高中数学-《利用伸缩变换求解直线与椭圆相切问题初探》.doc

利用伸缩变换求解直线与椭圆相切问题初探【摘要】直线与椭圆位置关系是解析几何中的重要内容，学生学习过程中常有这样的困惑：解题思路清晰,但很多时候会因计算繁琐完成不了. 事实上，椭圆和圆能利用伸缩变换实现互换，如果将椭圆问题转化为圆的问题，借助圆当中的一些性质来解决，往往可以有效简化计算.本文以直线与椭圆相切问题为例，探讨伸缩变换在求解此类问题中应用.【关键词】伸缩变换;椭圆;相切;圆的特性 1 问题提出 例1 （2014浙江理科第21题）如图，设椭圆，动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限. （1）已知直线的斜率为，用表示点的坐标；（2）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.第（1）小题常规求解思路：设直线：，并与椭圆联立，消得到关于的一元二次方程，再结合得到点的横坐标，进而代入直线方程得到点的纵坐标. 上述求解过程涉及直线与椭圆联立、消元等，繁琐的式子让人望而生畏，特别是此题直线和椭圆解析式中参数又多，运算起来让人眼花缭乱.对于求解直线与椭圆相切问题，避开直线与椭圆的直接联立是简化此类运算的关键.2 追根溯源 温故知新椭圆在图形上给人的直观感受就是把圆压扁或拉长，那么，从方程的角度来看，它们之间有何联系？人教A版选修1-1第34页有这样一道例题：在圆上任取一点，过点作轴的垂线段,为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？ 此题揭示了圆与椭圆之间的内在关系，即通过点坐标的伸缩变换，可以在平面直角坐标系中实现椭圆与圆的互换，类似的伸缩变换思想在三角函数变换中也有过学习.实际上多数教师在处理伸缩变换相关知识时往往简单带过，教学中若能深入挖掘教材例练习题中蕴含的伸缩变换思想，并加以提炼总结，对解决直线与椭圆位置关系问题有重要启示，很多情况下能起到简化运算的效果.3 伸缩变换的基本性质 事实上，设是平面直角坐标系中任意一点，在变换作用下，点对应点，称为平面直角坐标系中的伸缩变换（点称原像，点称对应的像，下文记法相同）.不难发现，椭圆上的点经过伸缩变换T：可对应到圆上的点，并且伸缩变换T具有下列基本性质：（1）若三点共线，则三点仍共线，且变换前后对应线段长的比值不变；（2）斜率为的直线经过变换后是斜率为的直线（变换前后平行关系不变）；（3）设封闭曲线围成的面积为，的像所围成的面积为，则；（4）两曲线有公共点，则曲线必有公共点；（5）两曲线在点处相切，则曲线在点处也相切. 4 利用伸缩变换解决直线与椭圆相切问题初探 下面笔者以直线与椭圆相切问题为例，探讨伸缩变换在求解此类问题中应用情况.T:变换4.1 思路结构图直线与椭圆相切问题A直线与圆相切问题BT-1:变换 问题A的解答问题B的解答根据上图，把待解决的直线与椭圆相切问题，利用伸缩变换T转化为相对容易解决的直线与圆相切问题，可以起到简化运算目的.4.2 应用举例4.2.1 过椭圆上一点的直线与椭圆相切问题过椭圆上一点的直线与椭圆相切问题经过伸缩变换后转化成过圆上一点的直线与圆相切问题，再利用圆心与切点的连线和切线垂直的特性求解.例1（1）解答： 如上图，设切点，在伸缩变换作用下，椭圆变换为圆，椭圆上的点变换为圆上的点，过点的切线变换为过点的切线，且.由点在圆上得：.由得：，所以，即，由解得坐标为.上题求解中，利用伸缩变换将问题转化到圆中处理，借助圆心与切点连线的斜率和切线斜率之积等于的特性，起到化繁为简的目的. 例2 如图，椭圆与过点，的直线有且只有一个公共点，且椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设分别为椭圆的焦点，为线段的中点，求证: .此题求解的常规思路运算量较大，这里不再赘述.第（2）问中，已知，要证明的是，所以和应该相似，从而转为求相关边长比值，但在椭圆中直接求较复杂，借助伸缩变换成圆后，发现，由性质知 必为，从而轻松求出.例2解答如下： （1）如上图，利用伸缩变换，椭圆上的点变换为圆上的点，因为切线的方程为，所以切线的方程为，由点到切线距离，得，又，解得，所以椭圆方程为.（2）由点可变换得，因为，所以,由性质可知，在椭圆中易得,所以，即，又，所以和相似，得.例2第（1）小题通过伸缩变换转化为圆相切问题，利用圆心到切线距离为半径特性求解，巧妙避开了解析几何中联立、消元等繁琐运算.第（2）小题是伸缩变换第一个基本性质的直接应用，而且此题具有一定的特殊性.在此基础上，我们还可以引申到求直线与椭圆相交的弦长问题上，得到更为一般的结论：设弦长在伸缩变换T下的像为弦长，则，整理得.4.2.2 过椭圆外一点的直线与椭圆相切问题过椭圆外一点的直线与椭圆相切问题经过伸缩变换后可转化成过圆外一点的直线与圆相切问题，再利用圆心到直线距离等于半径的特性求解. 例3 已知椭圆的一个焦点为，离心率为， （1）求椭圆C的标准方程； （2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程. （3）若是直线上的动点，是椭圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值.本题第（2）（3）问的一般思路是从联立切线和椭圆或者联立切点弦：和椭圆入手，但运算量都较大.若用伸缩变换来解此题，则简便很多，过程如下： （1）易得椭圆C的方程为；（2）如上图，设点在伸缩变换下的像分别为点，由性质可知，=，且直线与圆相切.设过点的圆的切线方程为，即，由圆心到切线距离，化简得：，根据韦达定理有，化简得，显然若两切线斜率不存在时，也满足方程，故点的轨迹方程为.（3）如图，用伸缩变换将直线变换为，圆中有，=，易知当时，有最小值，所以，所以=，由性质得，所以四边形面积的最小值为.第（2）问中通过伸缩变换将问题变成过圆的切线问题后，利用圆心到直线距离等于半径构造一个关于切线斜率的一元二次方程，再结合两条切线斜率的关系列式，大大简化了计算量. 第（3）问通过伸缩变换将椭圆相关的面积转化为与圆相关的面积，比起用常规方法直接求解运算小了很多.事实上，在椭圆中，若将弦长与原点构成的三角形记为，其在伸缩变换T下的像为，则有.同时，将例3中的椭圆推广到一般情况，可以得到下列命题（证明同例3第（2）小题）：若过椭圆上不同两点的切线互相垂直，则两切线交点的轨迹方程为.5 基于伸缩变换解题的感悟5.1 教学应注重挖掘教材知识，合理引申拓展伸缩变换源于高等数学的矩阵变换，同时伸缩变换思想在高中教材多处有所体现，但大多教师都处理的很“平静”，并未加以挖掘.事实上，对一些与高中数学联系密切的高等数学知识，合理的选取讲解有利于拓宽学生学习视野、理解数学问题本质、锻炼数学思维.例如上文提及的伸缩变换T，不仅可以简化直线与椭圆相切问题，还可以推广到直线与椭圆的一般位置关系问题，进一步深入还能解决直线与圆锥曲线位置关系问题.同时，可以利用伸缩变换T的逆变换T-1，借助圆中一些已有的性质来发现椭圆的性质，实现椭圆知识和圆的知识类比学习.这种用联系的观点学习数学，可以使孤立的知识点统一起来，对学生构建知识网络、提升数学思维有着重要意义.5.2 教学应注重题组训练数学教学除了关注数学概念的形成过程，例练题的选取也很重要.我们可以针对某一数学思想设计题组，让学生重复体验该思想方法在解题中的应用，也可以针对某一知识点设计递进式题组，加深理解，或者设计能一题多解等开放式例题，培养学生思维发散性，起到构建知识网络的目的.例如直线与椭圆位置关系教学时，可以通过问题串的方式如下设计问题：已知椭圆，直线.（1）请你具体给出的一组值，使直线和椭圆相交.（2）直线和椭圆相交时，应满足什么条件？（3）若，试判定直线和椭圆的位置关系？（4）已知，直线和椭圆交于与两点， （请你添加条件），求直线的方程.上述题组由特殊到一般，且包含开放性试题，有较大的思维空间，满足不同层次学生的需求，具有较好的探究性，有利于激发学生兴趣，活跃思维.5.3 教学应注重数学思想方法的提炼总结转化思想是中学数学最基本的思想方法，应用化归方法解决问题的一般模式为：（直线与圆相切问题） （直线与椭圆相切问题）（变换T） 转化容易解决的问题B待解决的问题A问题B的解答问题