数列通项公式的求法.doc

数列通项公式的求法一定义法。即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法适应于已知数列类型的题目例1：等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式. 解：设数列公差为d(d0),成等比数列，二.公式法。若已知数列的前n项和与的关系，求数列的通项可用公式：，但一定要注意对n进行分类讨论，能合并时一定要合并 例2：已知数列的前项和满足，求其通项公式.解： 当，当又不适合上式，故 三由递推公式求数列通项法 类型1:递推公式为 ，通常解法是把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解.例3：已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。例4:已知数列中，求的通项公式.解：由已知得， 所以 以上个式相加得 即 例5：已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得，则所以例6：已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故因此，则类型2:递推公式为。解法（1）：把原递推公式转化为，利用累乘法求解。解法（2）：由和确定的递推数列的通项可如下求得：由已知递推式有，依次向前代入，得，这就是叠代法的基本模式。如例10.例7:已知数列满足，求的通项公式。 解：由条件知，分别令n=1，2，3，(n-1)，代入上式得(n-1)个等式累乘之，即 例8：在数列中，（），求通项。解：由已知，又，所以=例9：已知数列满足，求的通项公式。解：因为所以用得则 故所以由，则，又知，则，代入得。所以，的通项公式为.例10：已知，求。解： 类型3：递推公式为（p,q,s,为常数），可利用两边取倒数法求通项公式。例11：已知数列的首项，求的通项公式解 ， 是以为首项，为公比的等比数列 所以 ，例12设数列满足求解：原条件变形为两边同乘以得.类型4：递推公式为型的。 解法（1）：用“退一相减法”； 解法（2）利用； 例13：已知数列的前n项和与之间满足，求的通项公式。解 ， (1) 下面用两种方法解答：方法一：下标退一，可得(2)(1)-(2)得即，由，得数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以方法二：由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列。所以，则，当时，又适合此式（别忘记！）， 所以类型5：递推公式为（其中p，q为常数，pq(p-1)0）。解法：一般采用待定系数法将原递推公式转化为：，其中.例14:已知数列中，求。解： 令与已知比较，解得，即数列是以为首项，2为公比的等比数列所以 ，即例15：数列a满足 a=1，,求数列a的通项公式。解：由得设a，比较系数得解得是以为公比，以为首项的等比数列 类型6 ：递推公式为=p+q (p、q均为常数)（又称为二阶递归）。解法：将原递推公式转化为（）并且由解出、，因此可以得到数列是等比数列。 例16：已知数列中a1=1，a2=，=,求数列的通项公式。解： 令（）由解得：1、则由此可得（）， a2a1= = （）+（）+（a2a1）+a1=+1=3. 3三、取对数法求通项公式.例17：设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，所以，设，则 ， 是以2为公比的等比数列，.，即， 四、形如类型求通项公式。解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例18:设数列：，求.解：令化简得：所以解得 ，所以又因为，所以数列是以5为首项，3为公比的等比数列。从而可得五、递推式为（p、q为常数）时，可同除，得，令从而化归为（p、q为常数）型例19：已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差