两函数交点对数二次函数.doc

1、利用图象；2、转化为方程解的问题，证明有唯一解（交点）先找一解，再证单调性（可利用导数）1、 设函数fn(x)1x(xR，nN*)证明：对每个nN*，存在唯一的xn，1，满足fn(xn)0；22013湖南卷 函数f(x)ln x的图像与函数g(x)x24x4的图像的交点个数为()A0 B1C2 D33、2013陕西卷 已知函数f(x)ex，xR.证明：曲线yf(x)与曲线yx2x1有唯一公共点；4、 已知函数f(x)x2xsin xcos x.若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围5、已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数)当a1时，若直线l：ykx1与曲线yf(x)没有公共点，求k的最大值6已知函数f(x)x2ln x.证明：对任意的t0，存在唯一的s，使tf(s)；7、判断方程2cos 2xsin xsin xcos 2x在内是否有解8、 已知函数f(x)ex，xR.设x0，讨论曲线yf(x)与曲线ymx2(m0)公共点的个数；9、2013山东卷 设函数f(x)c(e2.718 28是自然对数的底数，cR)讨论关于x的方程|ln x|f(x)根的个数1证明：(1)对每个nN*，当x0时，fn(x)10，故fn(x)在(0，)内单调递增由于f1(1)0，当n2时，fn(1)0.故fn(1)0.又fn()(1.kn10)ln 4(4)g(x)x24x4104可知它们有2个交点，选C.3解： (2)方法一：曲线yex与yx2x1公共点的个数等于函数(x)exx2x1零点的个数(0)110，(x)存在零点x0.又(x)exx1，令h(x)(x)exx1，则h(x)ex1.当x0时，h(x)0时，h(x)0，(x)在(0，)上单调递增(x)在x0有唯一的极小值(0)0，即(x)在R上的最小值为(0)0，(x)0(仅当x0时等号成立)，(x)在R上是单调递增的，(x)在R上有唯一的零点故曲线yf(x)与曲线yx2x1有唯一公共点方法二：ex0，x2x10，曲线yex与yx2x1公共点的个数等于曲线y与直线y1公共点的个数设(x)，则(0)1，即x0时，两曲线有公共点又(x)0(仅当x0时等号成立)，(x)在R上单调递减，(x)与y1有唯一的公共点，故曲线yf(x)与yx2x1有唯一的公共点4解：由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)x(2cos x)令f (x)0，得x0.f(x)与f(x)的情况如下：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)1所以函数f(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，f(0)1是f(x)的最小值当b1时，曲线yf(x)与直线yb最多只有一个交点；当b1时，f(2b)f(2b)4b22b14b2b1b，f(0)11时，曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点综上可知，如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，)5解：方法一：当a1时，f(x)x1.令g(x)f(x)(kx1)(1k)x，则直线l：ykx1与曲线yf(x)没有公共点，等价于方程g(x)0在R上没有实数解假设k1，此时g(0)10，g10，知方程g(x)0在R上没有实数解所以k的最大值为1.方法二：当a1时，f(x)x1.直线l：ykx1与曲线yf(x)没有公共点，等价于关于x的方程kx1x1在R上没有实数解，即关于x的方程：(k1)x(*)在R上没有实数解当k1时，方程(*)可化为0，在R上没有实数解当k1时，方程(*)化为xex.令g(x)xex，则有g(x)(1x)ex.令g(x)0，得x1，当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，)g(x)0g(x)当x1时，g(x)min，同时当x趋于时，g(x)趋于，从而g(x)的取值范围为，.所以当时，方程(*)无实数解解得k的取值范围是(1e，1)综上，得k的最大值为1.6证明：当00，故在00，令h(x)f(x)t，h(x)2xln xxx(2ln x1)，x1，)ln x0,h(x)0知，h(x)在区间(1，)内单调递增h(1)t0.故存在唯一的s(1，)，使得tf(s)成立7、解：设G(x)sin xsin xcos 2x2cos 2x，x，则G(x)cos xcos xcos 2x2sin 2x(2sin x)因为x，所以G(x)0，G(x)在内单调递增又G0，且函数G(x)的图像连续不断，故可知函数G(x)在内存在唯一零点x0，即存在唯一的x0满足题意1、 已知函数f(x)ex，xR.设x0，讨论曲线yf(x)与曲线ymx2(m0)公共点的个数；1解：)曲线yex与ymx2的公共点个数等于曲线y与直线ym的公共点个数令(x)，则(x)，(2)0.当x(0，2)时，(x)0，(x)在(2，)上单调递增，(x)在(0，)上的最小值为(2).当0m时，在区间(0，2)内存在x1，使得(x1)m，在(2，)内存在x2me2，使得(x2)m，由(x)的单调性知，曲线y与ym恰有两个公共点综上所述，x0时，若0m，曲线yf(x)与ymx2有两个公共点4解：令g(x)|lnx|f(x)|lnx|xe2xc，x(0，)当x(1，)时，lnx0，则g(x)lnxxe2xc，所以g(x)e2x2x1.因为2x10，0，所以g(x)0.因此g(x)在(1，)上单调递增当x(0，1)时，lnx1x0，所以1.又2x11，所以2x10，即g(x)0，即ce2时，g(x)没有零点，故关于x的方程|lnx|f(x)根的个数为0；当g(1)e2c0，即ce2时，g(x)只有一个零点，故关于x的方程|lnx|f(x)根的个数为1；当g(1)e2ce2时，()当x(1，)时，由(1)知g(x)lnxxe2xclnxe1clnx1c，要使g(x)0，只需使lnx1c0，即x(e1c，)；()当x(0，1)时，