等)时命题正确(2)假设当nk时(kn，kn0)命题正确，证明当nk1时命题也正确在完成了上述两个步骤之后，就可以断定命题对于从n0 的所有正整数都正确判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)用数学归纳法证明命题“多边形的内角和是(n2)180”时，验证的第一个值是3.()(2)用数学归纳法证明只与自然数n有关的命题时，第二步中在假设nk(kn)成立时，总是证明nk1时也成立()(3)使用数学归纳法时，可以不使用归纳假设()【解析】(1)因为边数最少的多边形是三角形(2)在证只与正整数有关的命题时，在假设nk成立的前提下，证明nk2时也成立(3)用数学归纳法证题中必须使用归纳假设【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型数学归纳法的概念用数学归纳法证明：1aa2an1(a1，nn)，在验证n1成立时， 左边计算的结果是()a1b1ac1aa2d1aa2a3【精彩点拨】只需把n1代入，观察式子左边规律即得答案【自主解答】实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an1，因此n1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1aa2.【答案】c验证n取第一个值n0时命题正确是运用数学归纳法的基础，一定要正确找出nn0时的命题.再练一题1若f(k)1，则f(k1)f(k)_. 【导学号：94910035】【解析】f(k1)1，f(k1)f(k).【答案】用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：1(nn)【精彩点拨】要证的等式左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同因此，由“nk”到“nk1”时要注意项的合并【自主解答】当n1时，左边1右边，所以等式成立假设nk时等式成立，即1，则当nk1时， 左边1右边，所以，nk1时等式成立由知，对任意nn，等式成立用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关.由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.再练一题2用数学归纳法证明：(其中nn)【证明】(1)当n1时，等式左边，等式右边，所以等式成立(2)假设nk(k1，kn)时等式成立，即成立 .则nk1时，即nk1时等式成立由(1)，(2)可知，对任意nn等式均成立探究共研型数学归纳法证明猜想探究1数学归纳法有两个步骤，那么它的两个步骤的作用分别是什么？【提示】在数学归纳法中的第一步“验证nn0时命题成立”，是归纳的奠基、是推理证明的基础，第二步是归纳递推，保证了推理的连续性，证明了这一步，就可以断定这个命题对于n取第一个值n0后面的所有正整数也都成立探究2如何理解归纳假设在证明中的作用？【提示】归纳假设在证明中起一个桥梁的作用，联结第一个值n0和后续的n值所对应的情形在归纳递推的证明中，必须以归纳假设为基础进行证明否则，就不是数学归纳法探究3若数列an中，a11，an2a2n11.那么a2，a3，a4分别是多少？你能猜想出an吗？能否通过数学归纳法证明【提示】由题意可以求出a11，a23，a37，a415，可以猜想an2n1，然后可以用数学归纳法证明设f(n)0(nn)，对任意正整数n1和n2总有f(n1n2)f(n1)f(n2)，又f(2)4.(1)求f(1)，f(3)的值；(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想【精彩点拨】先求f(1)，f(2)，f(3)归纳猜想f(n)用数学归纳法证明【自主解答】(1)由于对任意正整数n1和n2，总有f(n1n2)f(n1)f(n2)取n1n21，得f(2)f(1)f(1)，即f2(1)4.f(n)0(nn)，f(1)2.取n11，n22，得f(3)23.(2)由f(1)21，f(2)422，f(3)23，初步归纳猜想f(n)2n.当n1时，f(1)2成立；假设nk时，f(k)2k成立当nk1时，f(k1)f(k)f(1)2k22k1，这就是说当nk1时，猜想也成立由，得，对一切nn，f(n)2n都成立1切实掌握“观察、归纳、猜想、证明”这一特殊到一般的推理方法2证明代数恒等式的关键是：第二步将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式“凑假设”，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论需要的形式“凑结论”再练一题3已知数列an的第一项a15且sn1an(n2，nn)(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想【解】(1)a2s1a15，a3s2a1a210，a4s3a1a2a3551020，猜想an(2)证明：当n1时，猜想显然成立当n2时，a252225，猜想成立假设nk时猜想成立，即ak52k2(k2，kn)，当nk1时，由已知条件和假设有ak1ska1a2a3ak551052k2552k152(k1)2.故nk1时猜想也成立根据可知，对任意n2，nn，有an52n2.所以数列an的通项an构建体系1用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，在验证n1成立时，左边所得的代数式为()a1b13c123d1234【解析】当n1时左边有2113项，所以左边所得的代数式为123.【答案】c2在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0等于()a1b2c3d0【解析】边数最少的凸n边形是三角形【答案】c3用数学归纳法证明等式“135(2n1)n2”时，从k到k1左边需增加的代数式为()a2k2b2k1c2kd2k1【解析】等式“135(2n1)n2”中， 当nk时，等式的左边135(2k1)，当nk1时，等式的左边135(2k1)2(k1)1135(2k1)(2k1)，从k到k1左边需增加的代数式为2k1.【答案】d4用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xnyn能被xy整除”时，在归纳假设中，假设当nk时命题成立，那么下一步应证明n_时命题也成立【解析】两个奇数之间相差2，所以nk2.【答案】k25用数学归纳