北师大版选修45 柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式 学案.doc

二一般形式的柯西不等式1掌握三维形式和多维形式的柯西不等式2会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题1三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(aaa)(bbb)_，当且仅当_或存在一个数k，使得aikbi(i1，2,3)时等号成立【做一做11】 已知x，y，zr，且xyz1，则x2y2z2的最小值是()a1 b.c. d3【做一做12】 若a，b，cr，且abc1，则的最大值为()a3 b3c18 d92一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)_，当且仅当_或存在一个数k，使得ai_(i1,2，n)时，等号成立尽可能地构造符合柯西不等式的形式常用技巧有：巧拆常数；重新安排某些项的次序；改变结构；添项【做一做2】 若aaa1，bbb4，则a1b1a2b2anbn的最大值为()a1 b1 c2 d2答案：1(a1b1a2b2a3b3)2bi0(i1,2,3)【做一做11】 b由柯西不等式得(x2y2z2)(121212)(xyz)21.x2y2z2，当且仅当xyz时，等号成立【做一做12】 b由柯西不等式得：()2(111)(3a13b13c1)33(abc)3，又abc1，()23618，3，当且仅当abc时等号成立2(a1b1a2b2anbn)2bi0(i1,2，n)kbi【做一做2】 c1一般形式的柯西不等式的应用剖析：我们主要利用柯西不等式 证明一些不等式或求值等问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点我们要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致起 ，然后应用解题2正确利用“1”剖析：数字“1”的利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即不因为“形式”与“面貌”的影响而不会用柯西不等式，教材例1中数字“1”的利用说明了处理问题与变形中的灵活性，因此，不应对“1”视而不见题型一 三维形式的柯西不等式【例1】 已知a，b，cr，求证：()()9.分析：对应三维形式的柯西不等式，a1，a2，a3，b1，b2，b3，而a1b1a2b2a3b31，因而得证反思：由a，b，c构成新的数字，而形成三维形式的柯西不等式，需要有较高的观察能力，从所给的数学式的结构中看出题型二 多维形式的柯西不等式【例2】 已知a1，a2，an都是正实数，且a1a2an1.求证：.分析：已知条件中a1a2an1，可以看作“1”的代换，而要证的不等式的左边为，等数的平方和，所以a1a2an1，应扩大2倍后再利用本题还可以利用其他的方法证明反思：通过本题不同的证明方法可以看出，无论用柯西不等式或其他重要不等式 证明，构造出所需要的某种结构是证题的难点，因此，对柯西不等式或其他重要不等式，要熟记公式的特点，能灵活变形，才能灵活应用题型三 柯西不等式的综合应用【例3】 设f(x)lg，若0a1，nn且n2，求证：f(2x)2f(x)分析：由题目可获取以下主要信息：已知f(x)的函数表达式变量的取值范围证明相关的不等式解答本题的关键是将f(2x)2f(x)具体化，再根据式子的结构特点选择合适的证明方法反思：对于较为复杂的证明问题，可采用“分析法”进行推导，从而找到柯西不等式的结构特征题型四 易错辨析【例4】 已知a2b2c21，x2y2z29，axbyczt，求t 的最小值错解：求t的最小值，即求uaxbycz的最大值ax，by，cz，三式相加得：axbycz5，故uaxbycz的最大值为5，从而t的最小值为5.错因分析：基本不等式得到uaxbycz5是正确的，但这只是能说明u的最大值有小于或等于5两种可能，并不能得出u的最大值一定是5.事实上，如果u的最大值为5，错解中的三个不等式应同时取“”，于是ax，by，cz从而得出a2b2c2x2y2z2，即t5，这是不可能的产生错解的原因是对最值的概念及基本不等式中的等号成立的条件掌握不牢答案：【例1】 证明：由柯西不等式，知()()()2()2()2()2()2()2()2(111)29.原不等式成立【例2】 证法一：根据柯西不等式，得不等式左边(a1a2)(a2a3)(a3a4)(an1an)(ana1)()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()2()()()()2(a1a2an)2不等式右边原不等式成立证法三：因为ar，则a2，即a2.利用上面的结论，知(2)a1.同理，有a2，an1，an.以上式子相加整理，得(a1a2an).【例3】 解：f(2x)lg，要证f(2x)2f(x)只要证lg2lg.即证2也即证n12x22x(n1)2xan2x1x2x(n1)xanx2，(*)0a1，aa2，根据柯西不等式得n12x22x(n1)2xan2x1x2x(n1)xanx2，即(*)式显然成立，故原不等式成立【例4】 正解：求t的最小值，即求uaxbycz的最大值由柯西不等式得：u2(axbycz)2(a2b2c2)(x2y2z2)199，uaxbycz3，故uaxbycz的最大值为3，从而t的最小值为3.1设a，b，cr，且abc1，则的最大值是()a1 b. c3 d92若实数a，b，c均大于0，且abc3，则的最小值为()a3 b1 c. d.3设x，y，zr,2x2yz80，则(x1)2(y2)2(z3)2的最小值为_4已知a，b，cr，且abc1，则的最大值为_5设x1，x2，x3，xn都是正实数，且x1x2x3xns.求证：.答案：1b由柯西不等式得(121212) ，313.当且仅当abc时等号成立的最大值为.2d(a2b2c2)(111)(abc)29，a2b2c23.，当且仅当abc1时等号成立392x2yz802(x1)2(y2)(z3)9.考虑以下两组向量：u(2,2,1)，v(x1，y2，z3)，由柯西不等式，得(uv)2|u|2|v|2；即2(x1)2(y2)(z3)2(222212)(x1)2(y2)2(z3)2当且仅当x1，y4，z2时等号成立所以(x1)2(y2)2(z3)29.4.由柯西不等式，得(111)2(121212)(4a14b14c1)34(abc)321.当且仅当abc时，取