五年级奥数备课.doc

小学五年级奥数讲座第01课 数列规列的应用-找规律4第02课 数列求和的应用-数列2第03课 包含与排除2第04课 小数的巧算-巧算4第08课 平面图形的问题2第09课 图形的计算3第10课 数的进位制2第11课 简单抽屉原理第12课 简单的统筹规划问题填数游戏消去法解题假设法解题（一）假设法解题（二）第06课 牛吃草的问题代换法解题作图法解题第05课 行程问题4第07课 行程问题3列车过桥题速算的方法数的整除性巧用质因数公约数、公倍数图形的面积数列的规律第一课教学内容：填数游戏题。教学要求：能根据已有的已知条件，运用推理，寻找规律，完成填空。教学过程：一、导语：很高兴有机会和同学们一起学习奥数，希望在今后的学习过程中合作愉快，共同进步。虽然同学们没有接触过奥数，但只要同学们认真听讲，及时练习，你的思维能力一定会在原有的基础上得到较快的提高。让我们为自己鼓劲加油吧！二、新授：今天我们先来学习“填数游戏题”（板书课题）。1、出示例1：在下面乘法算式的方框内，各填上一个适当的数字，使算式成立。 5 1 - 2 5 1 3 0 - 4 7 7 分析：在这个乘法算式中，关键是把两个因数中的方框先填出来，其余的方框根据乘法的计算法则就可以填出来了。为了分析的叙述方便，我们设一个因数是ab5，另一个因数是1cd。 由乘法竖式可以看出，第一部分积25 = 275，由于它的个位数字是5，所以d只能是奇数，但不能是1（是1的话，第一部分积就该是ab5了），即d可能是3、5、7、9。由于第二部分乘积130的个位数字是0，得出c只能取偶数，即c可能是2、4、6、8。由于乘积的最高位上的数是4，所以第三部分的积的最高位上的数只能是2或3，也就是说a=2或a=3.如果a=2，那么第一部分的积的算式变为2b5d=275,由这个算式可推得d=9,b=7,即2759=2475,这时求第二部分积的算式为275c=130,经试验可知，无论c取任何数值这个等式都不能成立，这说明a不能取2,a只能取3。那么求第一部分的积的算式变为3b5d=275,由这个算式可推得d=7,b=2,即3257=2275，这时求第二部分积的算式变为325c=130,经试验可知c=4,即3254=1300。这样其余方框中的数字根据竖式乘法法则就很容易填出来了。2、出示例2：见书第三页。分析：根据除法和乘法的互为逆运算关系可知被除数=商除数，因此如果能找到商和除数，那么被除数就可以推算出来了。引导学生一步步寻找规律，推导出商和除数，从而得出最后的结果。练习：练习一第一题的两小题。评讲答案。3、出示例5：下面等式中的“小花狗”三个字各代表一个互不相同的数字。当这个算式成立时，小+花+狗等于多少？题目见书。分析：这道题应首先求出三个汉字各代表什么数字时算式成立，然后在求出这三个汉字所代表数字的和。（1） 由第二行看出，小花狗小=小，由于这个积是三位数，所以有1小4，也就是说“小”可以取2或3。（2） 由第三行看出，“小花狗花=花”，由于这个积是四位数，又知“小”是2或3，所以“花”3。（3） 由第一行看出，“小花狗狗=”，同样可知“狗” 3。（4） 由“小花狗小=小”，可以看出“狗” “小”所得的积是的个位是“小”；由“小花狗花=花”可以看出“狗” “花”所得的积的个位”是“花”。三、小结：做填数游戏题时，关键是找准从什么地方入手，然后才能一步步推导出结果。有的时候还需要多次假设，希望同学们在做时一定要细心。四、布置作业：练习一26。第二课教学内容：消去法解题教学要求：能利用消去法解答有关的题目。教学过程：一、 复习检查作业：指名回答，教师板书，集体评讲。二、 新授：1、 出示例1：明明在商店里买了4块橡皮和3把小刀，共付6.05元；红红买了同样的2块橡皮和3把小刀，共付4.45元。一块橡皮和一把小刀的价钱各是多少？分析：4块橡皮和3把小刀共付6.05元，2块橡皮和3把小刀共付4.45元。通过两组条件的对比，可以发现明明比红红多付6.05-4.45=1.60元，是因为明明比红红多买了2块同样的橡皮，从而找到解法如下：（6.05-4.45（4-2）=1.62=0.8（元）橡皮的单价 （4.45-0.82）3=2.853=0.95（元）小刀的单价2、 出示例2：3筐苹果和5筐鸭梨共重138千克，9筐同样的苹果和4筐同样的鸭梨共重216千克。每筐苹果和每筐鸭梨各重多少千克？分析：我们可以根据9筐正好是3筐的整倍数这个关系，设法使两次的苹果筐数相同，通过两式相减，消去苹果的筐数，然后再求出每筐鸭梨的重量。既然3筐苹果和5筐鸭梨共重138千克，那么若将这两个数量同时扩大3倍，就可以得到9筐苹果和15筐鸭梨共重414千克的关系。 （1383-216） （53-4）=18千克每筐鸭梨的重量 （138-185）3=16千克每筐鸭梨的重量学生练习：练习七1、2。集体评讲，了解学生的掌握情况。3、 出示例3：某食堂第一次运进大米5袋，面粉7袋，共重1350千克；第二次运进大米3袋，面粉5袋，共重850千克。1袋大米和1袋面粉各重多少千克？分析：先将题中的条件步列如下：第一次：5袋大米+7袋面粉=1350千克第二次：3袋大米+5袋面粉=850千克通过对比发现，5袋大米和3袋大米、7袋面粉和5袋面粉这两组对应数值中，既无相同的数量关系也无简单的倍数关系，因此解题的关键就在于创造条件设法使两次运进的大米或面粉的袋数相同，然后用消区法求解。4、 出示例4：5头牛、6匹马每天吃草139千克，6头牛、5匹马每天吃草125千克。1 头牛、1匹马每天各吃草多少千克？分析：这道题当然可以参照例3的方法来解答。但由于条件的特殊，我们经验解答得更为简便。若将两组条件分别相加，就得到11头牛和11匹马每天吃草139+125=264千克，进而知道1头牛、1匹马每天共吃草26411=24千克。那么5头牛、5匹马一天的吃草量就是245=120千克，最后利用题目中的原始条件就可以求出1头 牛或1匹马每天的吃草量。总结：用消去法解题时，可以通过比较条件，分析对应的未知量的变化情况，设法消去其中的一个未知量，从而把一道数量关系复杂的题目变为较简单的题目并解答出来。三、 布置作业：练习七310。第三课教学内容：假设法解题（一）教学要求：学会用假设法解答有关的题目。教学过程：一、 复习，检查家作。指名回答，教师板书，集体评讲，了解学生掌握的情况。二、 新授：1、 名词解释，请生读书上第33页的概念，其实古代的“鸡兔同笼”问题就是用假设法来解答的。2、 出示例1：笼中有鸡、兔100只，共有248只脚，鸡、兔各有多少只？分析：假设100只都是兔，那么就有脚4100=400只，这样比实际多出400-248=152只脚。一只鸡看成一只兔，多算了2只脚，多少只鸡看成多少只兔共多出152只脚呢？用1522=76只，这样就求出鸡的只数，然后再求出兔有100-76=24只。或者把它们都看成100只鸡，就可以先求出兔的只数，然后在求出鸡的只数。教师板书两种解答的过程，并教会学生用检验的方法来自己验算是否正确。3、 出示例2：买来5元、1元、8角的三种邮票共20枚，总钱数是42元8角，其中5元和8角的邮票枚数相等，三种邮票各购了多少枚？分析：假设20枚邮票全是1元即10角的，则总钱数只有1020=200交，比实际钱数少428-200=228交。由于5元和8交的邮票枚数相等，每次可用2枚10角的邮票来换1枚5元和1枚8交的邮票，这样每换一次可补上50+8-102=38交，可见替换22838=8次可补足228交，所以有5元和8角的邮票各6枚。 学生练习：练习四1、2。 集体评讲，教师板书。4、 出示例4：一辆卡车运矿石，晴天每天可运20次，雨天每天可运12次。它一共运了112次，平均每天运14次，这几天中有多少天是雨天？分析：既然平均每天运了14次，一共运了112次，那么这辆卡车一共运了11214=8天。假设这8天全部是晴天，则一共可以运208=160次，比实际多运160-112=48次，由于晴天比雨天每天多运20-12=8次，所以这几天中共有488=6天是雨天。 5出示例5：蜘蛛有8只脚，蜻蜓有6只脚和2对翅膀，蝉有6只脚和1对翅膀。现在有这三种小虫18只，共有脚118只，翅膀20对，每种小虫各有多少只？ 分析：因为蜻蜓和蝉的脚的只数相等，所以可以假定这18只小虫全部是蜻蜓和蝉，那么共有脚618=108只，比实际少118-108=10只脚，这是因为每只蜘蛛比它们多8-6=2只脚，蜘蛛则有102=5只，蜻蜓和蝉共有18-5=13只。然后我们根据13只蜻蜓和蝉共有20对翅膀，每只蜻蜓有2对翅膀，每只蝉有1对翅膀这些条件，在分别求出蜻蜓和蝉各有的只数。三、 总结：用假设法解题时关键要先确定都看成什么，然后找出两者之间的相差量，就可以先求出其中的一个量。四、 布置作业：练习四310。 第四课教学内容：假设法解题（二）教学要求：能用假设法解答有关的题目。教学过程：一、 复习检查作业：指名回答，教师板书，集体评讲，了解学生掌握的情况。二、 新授：1、 出示例1：一列快车从甲地开往乙地，每小时行200千米；与此同时一列慢车从乙地开往甲地，每小时行160千米。途中快车因故停留了4小时，所以比慢车迟1小时到达目的地。求甲、乙两地的距离。分析：快车的速度比慢车的速度每小时快了200-160=40千米，但是为什么快车反而比慢车迟到1小时呢？这是由于快车中途停留了4小时造成的。因此慢车在这一过程中实际比快车多行了4-1=3小时，我们可以假设，让慢车先行3小时，即先行1603=480千米后，快车才出发，一路没有停留而与慢车同时到达目的地。然而快车之所以能与慢车同时到达是因为它每小时比慢车快40千米，由于480千米里包含了12个40千米，所以快车从甲地到乙地实际只需要12小时，则甲、乙地的距离是20012=2400千米。2、 出示例2：甲车站有222辆汽车，乙车站有48辆汽车。每天从甲站开往乙站23辆，从乙站开往甲站26辆。多少天后，甲站的汽车辆数是乙站的8倍？分析：首先我们应该注意到两点：第一，每天从乙站开往甲站的车比甲站开往乙站的车多26-23辆，因此甲站的车越来越多；第二，不管甲站的汽车比乙站的多多少，两车站的汽车总数是固定不变的，即有222+48=270辆。那么，我们可以假设甲站的车数是乙站的8倍，乙站的车数就是270（1+8）=30辆。乙站减少的48-30=18辆车是由于每天多开往甲站3辆造成的。18除以3等于6，所以要6天以后甲站的车数是乙站的8倍。学生练习：练习五1、2。集体评讲，教师板书，了解学生的掌握情况。3、 出示例3：甲仓库有货物58吨，乙仓库有货物32吨。现在甲仓库每天进货4吨，乙仓库每天进货20吨。多少天后，乙仓库的货物是甲仓库的2倍？分析：虽然甲仓库现存的货物比乙仓库多，但由于乙仓库每天的进货量比甲仓库多，所以若干天后，乙仓库的货存量比甲仓库多，而且是甲仓库的2倍。我们可以假设乙仓库的货存量现在就是甲仓库的2倍，则有582=116吨，比实际多了116-32=84吨，相应地假设乙仓库每天的进货量也是甲仓库的2倍，则有4 2吨，与实际上相差20-42=12吨。每天的进货量相差12吨，从而弥补了总数84吨需8412=7天。4、 出示例5：百货公司委托搬运站运送1000只玻璃花瓶，双方商定每只的运费是1元5角，如打破一只，这一只不但不计运费，并且要赔偿9元5角。搬运站最后共得运费1456元。搬运过程中共打破了多少只玻璃花瓶？分析：首先应注意到，运送一只花瓶与打破一只花瓶的差价是1.5+9.5=11元。假设这1000只玻璃花瓶全部运到而没有损坏，那么应得运费1.51000=1500元；但事实上只得到1456元，相差1500-1456=44元，这就说明在搬运过程中有花瓶被打破了。没打破一只，搬运站不但得不到运费，而且还要赔偿，就要少得11元。44元里含有4个11元，所以打破了4只玻璃花瓶。三、 总结：用假设法解题时要找准与假设的内容相对应的数量关系，善于把假定的内容和数据进行调整，从而得到正确的答案。四、 布置作业：练习五310第四课 “牛吃草”问题例1：有这样的问题.如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周.那么它可供多少头牛吃12周？这类问题称为“牛吃草”问题。解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天，每周都在均匀地生长，草的总量是由两部分组成的：某个时间期限前草场上原有的草量；这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量.例2 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？例3 12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草.多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？例4 一块草地，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天.如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？例5 一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？第二讲“牛吃草”问题1.一块牧场长满草，每天牧草都均匀生长.这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天.问：可供25头牛吃多少天？2.22头牛吃33公亩草地上的草，54天可以吃完.17头牛吃28公亩同样的草地上的草，84天可以吃完.问：同样的牧草40公亩可供多少头牛食用24天（每公亩草地原有草量相等，草生长速度相等）？3.有一牧场，17头牛30天可将草吃完.19头牛则24天可以吃完.现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完.问：原来有多少头牛吃草（草均匀生长）？4.现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘.若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干.问：若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？5.画展9时开门，但早已经有人排队等候入场，从第一个排队观众开始，每分来的观众人数一样多。如果开3个入口，9分钟后就不再有人排队，如果开5个入场口，5分钟就不再有人排队，第一个观众是在开门前几分钟排队的？第五课 代换法解题教学内容：代换法解题。教学要求：能用代换法解答有关的题目。教学过程：一、 复习检查作业指名回答，教师板书，集体评讲，了解学生的掌握情况。二、 新授1、 出示例1：1个菠萝的重量等于2个梨的重量，也等于3个香蕉的重量，还等于1个梨加1个香蕉和1个桃的重量。那么1个菠萝等于几个桃的重量？分析：根据题意可推出下列几个等式同时成立。1个菠萝=2个梨1个菠萝=3个香蕉1个菠萝=1个梨+1个香蕉+1个桃由此推出：2个梨=3个香蕉（即1个梨=1.5个香蕉） 1个梨=1个香蕉+1个桃进一步推出：0.5个香蕉=1个桃（即1个香蕉=2个桃） 所以：1个菠萝=（23=6）个桃。答：1个菠萝等于6个桃的重量。2、 出示例2：买一套趣味数学共用去31元，已知上册比中册便宜1.5元，下册比中册贵2.5元，上、中、下册各多少元？分析：如果以中册的单价为标准，把上册换成中册应从总价中增加1.5元，把下册换成中册应从总价中减少2.5元，这样三本中册的钱就是31+1.5-2.5=30元。求出中册的单价，其上、下册的单价也就迎刃而解了。学生练习：练习六1、2。评讲交流，教师板书，了解学生的解答情况。3出示例3：一批石油，如果用甲种油车装运需要20辆，如果用乙种油车装运需要25辆。已知甲种油车比乙种油车每辆多装2吨，求这批石油重多少吨？同样一批石油，为什么用甲种车装比用乙种车装要少用25-20=5辆呢，因为甲种车比乙 种车每辆多装2吨。因此我们可以这样考虑：把原来装在20辆甲种车里的石油，改装在20辆乙种车里，多了220=40吨石油没法装运，必须再用5辆乙种册来装运着40吨石油。由此可知每辆乙种车装405=8吨，这批石油的重量就是825=200吨了。4、出示例4：5只同样的小猪和18只同样的小羊总价是3960元，已知1只小猪和3只小羊的价钱相等，求每只小猪和每只小羊各值多少钱？分析：既然1只小猪的价钱和3只小羊的价钱相等，那么题中的5只小西湖就可以换取53=15只小羊，3960元如果单买小羊的话一共可买18+15=33只，一只小羊的价钱就可以求出来了。396033=120元。5、出示例7：有红、黄、蓝三种色笔共20枝，已知红色笔比黄色笔的2被少2枝，黄色笔比蓝色笔的2倍少2枝，三种色笔个多少枝？分析：我们不妨把蓝色笔的枝数看作一份数，则黄色笔的枝数比这样的2份少2枝，若使黄色笔枝数正好是蓝色笔的2被，则总数句要加上2枝黄色笔，共有20+2枝。然而红色笔的枝数又是黄色笔的2倍少2枝，则红色笔的枝数应该比蓝色笔的22倍还少22枝，且再少2枝。这样，我们把黄色笔、红色笔都以蓝色笔的枝数为标准进行代换的话，总数应为20+2+22+2枝，即相当于蓝色笔枝数的1+2+22倍，可先求出蓝色笔的枝数。四、总结：用代换法解题时一定要注意，当把其他量用标准量来代换时，总数是怎样变化的。五、布置作业：练习3-10第六课教学内容：作图法解题。教学要求：能用作图法解答有关的题目。教学过程：一复习、检查作业。指名回答，教师板书，集体讲评。二、 新授：1、 出示例1：两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米。余下的铁丝，第一根是第二根的3倍，原来每根铁丝各长多少厘米？分析：先根据题意作示意图（图略）从图中就能清楚的看到：由于第二根比第一根多剪了26-18=8厘米，使得第一根余下的部分是第二根余下部分的3倍。而这个8厘米正好相当于第二根剪剩下的2倍，那么第二根铁丝剪剩下的长度就是82=4厘米，原来的长度就是26+4=30厘米。2、出示例2：三（1）班共有52人，他们都参加了语文、数学兴趣小组的活动，其中参加语文兴趣小组的有30人，参加数学兴趣小组的有40人，两种兴趣小组都参加的有多少人？分析：作一条线段表示全班的人数，从左往右截取一部分表示参加语文组的30人，从右往左截取一部分表示参加数学组的40人，重叠的部分就是两种兴趣小组都参加的人数。30+40-52=18人学生练习：练习八1、2。集体讲评，了解学生的掌握情况。3、出示例3：五（1）班50名同学中，参加语文兴趣小组的有20人，参加数学兴趣小组的有26人，既没有参加语文也没有参加数学兴趣小组的有12人。那么参加数学兴趣组且没有参加语文兴趣组的有多少人？既参加语文兴趣组又参加数学兴趣组的有多少人？分析：作一个长方形表示全班的50名同学，首先，从右往左截取一块表示既没有参加语文也没有参加数学兴趣组的12人，那么余下的为50-12=38人，这38人中参加语文兴趣小组的有20人，参加数学兴趣组的有26人，而这两部分的和却大于38，重叠部分就表示既参加数学又参加语文兴趣小组的人数，应为20+26-38=8人，那么参加数学组而没有参加语文组的就是26-8=18人。4出示例5：虹桥瓜果批发部有甲、乙两个仓库，乙仓库的水果存量是甲仓库的5倍。如果从甲仓库中抽出5吨到乙仓库，那么乙仓库的水果数就是甲仓库的8倍。原来两仓库的水果存数各是多少？分析：画出示意图（图略）。从图中可以看出，若从甲仓库取出5吨放到乙仓库后，这样乙仓库的量可以看成是甲仓库剩下量的5倍还多5（5+1）=30吨。而根据题意，此时乙仓库是甲仓库的8倍，多出的3倍就是这30吨可以得到甲仓库剩下的是303=10吨，原来的就是10+5=15吨，乙仓库原有的是155=75吨。三、 总结：用作图的方法把应用题的数量关系揭示出来，使题意形象具体，一目了然，对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题，能起到化难为易的作用。四、 布置作业：练习八310题。第七课 行程问题4例1.甲乙两车相距516千米，同时出发相向而行，乙车行驶6小时后停车修理，这时两车相距72千米，甲车按原速继续行驶，2小时后与乙车相遇。求乙车每小时行驶多少千米？例2.甲乙两车同时从A、B两地出发相向而行。第一次两车在距B地50千米处相遇，相遇后两车仍以原速继续行驶，并在到达对方车站后立即按原路返回，途中两车在距A地20千米处第二次相遇。两车相遇点相距多少千米？例3.兄妹两人同时离家去900米远的学校上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门口时，发现忘记戴红领巾，立即原路返回，问：兄妹相遇时离学校有多远？例4.A、B两地相距480千米，甲乙两车同时从两地相向出发，甲车每小时行35千米，乙车每小时行45千米，一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发，向乙车飞去，遇到乙车后返回向甲车飞车，遇到甲车后又返回向乙车飞去。这样一直飞下去，燕子飞了多少千米两车能相遇？练习：1.甲乙两车相距430千米，同时相向而行，乙车行驶4小时后暂停修理，这时两车相距90千米，甲车保持原速经过2小时后与乙车相遇，求乙车行驶速度。2.甲乙两地相距8千米，小明和小红分别从甲乙两地同时出发，30分钟后相遇，第二次相遇时小红离甲地1千米，小明每小时行多少千米？3.某人骑摩托车从甲地到乙地要行288千米，开始以每小时32千米的速度行驶，途中因故停驶2小时，为了按时到达乙地，他必须把以后的速度增加16千米，问他离甲地多远的地方停车的？4.甲乙两地相距3600千米，两条狗分别从甲乙两地同时出发相向奔跑，它们每分钟分别跑450米和350米，它们相向跑1分钟后，同时调头背向跑2分钟，又调头相向跑3分钟，再调头背向跑4分钟这样不停地跑下去，直到相遇为止，问从出发到相遇需要多少分钟？例5.小军骑车以每分200米的速度去学校，出发后5分钟，爸爸发现小军忘带数学书，马上骑摩托车以每分700米的速度按同一条路追去，求几分钟后爸爸追上小军？例6.一辆汽车从A城开往B城，原计划每小时行50千米，因情况紧急，改为每小时行70千米，结果提前4小时到达，A和B两城相距多少千米？例7.甲乙丙三人，甲每分钟行60米，乙每分钟行50米，丙每分钟行40米。一天甲从B地，乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲与乙相遇后，经过10分钟又遇到丙，求A、B两地相距多少千米？例8.骑车人以每分钟300米的速度，从电车起点站出发，沿电车路线前进，骑到离出发点2100米时，一辆电车开出起点站，每分钟行500米，每行5分钟到达一站，停车1分钟，那么电车需要多少分钟追上骑车人？练习5.一艘敌舰在离我海防哨所6000米处，以每分钟400米的速度逃走，我快艇立即从哨所出发，11分钟后在离敌舰500米处开炮击沉敌舰，我快艇速度是每分钟多少米？6.兄弟两骑车效游，弟弟先出发，每分钟行200米，5分钟后，哥哥带一条狗出发，以每分钟250米的速度去追弟弟，而狗则以每分钟300米的速度向弟弟跑去，追上弟弟后又立即返回，遇到哥哥后又返回去追弟弟，直到哥哥追上弟弟时，狗跑了多少米？7.东西两镇相距54千米，一辆汽车从东镇出发，每小时行52千米，同时一辆农用小四轮从西镇出发，每小时行34千米，两车同向行驶，汽车在农用车后面，经过几小时汽车可以追上农用车？8.一辆轿车的速度比面包车的速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿同一条公路行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，那么学校离城门的距离是多少千米？9.A、B两地相距12.6千米，正中间有一座600米的桥，甲乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，甲步行每小时行4千米，乙一每小时行12千米，如果甲7点15分出发，那么乙从什么时刻到什么时刻出发才能和甲在桥上相遇？10.一支部队排成1.2千米长队行军，在队尾的张明要与前面的营长联系，他用6分钟时间追上了营长，为了回到队尾，在追上营长的地方等待了18分钟，如果他从最前头回到队尾最少要多少时间？第八课行程问题3比较特殊的行程问题环形路上的行程问题两人环形路上行走，同时同地出发，背向而行，出发到相遇，两人一共行了一圈。环形路上的相遇问题，共行路程就是一圈。两人在环形路上行走，同时同地同向出发，相遇时，速度快的多行一圈的环形路程。这是追及问题。（追及路程是一圈的长度。）在环形路上有A、B两地同时背向出发，一段时间后两人相遇。（相遇时共行路是弧AB的长度。在环形路上有A、B两地同时同地同向出发，快的在前，慢的在后，相遇时追及路程是弧AB的长度，（调换快慢前后位置，尝试分析）例一：小张和小王各以一定速度在周长为500米的环形跑道上跑步，小王速度是180米/分。（1）小王和小张从同一地点同时出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少？（2）小张和小王从同一地点同时出发，沿同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？解（1）相遇时间：75601.25（分）速度和：5001.25400（米/秒）小张的速度：400-180220（米/秒）解（2）例2：如图A、B是圆的直径的两端，小强在A点、小明在B点，同时出发反向而行。他们在离A点80米的C处第一次相遇：在离B点60米的D处第二次相遇，求圆的周长？当一道题目没有具体时间、具体速度时，往往要根据不同时间内不同路的倍数关系来处理。例3：绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发，反向而行，小王以4千米/小时的速度每走1小时后休息5分钟，小以6千米/小时的速度每走50分种后休息10分钟，问：多少时间后两人第一次相遇。练习：1、绕人民大会堂一周是600米，小张骑车，速度是200米/分，小王步行速度是50米/分，他们从同一地点同时出发，同方向绕人民大会堂环行，问：出发后多少时间小张追上小王？2、 A、B是圆的直径的两端，甲从A、乙从B同时出发，按箭头所示方向行走，甲走一周要15分钟，乙走一周要20分钟，问出发后多少时间甲追上乙？3、一个圆周长70厘米，甲乙两只爬虫从同一点同时出发，同向爬行，甲以4厘米/秒的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇，问爬虫乙原来的速度是多少？4.小张步行从甲村到乙村去，小李骑车从乙村往甲村去，他们同时出发，1小时后在途中相遇，他们分别继续前进，小李到达甲村后就立即返回，在第一次相遇后40分钟，小李追上小张，他们又分别继续前进，当小李到达乙后又马上折回，问：追随上后多少分钟，他们再次相遇？5.两只小爬虫甲和乙，在A点同时出发，沿长方形ABCD的边，分别按箭头方向爬行，在离C点32厘米的E点它们第一次相遇，在离D点16厘米的F点第二次相遇，在离A点16厘米的G点第三次相遇，长方形的边AB长多少？火车的行程问题有时一个物体的长度很长，它的长度不能忽略，因此必须加以考虑：迎面错车、同向超车例4：一列火车和一列客车在互相平行的轨道上行驶，货车车身长180米，每秒行20米，客车车身长270米，每秒行25米。两车相向而行，从车头相遇到车尾离开，共需多少时间？分析：错车时间内，两车行驶路程是两车车长之和，错车车速是两车速度和。特例：火车过人时，由于人的长度可以忽略不计，所以人车行驶路程和为车身的长；火车过桥或遂道时，行驶路程为桥长或遂道长加上车身长度。例5：火车通过82米的铁桥用了22秒，如果火车速度加快一倍，它通过162米的铁桥要用16秒，求火车的原速度和车身长。分析：从22秒行程82米桥长+车长，即原车速2282米桥长+车长，2倍原车速16162米桥长+车长，进行考虑。例6：甲乙两列火车在互相平行的火车双轨道上平行同向行驶，货车车身长180米，每秒行20米，客车车身长270米，每秒行25米，从客车车头与货车车尾相遇到客车车尾与货车车头离开，需要多少时间？分析：在两列火车同向行驶的时间内：快车多行的路程是两车车长之和，超车的速度是两车的速度差。例7：货车车身长180米，每秒行20米，客车车身长270米，每秒行25米，两车在互相平行的双轨道上行驶。（1） 从两车车头平齐到两车离开，需多少时间？（2） 从两车车尾平齐到两车离开，需多少时间？练习：6.两列火车，一列长102米，每秒行20米，另一列长120米，每秒行17米，两车同向而行，从第一列车追上第二列车到两车离开，要多少时间？6.某人步行的速度为每秒2米，一列火车从后面开来，越过他用了10秒，已知火车的长为90米，求列车的速度。8.一列火车通过一座1260米的桥用了60秒，穿过长2010米的遂道用了90秒，求火车的车速和火车车身长。9.在与铁路平行的公路上，小明步行，小强骑自行车，同向而行，小明每秒行1米，小强每秒行3米，从他们身后开来一辆车，超过小明用了22秒，超过小强用了26秒，这列火车长多少米？10.一列火车，通过一条长510米的隧道用了30秒，超过一个同向骑自行车的人，用了16秒，骑车人每秒行10米，求火车的速度和车身长。第七课教学内容：列车过桥题。教学要求：能解答有关的列车过桥、过隧道的问题。教学过程：一、 复习、检查作业：指名回答，了解作业的完成情况。二、 新授：1、 出示例1：一列列车长150米，每秒行19米，全车通过420米的大桥，需要多少时间？分析：列车过桥，就是从桥头起到车尾离桥止。一般我们可以把车尾看作标准点，用“A”表示。如果我们假设某人站在车尾的地方，当车头刚上桥的霎间，A距桥150米，当车尾离桥时，A实际运动了（150+420）米，即全车通过大桥，列车需运动的总距离为（列车长加桥长）。解：（150+420）19=30秒。2、 出示例2：一列火车长750米，从路边的一棵大树旁边驶过，用了0.25分钟。以同样的速度驶过苏通大桥，从东头上桥到车尾离桥共用2.51分钟，苏通大桥长多少米？分析：火车从大树旁边驶过，是指从车头到树起，车尾离开大树止。我们不妨仍以车尾作为标准点，那么这个标准点在0.25分钟内所行路程就是车长750米，速度是每分钟行驶750 0.25=3000米。通过苏通大桥时用了2.51分钟，这个标准点运动的全部行程是30002.51=7530米，即火车车长与桥长的和，减去车长750米，差就是苏通大桥桥长了。解：7500.252.51-750=6780米。学生练习：练习九的1、2。集体讲评，了解知识的掌握情况。3、 出示例3：某人沿着铁路边的便道步行，一列货车从身后开来，在身旁通过的时间是15秒。货车长585米，速度为每小时144千米，求步行人每小时行多少千米。分析：根据题意，火车在跑，人也在向同方向行进，这是一个火车追人的“追及问题”。以车尾作为标准点，货车从车头与步行人在相遇起，到货车车尾离开步行人止，就完成了货车从步行人身旁通过的全过程。在这个过程中，标准点用了15秒的时间追上了原来与步行人585米（车长）的差距，那么每秒追及58515=39米，这是车与步行人的速度差，而火车的速度是每秒行1000144（6060）=40米，火车的速度减去速度差，即步行人的速度。4、 出示例4：一列客车长190米，一列货车长240米，两车分别以每秒20米和23米的速度相向行进。在双轨铁路上，交会时从车头相遇到车尾相离共需多少时间？分析：可以用2枝铅笔分别代表客车和货车，标准点仍然是两车的车尾，当两车车头相遇时，标准点间的距离是（190+240）米，即两车的车长的和。当两车尾相离时，标准点恰好相遇了。解：（190+240）（20+23）=10秒。5、 出示例5：一列客车以每小时144千米的速度行驶，行进中，客车的司机发现对面开来一列货车，速度是每小时108千米。这列货车从他身边驶过共用了8秒钟，求这列货车的长。分析：这是相遇问题，从两车头交和起，到客车车头与货车车尾相离为止。相遇的路程就是货车的长。解：1小时=3600秒，144千米=144000米，108千米=108000米（14400+108000）36008=560米。三、 小结：解答此类题目时，在考虑速度、时间、距离的同时，还必须注意到列车本身的长度。过桥时，火车是动的 ，桥是静止的。四、 布置作业：练习九的310题。第八课教学内容：速算的方法。教学要求：能灵活运用运算定律和运算性质进行简便运算。教学过程：一、 复习检查作业：指名回答，了解作业的情况。二、 新授：（一） 改变运算方法 例1：计算1991+1995+2000+1989+2011+2005+1998+1993分析：这几个数都接近2000，它们的和也接近20008。求几个大小接近的加数的和，可以选择一个比较接近整十、百、千的数作相同加数，用乘法求出这几个相同加数的和，然后加上少加的数，减去多加的数。一个数乘5，只要把这个数折半再扩大10倍，一个数乘0.5，只要把这个数折半就可以了。例2：计算72435000125分析：因为1000=1258，所以一个数除以125，就等于这个数除以1000再乘8。例3：计算913+139+1113+149+613解：原式=（9+11+6）13+（13+14）9 =2613+279 =5（二） 改变运算顺序 例1：计算21.9+376.4+78.2-106.4 解：原式=（21.9+78.2）+（376.4-106.4） =100.1+270 =370.1例2：计算（647581）（322527）解：原式=（6432）（7525）（8127） =233 =18（三） 应用补充数的方法 例1：计算998+1246+9989 解：原式=1246+（1000-2）+（10000-11） =1246+1000+10000-（2+11） =12233例2：计算9943+9842+9741解：原式=（100-1）43+（100-2）42+（100-3）41 =100（43+42+41）-（43+242+341） =12600-250=12350学生练习：练习十的第1题。集体讲评，了解掌握情况。（四） 几种特殊的速算方法例1：计算（1）78+87 （2） 87-78一个两位数与它的个位上的数和十位上的数对调所得的数的和，等于这个两位数上两个数字的和的11倍，它的差等于这个两位数上两个数字差的9倍。例2：计算9999922222+3333333334解：原式=33333（66666+33334） =33333100000 =3333300000三、 小结：进行速算时，一定要根据具体情况，选择最合理的方法，灵活地进行简便计算。四、 布置作业：练习十的第2、3题。第九课教学内容：数的整除性教学要求：能根据整除的特征，迅速判断能否被一个数整除。教学过程：一、 复习检查作业：指名回答，了解作业掌握情况。二、 新授：1、 能被4、25整除的数的特征：这个数的末两位数能分别被4、25整除。2、 能被8、125整除的数的特征：这个数的末三位数能分别被8、125整除。3、 能被3、9整除的数的特征：这个数的各位上的数的和能分别被3、9整除。例题1：一个三位数能被9整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17 的倍数。这样的三位数中，最大是几？解：根据题意，这个书的前两位数应是17的倍数中最大的两位数，则为175=85。于是所求数的前两位数为85。又因为这个数能被9整除，8+5=13，18-13=5，所以该数为855。例题2：在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除。符合这些条件的六位数中，最小的一个数是多少？解：要使这个六位数尽可能小，而且能被5整除，百位上的数和个位上的数都应选0。这样，已知的五个数位上的数的和为8+6+5+0+0=19。要使这个数能被3整除，十位上可填2、5、8；再根据能被4整除 的数的特征可知，十位上可填2、8；要使该数最小，十位上选2，该数为865020学生练习：练习十七的1、2、3。集体讲评，了解掌握的情况。4、 能被11整除的数的特征：这个数的奇数位上的数的和与偶数位上的数的和的差能被11整除。例3：自然数1A2A3A4A5能被11整除，求这个自然数。解：因为这个自然数能被11整除，所以（1+2+3+4+5）-4 A的差应该是11的倍数，即（15-4 A）是11 的倍数，则A为1，这个自然数是112131415。5、 能被7、11、13整除的数的特征：这个数的末三位数与末三位数以前的数字组成的数的差能分别被7、11、13整除。例4：判断2206525321能否被7、11、13整除？解：不易判断2206525-321-2206204，可继续做：2206-204=2002，2-2=0。因为0能被7、11、13整除，所以2206525321能被7、11、13整除。三、 小结：牢记能被一些数整除的特征，才能迅速地进行判断。四、 布置作业：练习十七的410。第十课教学内容：巧用质因数教学要求：能根据分解质因数的方法解答有关的题目。教学过程：一、 复习检查作业：指名回答，了解学生掌握的情况。二、 新授：1、出示例1：小聪的妹妹参加了今年的中学数学竞赛，小聪问妹妹：“这次竞赛你得了多少分？是第几名？”妹妹告诉他：“我得的名次和我的岁数及我的得分的乘积是2910，你看我的成绩和名次各是多少？”分析：既然2910是三个数的乘积，那么就把2910分解质因数：2910=23597。小聪的妹妹是中学生，不可能是2岁、3岁、5岁，也不可能是6岁、10岁、，因此可以肯定小聪妹妹是15岁，则名次是第二名，成绩是97分。2、出示例2：将下面八个数平均分成两组，使这两组数各自的乘积相等。 14、33、35、30、75、39、143、169分析：把八个数平均分成两组，每组四个数。要使两组数的乘积相等，这两组数的乘积中所含有的质因数必须完全相同。因此，可以将这八个数分解质因数，再按照各组中每种质因数的个数相同进行分组，即可得到答案。学生练习：练习十八的14。集体讲评，了解知识的掌握情况。3、出示例3：540乘自然数a，得到一个平方数（即等于某自然数的平方），求a的最小值和这个平方数。分析：我们先来举一个平方数的例子，把平方数36分解质因数：36=2233=23，可以看出一个平方数的所含有每种质因数的个数为偶数。所以，只要把540分解质因数，把个数不是偶数的质因数补上1个，就能求出a的最小值，也就能求出这个平方数。4、出示例4：两个数的最大公约数是45，最小公倍数是1260，求这两个数。解：我们知道两个数的最小公倍数是这两个数的最大公约数的倍数，这个倍数就是这两个数分别除以它们的最大公约数后，所得的两个商的积，而且这两个商必须互质。126045=28，把28分解质因数，28=227，只有4和7，445=180，745=315。但是1和任何自然数互质，所以4528=1260，145=45，所以这两个数可能是180和315，或是1260和45。5、出示例5：144的全部约数有多少个？360的全部约数有多少个？分析：如果换一个比较小的数，我们可以用列举法一一找出它的全部约数，但要写出一个比较大的数的全部约数，就比较麻烦，我们可以借助分解质因数的方法来找出它的全部约数。144=222233=2432，从24来看，144的约数有1、2、4、8、16，再从32来看，144的约数还有1、3、9。若将1、2、4、8、16分别乘1、3、9就能得到144的全部约数，即用1、2、4、8、16分别乘1得1、2、4、8、16；分别乘3得3、6、12、24、48；分别乘9得1、18、36、72、144，一共有15个约数。而15又正好是24与32的两个指数分别加1后相乘的积，即（4+1）（2+1）=15，掌握这个规律后，我们就能确定任何一个自然数共有几个约数了。三、小结：希望同学们在解答题目时能根据题目的要求运用分解质因数的方法来正确地解答。四、布置作业：练习十八的512。第十一课教学内容：公约数、公倍数。教学要求：能根据公约数、公倍数的特点，解答有关的题目。教学过程：一、复习检查作业：指名回答，了解作业的完成情况。二、新授：1、出示例1：有一种长方形白纸，长1.36米，宽0.8米。裁成一样大小的正方形，并使它们的面积尽可能大，裁完后又正好没有剩余，可裁出几个正方形？解1.36米=136厘米