浙江省杭州市学军中学2015-2016学年高一(上)期中数学试题(含解析).doc

2015-2016学年浙江省杭州市学军中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1设全集U=x|x4，xN，A=0，1，2，B=2，3，则BUA等于（）A3B2，3CD0，1，2，32满足不等式的实数x的取值范围为（）ABCD3在下列各组函数中，两个函数相等的是（）Af（x）=与g（x）=Bf（x）=与g（x）=Cf（x）=2x，x0，1，2，3与g（x）=Df（x）=|x|与g（x）=4函数y=的值域是（）Ay|y2或y2By|y2或y2Cy|2y2D5若函数y=ax+b的部分图象如图所示，则（）A0a1，1b0B0a1，0b1Ca1，1b0Da1，0b16偶函数f（x）（xR）满足f（4）=f（1）=0，且在区间0，3与3，+）上分别递减与递增，则不等式xf（x）0的解集为（）ABCD（1，4）7设f（x）=，则f（5）的值为（）A10B11C12D138已知函数f（x）=loga（x2ax+3）（a0且a1）满足：对任意实数x1，x2，当x1x2时，总有f（x1）f（x2）0，则实数a的取值范围是（）AC（2，）D（1，）9定义：区间x1，x2（x1x2）的长度为x2x1，已知函数y=2|x|的定义域为a，b，值域为1，2，记区间a，b的最大长度为m，最小长度为n则函数g（x）=mx（x+2n）的零点个数是（）A0B1C2D310已知函数f（x）=，则函数在0，1上的图象总长（）A8060B4030C2015D二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请将答案填写在答题卷中的横线上.）11幂函数f（x）的图象过点，则=12函数f（x）=的定义域是13幂函数y=x，当取不同的正数时，在区间0，1上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x，y=x的图象三等分，即有BM=MN=NA那么，=14下列几个命题：若函数为偶函数，则m=0；若f（x）的定义域为0，1，则f（x+2）的定义域为2，1；函数y=log2（x+1）+2的图象可由y=log2（x1）2的图象向上平移4个单位向左平移2个单位得到；若关于x方程|x22x3|=m有两解，则m=0或m4；其中正确的有15函数g（x）=log2（x0），关于方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则实数m的取值范围为三、解答题（本大题共5小题，第16，17题8分，第18题10分，第19，20题每题12分，共50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）16（1）计算2lg5+（2）若，求的值17已知集合A=x|2a+1x3a+5，B=x|3x32，若A（AB），求a的取值范围18已知函数（aR）（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明19为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为y=若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（1a4）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）20已知函数f（x）=x|ax|+2x（1）当a=4时，写出函数f（x）的单调递增区间（不需要过程）；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在a2，4，使得函数y=f（x）at有三个零点，求实数t的取值范围2015-2016学年浙江省杭州市学军中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1设全集U=x|x4，xN，A=0，1，2，B=2，3，则BUA等于（）A3B2，3CD0，1，2，3【分析】先求出全集U=3，2，1，0，然后进行补集、并集的运算即可【解答】解：U=3，2，1，0；UA=3；BUA=2，3故选：B【点评】考查描述法和列举法表示集合，以及全集的概念，补集、并集的运算2满足不等式的实数x的取值范围为（）ABCD【分析】化根式为分数指数幂，然后利用指数函数的单调性得答案【解答】解：由（）x，得3x，即x，即x，故选：C【点评】本题考查了指数不等式的解法，考查了根式与分数指数幂的互化，是基础题3在下列各组函数中，两个函数相等的是（）Af（x）=与g（x）=Bf（x）=与g（x）=Cf（x）=2x，x0，1，2，3与g（x）=Df（x）=|x|与g（x）=【分析】根据两个函数的对应关系相同，定义域也相同，即可判断这两个函数是相等的函数【解答】解：对于A，f（x）=x的定义域是R，g（x）=|x|的定义域是R，但对应关系不同，所以两个函数不相等；对于B，y=的定义域是（，11，+），g（x）=的定义域是1，+），定义域不同，所以这两个函数不相等；对于C，x0，1，2，3时，f（x）=2x=1，2，4，8，g（x）=+x+1=1，2，4，7，所以这两个函数不是相等的函数；对于D，f（x）=|x|=，g（x）=，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数故选：D【点评】本题考查了函数的定义域和对应法则应用问题，根据函数的对应法则和定义域就可确定一个函数，是基础题目4函数y=的值域是（）Ay|y2或y2By|y2或y2Cy|2y2D【分析】把已知函数式变形，然后分类利用基本不等式求得函数的最值，则函数的值域可求【解答】解：y=，当x+10时，有，当且仅当x+1=，即x+1=1，也就是x=0时上式等号成立；当x+10时，有y=（x+1）+，当且仅当（x+1）=，即x+1=1，也就是x=2时上式等号成立函数y=的值域是y|y2或y2故选：B【点评】本题考查函数值域的求法，训练了利用基本不等式求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题5若函数y=ax+b的部分图象如图所示，则（）A0a1，1b0B0a1，0b1Ca1，1b0Da1，0b1【分析】根据指数函数的图象和性质即可判断【解答】解：由图象可以看出，函数为减函数，故0a1，因为函数y=ax的图象过定点（0，1），函数y=ax+b的图象过定点（0，b），1b0，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的应用，利用函数过定点是解决本题的关键6偶函数f（x）（xR）满足f（4）=f（1）=0，且在区间0，3与3，+）上分别递减与递增，则不等式xf（x）0的解集为（）ABCD（1，4）【分析】利用偶函数的性质结合题意进行求解【解答】解：求xf（x）0即等价于求函数在第二、四象限图形x的取值范围偶函数f（x）（xR）满足f（4）=f（1）=0 f（4）=f（1）=f（4）=f（1）=0 且f（x）在区间0，3与3，+）上分别递减与递增 如右图可知：即x（1，4）函数图象位于第四象限x函数图象位于第二象限 综上说述：xf（x）0的解集为：（1，4）故答案选：D【点评】考察了偶函数的单调性质，属于中档题7设f（x）=，则f（5）的值为（）A10B11C12D13【分析】欲求f（5）的值，根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x10内的函数值即可求出其值【解答】解析：f（x）=，f（5）=ff（11）=f（9）=ff（15）=f（13）=11故选B【点评】本题主要考查了分段函数、求函数的值属于基础题8已知函数f（x）=loga（x2ax+3）（a0且a1）满足：对任意实数x1，x2，当x1x2时，总有f（x1）f（x2）0，则实数a的取值范围是（）AC（2，）D（1，）【分析】由题意可得函数f（x）在（，）上是减函数令t=x2ax+3，则函数t在（，）上是减函数，由复合函数的单调性规律可得a1，且a+30，由此求得a的范围【解答】解：由题意可得函数f（x）在（，）上是减函数令t=x2ax+3，则函数t在（，）上是减函数，且f（x）=logat由复合函数的单调性规律可得a1，且a+30解得 1a2，故选 D【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，复合函数的单调性规律，属于中档题9定义：区间x1，x2（x1x2）的长度为x2x1，已知函数y=2|x|的定义域为a，b，值域为1，2，记区间a，b的最大长度为m，最小长度为n则函数g（x）=mx（x+2n）的零点个数是（）A0B1C2D3【分析】作函数y=2|x|的图象，从而结合图象可得m=2，n=1；从而化简函数g（x）=2x（x+2）；再作函数y=2x与y=x+2的图象，从而求得零点的个数即可【解答】解：作函数y=2|x|的图象如下，则m=2，n=1；则函数g（x）=2x（x+2）；作函数y=2x与y=x+2的图象如下，故有2个零点；故选：C【点评】本题考查了函数的图象的作法及数形结合的思想应用，属于中档题10已知函数f（x）=，则函数在0，1上的图象总长（）A8060B4030C2015D【分析】由已知中函数f（x）=，分段讨论，求出函数g（x）=f（f（x）在0，1上各段的解析式，画出函数的图象，进而可得求出函数g（x）=f（f（x）在0，1上的图象总长，同法，类比可得函数在0，1上的图象总长【解答】解：先求出函数g（x）=f（f（x）在0，1上的图象总长函数f（x）=，当x0，时，f（x）0，g（x）=f（f（x）=22x=4x，当x（，时，f（x）（，1，g（x）=f（f（x）=222x=24x，当x（，）时，f（x）（，1），g（x）=f（f（x）=22（22x）=4x2，当x，1时，f（x）0，g（x）=f（f（x）=2（22x）=44x，故函数g（x）=f（f（x）在0，1上的图象如图所示：其长度为：4=，同法，类比可得函数在0，1上的图象总长为故选：D【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，分段函数分段处理，是解答分段函数的基本思路，也是分类讨论思想最好的印证二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请将答案填写在答题卷中的横线上.）11幂函数f（x）的图象过点，则=【分析】根据幂函数的概念设f（x）=x，将点的坐标代入即可求得值，从而求得函数解析式【解答】解：设f（x）=x，幂函数y=f（x）的图象过点 （2，），2=，=这个函数解析式为 f（x）=，f（）=，故答案为：【点评】本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题12函数f（x）=的定义域是（，1【分析】根据函数成立的条件，即可得到结论【解答】解：要使函数f（x）有意义，则，即，则03x21，解得x1，故函数的定义域的（，1，故答案为：（，1【点评】本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件13幂函数y=x，当取不同的正数时，在区间0，1上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x，y=x的图象三等分，即有BM=MN=NA那么，=1【分析】先确定M、N的坐标，然后求得，；再求的值【解答】解：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），所以MN，分别代入y=x，y=x故答案为：1【点评】本题考查指数与对数的互化，幂函数的图象，是基础题14下列几个命题：若函数为偶函数，则m=0；若f（x）的定义域为0，1，则f（x+2）的定义域为2，1；函数y=log2（x+1）+2的图象可由y=log2（x1）2的图象向上平移4个单位向左平移2个单位得到；若关于x方程|x22x3|=m有两解，则m=0或m4；其中正确的有、【分析】判断函数的对称性，利用偶函数的定义和性质进行判断根据复合函数定义域之间的关系进行判断根据函数图象之间的关系进行判断利用数形结合以及一元二次函数的性质进行判断【解答】解：若函数关于x=m对称，若f（x）为偶函数，则m=0；故正确，若f（x）的定义域为0，1，由0x+21得2x1，即则f（x+2）的定义域为2，1；故正确，由y=log2（x1）2的图象向上平移4个单位得到由y=log2（x1）2+4=log2（x1）+2，然后向左平移2个单位，得到ylog2（x+2）1+2=log2（x3）+2，故错误，设f（x）=|x22x3|，作出函数f（x）的图象如图，若f（x）=m有两解，则m=0或m4；故正确，故答案为：、【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的定义域，图象，奇偶性的性质，综合考查函数的性质的应用，但难度不大15函数g（x）=log2（x0），关于方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则实数m的取值范围为m【分析】可判断函数y=在（0，+）上单调递增，y=log2x在（0，2）上单调递增，从而可得|g（x）|=0或0|g（x）|1，0|g（x）|1或|g（x）|1；从而解得【解答】解：当x0时，02，且函数y=在（0，+）上单调递增，y=log2x在（0，2）上单调递增，且y1；故若关于方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则|g（x）|=0或0|g（x）|1，0|g（x）|1或|g（x）|1；若|g（x）|=0，则2m+3=0，故m=；故|g（x）|=0或|g（x）|=，不成立；故0|g（x）|1或|g（x）|1；故，解得，m；故答案为：m【点评】本题考查了复合函数的应用及方程的根与函数的零点的关系应用，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，第16，17题8分，第18题10分，第19，20题每题12分，共50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）16（1）计算2lg5+（2）若，求的值【分析】根据指数幂和对数的运算性质化简计算即可【解答】（1）原式=2（lg5+lg2）+lg5（1+lg2）+（lg2）2=2+lg5+lg2（lg5+lg2）=2+lg5+lg2=2+1=3，（2），x+x1=5，x2+x2=23，原式=【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题17已知集合A=x|2a+1x3a+5，B=x|3x32，若A（AB），求a的取值范围【分析】由A（AB），可得AB，再分类讨论，即可求a的取值范围【解答】解：A（AB），ABA=，2a+13a+5，a4（4分）A，32a+1，3a+532，1a9，（4分）综上所述，a4或1a9【点评】本题考查集合的关系与运算，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题18已知函数（aR）（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明【分析】（1）直接根据函数f（x）为奇函数，对应的f（x）+f（x）=0恒成立即可求出a的值；（2）直接根据对数函数的单调性以及对数的值域按单调性的证明过程即可得到结论【解答】解：（1）函数f（x）为奇函数，f（x）+f（x）=0，即：，则有：，即：，4a1=0，；（2）f（x）在R上是增函数，证明如下：任取x1，x2R，且x1x2，则f（x1）f（x2）=y=3x在R上是增函数，且x1x2，即：又3x0，f（x1）f（x2）0，即：f（x1）f（x2），故f（x）在R上是增函数【点评】本题主要考察函数奇偶性与单调性的综合解决问题的关键在于把问题转化为f（x）+f（x）=0恒成立求出a的值19为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为y=若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（1a4）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）【分析