浅谈近世代数中与素数有关的结论.doc

淮阴师范学院毕业论文(设计)摘要：本文给出了近世代数中与素数有关的概念,结论及若干应用.关键词：素数，群，环，域Abstract: In this article,we give some definitions, conclusions and applications about prime numbers in Abstract Algebra .Keywords: prime number ，group，loop，domain目录1 引言 42 在群中有关素数的结论 43 在环中有关素数的结论 64 在域中有关素数的结论 9结论 12参考文献 13致谢 141 引言素数在研究近世代数的过程中占有一个很重要的地位，本文介绍了近世代数中有关素数的一些基本性质，并探讨了一些常见结论.本文主要是从近世代数中群，环，域三个方面而谈.2 群下面给出群中的一些重要定理及推论：定理1设是有限群，为素数， ，则(i)(存在定理)中有子群，且（这里的闭区间记号表示整数范围）有阶子群,(ii)(包含定理)每一个子群被包含在一个子群之中,(iii)(共轭定理)中任何两个子群互相共轭,(iv)(计数定理)中子群的个数记作，且有和，其中为任一子群，为的正规化子.推论1素数阶的群都是循环群.下面的例子是以上定理推论的应用或推广：例1 设和是两个素数，证明:任一阶群都不是单群.(如果只有平凡的正规子群，且)，则称为单群.)证明 若阶群是阿贝尔群，从而它有阶子群.因为阿贝尔群的子群都是正规的,所以不是单群.若，不妨设，而，只能.故只有一个子群，它是正规子群.所以不是单群.综上所述，命题得证.例2 设是一个阶大于1的群，证明：只有平凡子群为素数阶循环群.证明 (必要性)设（是素数），.由拉格朗日定理得.所以,即,故群只有平凡子群.（充分性）因为，所以存在.设,但是由于假设可得.(1)当时，是的平凡子群，与假设矛盾.(2)当是合数时，即,则.从而是的平凡子群，与假设矛盾.故是素数，即是素数阶循环群.例3 设是两个不同的素数，是交换群，且.证明:是循环群.证明 设，则，且.若，则.若，因为是素数，所以可设，于是.令，则且.于是.当时，可得.当时，因为是交换群，是两个不同的素数，所以,因此.综上所述，是循环群.例4 设是素数，阶为的群称为-群.证明:-群一定有一个阶子群.证明 设群, .(1)当时，可得.(2)当时，可令从而，所以.故-群一定含有阶子群.2 环环是具有两种代数运算的代数系，它也是近世代数中一个重要的分支，这里给出有关环的一些基本概念.定义1一个有单位元，无零因子的交换环称为整环.定义2设是交换环，是的一个理想.若对或则称是的素理想.定义3设是环的一个真理想，若对于的理想， ,则称是的极大理想.下面给出环中有关素数的一些结论及例题：结论1设是素数，则是整数环的素理想.结论2 设是素数，则是整数环的极大理想.例5 设是偶数环，是素数，问是不是极大理想，是不是素理想?解 设是的理想，且,由于没有单位元,所以.因为,于是存在，且是偶数，从而与的最大公约元为，则存在,使得.由于,所以，因此，故是极大理想.(1)当时，取,于是，但由于|，即.又因为.所以当时，不是素理想.(2)当时，若，从而.因为都是偶数，于是设.故.又因为与的最大公约元为.所以由，即.因此.所以当时，是素理想.例6 设是素数,则是整数环的极大理想.证明 首先,从而.又设有的理想，使,则存在.因为,所以.又由于是素数，从而，即.因为所以.从而.因此是整数环的极大理想.例7 是大于的素数，则在中有解的充要条件是，并由此证明当是形如的素数时，不是中的元素.证明 （充分性）因为有解，所以存在使得.从而.（必要性）当时，下面分两种情况讨论：(1) 当时，有.故是的一个解.(2)当时，是循环群，任取一生成元，有.可设，由得.因为，所以.故.令，得.所以有解.取，当时，成立.所以方程有解.即有使又因为.所以.又因为和.故不是素元.3 域域是一种特殊的环，所有有关环的性质都适合域，而且有些性质更为简单.下面给出域中有关素数的定理，并围绕定理展开对域中素数的讨论.定理2整环的特征是或者是一素数.定理3设是域，是的素域，则.定理4是域的充要条件是为素数.定理5艾森斯坦因判别法 设，如果有一个素数，使（1）；（2）；（3）；则在有理数域上是既约的.定理6设是特征为素数的域，对于任何,则.推论 1 设是特征为素数的域，对于任何,则. 下面的两个例题是以上域中结论定理的应用与推广：例8 设是素数,判断在上是否可约.解 可表示为 ,因为,所以由定理知在中不可约.例9 证明：当是素数时，则是域.证明 是加群；要证明对规定的乘法是二元运算，需要证明这个结果与代表的取法无关，即假如，有.由于，从而.对于某个,有.因此，即.对于任何，有.即是半群.因为且.所以是交换环.下面证明没有零因子.假定是的一个零因子，于是存在,使.由于，于是，又由，从而.因此,，即,这与是零因子矛盾，所以没有零因子.因为的元素的个数为,所以是域.结论素数在近似代数中具有重要的地位.本文从群,环,域三个方面论述了与素数有关的结论及其应用.参考文献：1朱平天，李伯洪，邹园.近世代数M.北京:科学出版社,2001:64-65,100-101.2Birkhoff G, MacLane S. A survey of Modern AlgebraM. Beijing:Posts&TelecomPress,2007:88-89.3阮传概,孙伟.近世代数及应用M.北京:北京邮电大学出版社,2001:285-