国民收入,人口增长与资金积累之间的关系-2.doc

论文建模思路清晰，程序和拟合是文章的亮点，但是文章论述结构不合理，程序应附在文章背后，同时模型建立完了只做了简单的改进论述，没有做误差分析，如果补完整是一篇不错的文章。资金积累、国民收入与人口增长的关系第二小组成员： 段凯星 李志豪 雷涓1.问题分析资金积累，国民收入，人口增长都是随时间连续变化的函数，且依据题意若国民平均收入x3与按人口平均资金积累x1成正比，故我小组成员建立了微分方程模型。2.问题假设 1）总资金增长和人口增长满足指数增长。 2）国民平均收入与人口平均资金积累成正比，设此比例系数为p。3.符号说明X1（t）t时刻总资金积累量X2 (t)t时刻人口总数；X3 (t)t时刻国民品均收入；k 总资金的相对增长率；r人口的相对增长率；根据网上资料，从1995年到2009年的数据资料件附表（1）。3.建立模型由分析及假设可列出如下方程： 一定时期后，增长的人口数量为：x2=rx2；总资金的增长量为：x1=kx1 又根据题意有：X3（t）=a * Y（t）（其中a0，且Y(t)表示人口平均资金积累） 根据题意得出：Y（t）=X1（t）/ X2（t） 人口平均资金积累=总资金积累/总人口 两边微分得：d X3（t）/ dt =a*（k-r）* X3（t）所以当kr 时，国民收入X 0，x(t) 增加，即国民平均收入增加。 列微分方程如下：通过附表1相关数据进行最小二乘拟合，得出数据k=0.1278，r=0.0067，a近似等于1.编程如下：t=1:15;s=1995:2045;for i=1:15 lnx(i)=log(x(i); lny(i)=log(y(i); lnz(i)=log(z(i);endp=polyfit(t,lnx,1);q=polyfit(t,lny,1);m=polyfit(t,lnz,1);x0=exp(p(2)y0=exp(q(2)z0=exp(m(2)k=p(1)r=q(1)c=m(1)for j=1:15 xx(j)=x0*exp(k*j); yy(j)=y0*exp(r*j); zz(j)=z0*exp(c*j);Endfigure(1), plot(t,x,B*,t,xx,B)hold onxlabel(时间【年】),ylabel(总资金积累【亿元】)figure(2) ,plot(t,y,r+,t,yy,r)hold onxlabel(时间【年】),ylabel(人口数【万人】)figure(3),plot(t,z,Gs,t,zz,G)hold onxlabel(时间【年】),ylabel(国民收入【亿元】) 得到以下图形 资金积累与时间关系图人口与时间关系图 国民收入与时间关系图由上可知：从1995年到2009年国民平均收入量满足指数增长，其增长率为(k-r )， 即仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的；人口增长也是满足短期的指数增长，dx2/dt=0.0067x2（人口与时间关系图）,经最小二乘法的拟合，资金积累也满足假设条件的指数函数，dx1/dt=0.1278x1（资金积累与时间关系图）国民平均收入经计算与已知条件（国民平均收入与资金积累成正比）吻合，a近似等于1，dx3/dt=px3,p=a(k-r)=0.1211(国民收入与时间关系图)4.模型改进根据常识我们可知，人口是不可能一直呈指数增长到无穷为止，在环境与各种竞争存在的条件下，会达到一个最大容量N，我们假设最大人口数量为20亿。人口模型为dx2/dt=rx2(1-x2/N),Matlab编程如下：ym=200000;r=0.0067;for j=0:1:1000;figure(1), plot(j,ym/(1+(ym/121270-1)*exp(-r*j),r+)hold onendxlabel(时间【年】),ylabel(人口数【万人】)for y=0:0.001:1dydt=r*y*(1-y/1);figure(2),plot(y,dydt,r*)hold onendtitle(dx/dt-t曲线);经计算机运算得出以下图形：上图为人口增长图人口变化率示意图上图更好的反映了人口随时间变化的图像，人口的增长率呈先增大后减小的趋势，在增长率达最大值时人口到达环境容量最大值的一半，在增长率变化到零时，人口到达环境的最大值N。当人口激增时，在一定程度上，人口平均资金积累和国民平均收入都会减少，人们的生活水平将会下降。因此，国家需要对人口进行一定的控制，避免增长率过大，人口增加过快，即应当从整个社会的长远战略需要出发，及时调整人口出生率，保证人口增长与国民收入增长之间的适当的比例关系，促进社会经济的迅速发展。附表1：从1995年到2009年的相关数据（资金积累总量，人口总量，国民收入总量）年份资金积累总量（亿元）人口总数（万人）国民总收入（亿元）1995574951211212862719966685112238934044199773143123626379491998769671248103936419998042312590941998200088228126743470422001943461276275179720021039351284535805120031167411292276452320041365841299