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第二章随机变量及其变量分布2.1离散型随机变量（一）随机变量引例一：掷骰子。可能结果为=1,2,3,4,5,6.我们可以引入变量X,使X=1，表示点数为1；x=2表示点数为2；，X=6，表示点数为6。引例二，掷硬币，可能结果为=正，反.我们可以引入变量X，使X=0，表示正面，X=1表示反面。引例三，在灯泡使用寿命的试验中，我们引入变量X，使aXb，表示灯泡使用寿命在a（小时）与b（小时）之间。例如，1000X2000表示灯泡寿命在1000小时与2000小时之间。 0X1= PX=2+ PX=3=，P1X2.5= PX=1+ PX=2=，例5若X的分布律为 求（1）P(X4)【答疑编号10020108】解（1）P(X4=Px4=0（三）0-1分布与二项分布下面，介绍三种重要的常用离散型随机变量，它们是0-1分布、二项分布与泊松分布。定义4若随机变量X只取两个可能值：0,1,且PX=1=p, PX=0=q其中0p0是常数，n是任意正整数，且，则对于任意取定的非负整数k，有证明略。由泊松定理，当n很大，p很小时，有近似公式，其中=np.在实际计算中，当n20,p0.05时用上述近似公式效果颇佳。例10一个工厂中生产的产品中废品率为0.005，任取1000件，计算：（1）其中至少有两件是废品的概率；【答疑编号10020113】（2）其中不超过5件废品的概率。【答疑编号10020114】解设X表示任取得1000件产品中的废品中的废品数，则XB(1000,0.005)。利用近似公式近似计算，=10000.005=5.（1）（2）（四）泊松分布定义6设随机变量X的可能取值为0,1,n,，而X的分布律为其中0，则称X服从参数为的泊松分布，简记为Xp()即若Xp()，则有例11设X服从泊松分布，且已知PX=1= PX=2，求PX=4.【答疑编号10020115】解设X服从参数为的泊松分布，则由已知，得解得=2，则2.2随机变量的分布函数（一）分布函数的概念对于离散型随机变量X，它的分布律能够完全刻画其统计特性，也可用分布律得到我们关心的事件，如等事件的概率。而对于非离散型的随机变理，就无法用分布率来描述它了。首先，我们不能将其可能的取值一一地列举出来，如连续型随机变量的取值可充满数轴上的一个区间(a,b)，甚至是几个区间，也可以是无穷区间。其次，对于连续型随机变量X，取任一指定的实数值x的概率都等于0，即PX=x=0。于是，如何刻画一般的随机变量的统计规律成了我们的首要问题。定义1设X为随机变量，称函数F(x)=PXx,x(-,+ ) 为X的分布函数。注意，随机变量的分布函数的定义适应于任意的随机变量，其中也包含了离散型随机变量，即离散型随机变量既有分布律也有分布函数，二者都能完全描述它的统计规律性。例1若X的分布律为求(1)F(1),【答疑编号10020201】(2)F(2.1), 【答疑编号10020202】(3)F(3), 【答疑编号10020203】(4)F(3.2)【答疑编号10020204】解由分布函数定义知F(x)=P(Xx)(1)F(1)=P(X1)=P(X=0)+ P(X=1)=0.3(2)F(2.1)= P(X2.1)=P(X=0)+ P(X=1) + P(X=2)=0.6(3)F(3) = P(X3)=P(X=0)+ P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)=0.2+0.1+0.3+0.3=0.9(4)F(3.2)= P(X3.2)=1- P(X3.2)=1- P(X=4) =1-0.1=0.9例2设离散型随机变量X的分布律为求X的分布函数【答疑编号10020205】解当x-1时，F(x)=PXx=P(X-1)=0当-1x0时，F(x)=PXx=PX= -1=0.2当0x1时，F(x)=PXx=PX= -1+ PX=0=0.2+0.1=0.3当1x0为常数，求常数a与b的值。【答疑编号10020206】解，由分布函数的性质F(+)=1，知a=1；又由F(x)的右连续性，得到由此，得b= -1.已知X的分布函数F(x)，我们可以求出下列重要事件的概率：1PXb=F(b).【答疑编号10020207】2PaXb=F(b)-F(a)，其中ab=1-F(b)【答疑编号10020209】证1F(x)=PXxF(b)=PXb2Pab=1- PXb=1- F(b)例3设随机变量X的分布函数为求【答疑编号10020210】【答疑编号10020211】【答疑编号10020212】解例4求0-1分布的x的分布函数【答疑编号10020213】解：已知所以例5设XF(x)=a+barctanx(-x+)求（1）a与b【答疑编号10020214】（2）P(-1X1)【答疑编号10020215】解：（1）F(-)=0，F(+)=1解得,（2）2.3连续型随机变量及概率密度（一）连续型随机变量及其概率密度 定义若随机变量X的分布函数为其中f(t)0。就是说X是连续型随机变量，并且非负函数f(x)是连续型随机变量X的概率密度函数，简称概率密度。由连续型随机变量及概率密度函数的定义知概率密度有下列性质（1）【答疑编号10020216】（2）【答疑编号10020217】（3）（ab）【答疑编号10020218】前面已曾经证明，由于连续型随机变量是在一个区间或几个区间上连续取值，所以它在任何一点上取值的概率为零，即若X是连续型随机变量则有P(X=x)=0,其中X是任何一个实数。有（4）f(x)0【答疑编号10020219】证（1）在微积分中已知积分上限的函数对上限x的导数它说明分布函数是概率密度的原函数，并且证明连续型随机变量的分布函数F(x)是处处可导函数，所以连续型随机变量的分布函数F(x)处处连续。（2）（3）P(aXb)=F(b)-F(a)因为F(x)是f(x)的原函数因此，对连续型随机变量X在区间上取值的概率的求法有两种：（1）若F(x)已知，则P(aXb)=F(b)-F(a) （2）若f(x)已知，则P(a0时【答疑编号10020315】解： （a）（a）（a）1（a）2（a）1例3.若XN（0，1），则a为何值时， 【答疑编号10020316】解： 由 查标准正态分布函数值表（附表1）有a=1.96 下面我们不加证明地介绍正态分布有下面结果若XN（,2），则有（1）X的分布函数F（x） （2） 公式：XN（,2）时提供了XN（,2）时，计算概率的方法。例4.若XN（3,4）求P（3X5）【答疑编号10020317】解：P（3X5） （1）（0）0.84130.50.3413例5.设XN（1.5,4），求：（1）PX3.5【答疑编号10020318】（2）P1.5X3.5【答疑编号10020319】（3）P3【答疑编号10020320】解：1.52，记F（x）为X的分布函数。（1）PX3.5P（x3.5）=（2）P1.5X3.5= =0.84130.50.3413（3）P31P31P3X3=1- 1（0.75）+（2.25）1（0.75）+1（2.25）10.7734+10.98780.2388例6.设XN（,2）求X落在区间k, +k概率，其中k=1,2,3【答疑编号10020321】解：PkX+k （k）-（k）=2（k）1（1）0.8413，（2）0.9772，（3）0.99865 从此可以看出：尽管正态分布取值范围是（，+），但它的值落在3, +3的概率为0.9973，几乎是肯定的，这个性质被称为正态分布的“3规则”。为了方便今后的应用，对于标准正态随机变量，我们引入分位的定义。定义5.设XN（0,1）若ua满足条件PXua，01，则称点ua为标准正态分布的上侧分位数（见图2.12）例7.用上侧分位数ua的定义求（1）u0.005（2）u0.025（3）u0.01（4）u0.05（5）u0.1【答疑编号10020401】解：因为P（Xu）P（Xu）1P（Xu）1（u）（u）1（1）（u0.005）10.0050.995（2.58）0.995u0.005=2.58（2）（u0.025）1-0.025=0.975（1.96）0.975u0.0251.96（3）（u0.01）10.010.99（2.33）0.99u0.012.33（4）（u0. 05）10.050.95（1.64）0.95u0.051.64（5）（u0. 1）10.10.9（1.29）0.9u0.11.29正态分布是最常见的一种分布，在实际问题中，许多随机变量服从或近似服从正态分布，例如，一个地区的男性成年人的身高和体重，测量某个物理量所产生的随机误差；一批原棉纤维的长度，某地区的年降水量等，它们都服从正态分布，本书第五章的中心极限定理表明：一个变量如果大量独立，微小且均匀的随机因素的叠加而生成，那么它就近似服从正态分布，由此可见，在概率论和数理统计的理论研究和实际应用中正态分布都占有十分重要的地位。例8.某机床生产的零件长度X（mm）N（20,0.022），工厂规定该零件长度在区间（19.96，20.04）内为合格品，求该机床产品的合格率。【答疑编号10020402】解：19.96X20.04表示产品合格合格率为P（19.96X20.04） 例9.测量某零件长度时DE 误差X（mm）N（2,9）求（1）误差绝对值小于5的概率（2）测量三次，误差的绝对值都小于5的概率（3）测量三次，误差的绝对值至少有一次小于5的概率【答疑编号10020403】解：（1）其中P表示误差绝对值小于5的事件A的概率P（A）（2）用X表示测量三次，事件A发生次数XB（3,P），P0.8314P（X3） （3）P（X1）1P（X1）1P（X0）1 第4节随机变量的函数的概率分布4.1离散型随机变量的函数的概率分布在实际应用中，我们常常遇到这样的情况，所关心的随机变量不能直接测量得到，而它却是某个能直接测量的随机变量的函数，例如，我们能测量圆轴截面的直径X，而关心的却是其截面的面积，这里随机变量Y就是随机变量X的函数。设g（x）是一给定的连续函数，称Yg（X）为随机变量X的的一个函数，Y也是一个随机变量，当X取值x时，Y取值yg（x），本节，我们将讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求函数Yg（x）的概率分布。先讨论X为离散型随机变量的情况。 设X为离散型随机变量，其分布律为由于X的可能取值为x1x2xk，所以Y的可能取值为g（x1）, g（x2）g（xk）可见Y只取有限多个值或可列无穷多个值，故Y是一个离散型随机变量。当g（x1）, g（x2）g（xn）互不相等时，Y的分布律为当g（x1）, g（x2）g（xk），有相等的情况时，则应该把使g（xk）相等的那些xi所对应的概率相加，作为Y取值g（xk）的概率，这样得到Y的分布律。例1.设随机变量X的分布律为求：（1）YX3的分布律；（2）ZX2的分布律。【答疑编号10020404】解：（1）Y的可能取值为1，0，1，8.由于从而Y的分布律为（2）Z的可能取值范围为0，1，4则Z的分布律为例2.XB（3，0.4）令，求PY1【答疑编号10020405】解：因为XB（3，0.4）所以X可能取值为0.1.2.3当X0时，Y0，X1时，Y1；X2时，Y1；X3时，Y0。所以，Y1为X1与X2其实，由等式中，当Y1时，可得X（3X）2 P（Y1）P（X1）+P（X2） 4.2连续型随机变量的函数的概率分布设X为连续型随机变量，其概率密度为fx（x），要求Yg（x）的概率密度fy（y），我们可以利用如下定理的结论。 定理1.设X为连续型随机变量，其概率密度为fx（x），设g（x）是一严格单调的可导函数，其值域为（，），且g（x）0，记x=h（y）为yg（x）的反函数，由Yg（x）的概率密度fY（y）为：特别地，当+时，例3.设连续型随机变量X的概率密度为fx（x），令Yax+b其中a,b为常数,a0。【答疑编号10020406】解：y=g（x）=ax+b,+由y=ax+b得x=,，由定理1得例4. XN（,2），求：（1）的概率密度。（2）YaX+b的概率密度。【答疑编号10020407】解：XN（,2）Xfx（x） （1）（2）Yax+b时，由yax+b得反函数x=h（y） 例4.说明两个重要结论；当XN（,2）时， N（0,1）且随机变量称为X的标准化，另外，正态随机变量的线性变换YaX+b仍是正态随机变量，即aX+bN（a+b,a22），这两个结论必须记住！例5.设XU（），令Y=tanx，求Y的概率密度fY（y）。【答疑编号10020408】解：y=g（x）=tanx,值域为（，+），反函数x=h（x）=arctany,记X的概率密度为fx（x）,当这一概率分布称为柯西（Cauchy）分布。例6.随机变量X的概率密度为求Y2X+8的概率密度。【答疑编号10020409】解：记Y的分布函数为Fy（y），则Y的分布函数其中Fx（x）为X的分布函数，故例6中求随机变量函数的概率密度的方法称为“直接变换法”。例6也可用定理一的公式求解Y2x+8由y=2x+8得反函数因为x的取值范围为0x4，所以y的取值范围为8y16当8y16时， 当y8或y16时， 例7.若XN（30，4）求Y2x的分布。【答疑编号10020410】解：由公式XN（,2） YN（60,16）。本章考核内容小结（一）知道随机变量的概念，会用分布函数求概率 （1）若X是离散型随机变量，则P（axb）=F（b）- F（a）（2）若X是连续型随机变量，则P（axb）=F（b）- F（a）P（axb）=F（b）- F（a）P（axb）=F（b）- F（a）P（axb）=F（b）- F（a）（二）知道离散型随机变量的分布律会求简单离散型随机变量的分布律和分布函数，且若 则（三）掌握三种常用的离散型随机变量的分布律（1）X（0,1）（2）XB（n,p）P（x=k）=（3）XP（）P（x=k）= 并且知道泊松分布是二项分布当n很大，p很小的近似值，且=np（四）知道连续型随机变量的概率密度概念和性质，概率密度和分布函数的关系及